Diskriminant
Ziyaretçi
Diskriminant
Vikipedi, özgür ansiklopedi
^ Gerçel sayılı katsayıları olan ikinci derece denklemin köklerinin bulunması için hesaplanan diskriminant değerleri bileşimi
Diskriminant matematik biliminde bir cebirsel kavramdır. Gerçel katsayılı ikinci derece polinom denklemler'in çözümü için kullanılır. İkinci dereceden büyük herhangi bir polinom'un köklerinin bulunması için de bu kavram, köklerin toplamı için gereken ifadenin ve köklerin çarpımı için gereken ifadenin bulunması suretiyle genişletilmiştir. Bu arada bir polinom için çoklu köklerin varlığı veya yokluğu için gereken koşul da diskriminant'in varlığı ve yokluğu ile bulunabilmektedir.
Diskriminant kavramı polinomların incelenemesinden daha başka matematik alanlarda da kullanılmaktadır. Bu kavramın kullanışı konik kesitlerin ve genel olarak kuadratik şekillerin daha iyi anlaşılmasına izin vermektedir. Galois teorisi'nin kuadratik formlara veya sayılar sonlu uzantısı hakkındaki gelişmelerde de diskriminant kavramı rol oynar. Matris sistemindeki determinant hesaplanmasının temelinde de diskriminant kavramı yatmaktadır.
İkinci derecede polinom
Gerçel katsayılı denklemin çözülmesi
İkinci derecede bir polinom denklem ele alalım ve denklemde a, b ve c üç gerçel sayılı katsayı olsun ve a değeri 0 dan değişik olsun
ax2 + bx + c = 0 denklemi ve a0 olsun. Bu denklemin diskriminantı şöyle tanımlanan Δ (delta) sayısı ile ifade edilir:
Diskiriminant'ın bilinmesi bu ikinci derece polinomun çözülmesini sağlar:
a) Δ > 0 yani Δ pozitif ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. x1 ve x2 olarak ifade edilen bu iki kök şu formül kullanılarak bulunur:
b) Δ = 0 yani Δ sıfıra eşit ise, denklemin, değerleri birbirleriyle çakışan, yani birbirine eşit, iki gerçel kökü vardır:
c) Δ < 0 yani Δ negatif ise, denklemin gerçel kökü yoktur yani denklemin çözümü bulunamaz.
Kompleks katsayılı ikinci derece denklemin çözülmesi
Eger a, b ve c kompleks sayılar ise veya denklemin çözümü için kompleks sayı kullanılması kabul edilmişse durum biraz daha değişiktir. D'Alembert-Gauss teoremine göre denklemin en aşağı bir tane çözümünün bulunması gerekir. Kompleks sayılıların ise her zaman iki tane kare kökü bulunur; yani öyle bir δ değeri vardır ki bunun karesi ( δ2) Δ'ya eşittir. Buna göre
a) Eğer diskriminant sıfır dan değişik bir değerde ise, denklemin iki çözüm değeri, yani x1 eve x2, şu formülle bulunur:
b) Eğer diskriminant değeri sıfır ise denklemin çözümü olarak birbiriyle çakışmış eşit şu iki tane kök x1 bulunur:
Kısaltılmış diskriminant
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Sponsorlu Bağlantılar
Diskriminant matematik biliminde bir cebirsel kavramdır. Gerçel katsayılı ikinci derece polinom denklemler'in çözümü için kullanılır. İkinci dereceden büyük herhangi bir polinom'un köklerinin bulunması için de bu kavram, köklerin toplamı için gereken ifadenin ve köklerin çarpımı için gereken ifadenin bulunması suretiyle genişletilmiştir. Bu arada bir polinom için çoklu köklerin varlığı veya yokluğu için gereken koşul da diskriminant'in varlığı ve yokluğu ile bulunabilmektedir.
Diskriminant kavramı polinomların incelenemesinden daha başka matematik alanlarda da kullanılmaktadır. Bu kavramın kullanışı konik kesitlerin ve genel olarak kuadratik şekillerin daha iyi anlaşılmasına izin vermektedir. Galois teorisi'nin kuadratik formlara veya sayılar sonlu uzantısı hakkındaki gelişmelerde de diskriminant kavramı rol oynar. Matris sistemindeki determinant hesaplanmasının temelinde de diskriminant kavramı yatmaktadır.
