De Moivre Formülü

De Moivre Formülü

De Moivre formülü 18. yüzyıl Fransız matematikçisi Abraham de Moivre anısına isimlendirilmiş ve herhangi bir karmaşık sayı (özellikle herhangi bir gerçel sayı x ve herhangi bir tamsayı n) için şu ifadenin geçerli olduğunu önerir:



Bu formülün önemi (burada önünde i sanal birim ifade ile verilmiş olan) karmaşık sayılar ile trigonometri arasındaki bağlantıyı açıklamasındadır.
Bu formülde "cos x + i sin x" bazan "cis x" olarak kısaltılabilir.
Formülün sol tarafi binom teoremi kullanarak açılıp gerçel kısmına ve sanal kısmına yeni şekil verilirse, cos(nx) ve sin(nx) için yalnızca sin(x) ve cos(x) kullanan uygulamalı matematikde çok önemli ifadeler elde edilir.
Bu formülün diğer bir uygulaması ise birim sayının (yani 1in) köklerini karmaşık sayılar (yani zn = 1 ise zkarmaşık sayıları) ile ifade edilmesini sağlamasıdır
Tarihi olarak başka şekilde isbat edilmekle beraber, de Moivre'in formülü Euler'in formülünu kullanarak hemen şöyle isbat edilebilir:



ve üstel yasaya göre



O halde Euler'in formülü ile,

.

olur.

Endüksiyon ile isbat

Üç değişik hal ele alınabilir:
Eğer n > 0 ise, matematiksel endüksiyon ile şöyle ilerliyebiliriz.
Eğer n = 1 ise, sonuç açıkca geçerlidir. Hipotezimiz icin, sonucun bir tamsayı olan k için geçerli olduğunu varsayalım. Yani varsayımız şu olsun:



Şimdi n = k + 1 halini ele alalim:



Bundan, eğer sonucun, n = k için geçerli olması halinde, n = k + 1 için de geçerli olduğu anlamına varılır. Öyle ise, matematik endüksiyon prensipine göre, tüm pozitif tamsayılar için (yani n≥1 için) bu sonuç geçerli olur.
Eğer n = 0 ise, cos(0x) + isin(0x) = 1 + i0 = 1 olduğu için ve konvansiyonel olarak z0 = 1 olarak verildiği için, bu formül geçerlidir.
Eğer n < 0 ise, n = −m olduğu zaman bir pozitif tamsayı m ele alsın. O halde



Böylelikle, teorem nin tüm tamsayı değerleri için geçerlidir.

Kosinus ve sinus için tek tek formüller

Karmaşık sayıların eşitliğini gösterdiği için bu denklemin hem gerçel kısımları hem de sanal kısımları ayrı ayrı birbirne eşit olmalıdır. Eğer x (ve bundan dolayi cosx ve sinx) gerçel sayılar ise, o zaman bu kısımların özdeşlikleri (taraf değiştirilerek) şöyle yazılabilir:



Bu denklemler xin karmaşık değerleri için geçerlidir. Buna neden her iki tarafın da x in holomorf fonksiyonları olması ve gerçel eksende birbiriyle çakışan bu şekildeki iki fonksiyonun karmaşık düzeyde de mutlaka birbiriyle çakışması gereğidir.
Bu denklemlerin örnek ifadeleri olarak n = 2 ve n = 3 için şu sonuçlar çıkarılır:



cos(nx) için formülün sağ tarafı gerçekte cosx değerli Çebişev polinomu olan Tn ifadesinin n(cosx) değeridir.

Genelleştirme

Bu formül yukarıda verilen hallerden daha geniş hallerde de geçerlidir. Eğer z ve w karmaşık sayılarsa, o halde



bir çokludeğerli fonksiyon olur ve



ise bir çokludeğerli fonksiyon olmaz. Böylece



ifadesi sunun bir parcasidir .




Uygulamalar

Bu formül bir karmaşık sayı için ninci kökleri bulmak için kullanılabilir. Eğer z bir karmaşık sayı ise bu polar koordinatlı olarak şu şekilde yazılabilir:



O halde



olur. Burada k tamsayıdır. z için n tane değişik kök bulmak için k nin 0 den n − 1e aralığını incelemek gerekir.

De Moivre Formülü

Sponsorlu Bağlantılar

Karmaşık sayıların kutupsal yazılışında kuvvet alma formülü.

Formüle göre, [r(cosq+ i sinq]n = rn (cos nq+ i sin nq) dır. Formülün pratikliği nedeniyle, normal biçimde yazılmış karmaşık sayıların yüksek basamaktan kuvvetleri alınacakken önce kutupsal biçime geçilip sonra işlem yapılır. Örneğin, 1 + A3inin 9'uncu kuvvetini hesaplamak için önce r= 2, q=p/3 hesaplanıp sayı 2(cos p/3 + i sin p/3) biçiminde yazılır, sonra De Moivre formülü uygulanır: (1+A3i)9=29 (cos 3p + i sin 3p) = -29.