İkinci derecede polinom
Gerçel katsayılı denklemin çözülmesi
İkinci derecede bir polinom denklem ele alalım ve denklemde a, b ve c üç gerçel sayılı katsayı olsun ve a değeri 0 dan değişik olsun
ax2 + bx + c = 0 denklemi ve a0 olsun. Bu denklemin diskriminantı şöyle tanımlanan Δ (delta) sayısı ile ifade edilir:
Diskiriminant'ın bilinmesi bu ikinci derece polinomun çözülmesini sağlar:
a) Δ > 0 yani Δ pozitif ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. x1 ve x2 olarak ifade edilen bu iki kök şu formül kullanılarak bulunur:
b) Δ = 0 yani Δ sıfıra eşit ise, denklemin, değerleri birbirleriyle çakışan, yani birbirine eşit, iki gerçel kökü vardır:
c) Δ < 0 yani Δ negatif ise, denklemin gerçel kökü yoktur yani denklemin çözümü bulunamaz.
Kompleks katsayılı ikinci derece denklemin çözülmesi
Eger a, b ve c kompleks sayılar ise veya denklemin çözümü için kompleks sayı kullanılması kabul edilmişse durum biraz daha değişiktir. D'Alembert-Gauss teoremine göre denklemin en aşağı bir tane çözümünün bulunması gerekir. Kompleks sayılıların ise her zaman iki tane kare kökü bulunur; yani öyle bir δ değeri vardır ki bunun karesi ( δ2) Δ'ya eşittir. Buna göre
a) Eğer diskriminant sıfır dan değişik bir değerde ise, denklemin iki çözüm değeri, yani x1 eve x2, şu formülle bulunur:
b) Eğer diskriminant değeri sıfır ise denklemin çözümü olarak birbiriyle çakışmış eşit şu iki tane kök x1 bulunur:
Kısaltılmış diskriminant
Bazan ikinci derecedeki polinom denklem şu şekilde yazılmaktadır:
Bu şekilde değişik bir diskriminant bilinir ve bu kısaltılmış diskriminant (Δ') şöyle tanımlanır:
Eğer bu denklemin kökleri varsa, şöyle bulunurlar:
Bu şekilde değişik bir diskriminant bilinir ve bu kısaltılmış diskriminant (Δ') şöyle tanımlanır:
Eğer bu denklemin kökleri varsa, şöyle bulunurlar:
Örnekler
a) İlk olarak şu örnek denklemin çözümünü arayalım:
Çözüm için, yani iki kok x1 ve x2 bulmak için, şu Δ diskiriminant ifadesi incelenir :
b)İkinci örnek olarak verilen denklem şudur:
<maths>x^2 + 6x + 9 = 0 </maths> ve bunun diskriminant değeri sıfır olarak şöyle bulunur:
Bu demektir ki bu denklem çözümü birbirine eşit iki gerçel kök olur
Bu birbirine çakışık iki kök değeri -3 olur.
c) Son olarak örnek denklem şu olsun:
x2 + x + 1 = 0 Bu denklem işin diskriminant Δ değeri şu olur:
yani Δ negatifdir. Bu halde denklemin gerçel sayılarla kökleri bulunmamaktadır. Faket bu halde kompleks kökleri bulunabilir. Diskriminantın kare kökü i√3 olur ve burada i "sanal birim" operatorüdür. Bundan dolayı şu çözüm ortaya çıkar:
a) İlk olarak şu örnek denklemin çözümünü arayalım:
Çözüm için, yani iki kok x1 ve x2 bulmak için, şu Δ diskiriminant ifadesi incelenir :
b)İkinci örnek olarak verilen denklem şudur:
<maths>x^2 + 6x + 9 = 0 </maths> ve bunun diskriminant değeri sıfır olarak şöyle bulunur:
Bu demektir ki bu denklem çözümü birbirine eşit iki gerçel kök olur Bu birbirine çakışık iki kök değeri -3 olur.c) Son olarak örnek denklem şu olsun:
x2 + x + 1 = 0 Bu denklem işin diskriminant Δ değeri şu olur:
yani Δ negatifdir. Bu halde denklemin gerçel sayılarla kökleri bulunmamaktadır. Faket bu halde kompleks kökleri bulunabilir. Diskriminantın kare kökü i√3 olur ve burada i "sanal birim" operatorüdür. Bundan dolayı şu çözüm ortaya çıkar:Gerçel sayılar seti üzerinde, iki değişkenli (x ve y) iki boyutlu φ kuadratik formu şu formülle ifade edilir:
Kuadratik form aynı zamanda bir matris ifade ile de gösterilebilir:
Bu matris şeklinde ifadenin determinantinin açılması, daha önce diskriminat için verilen ifadeye, yani -1/4(b2 - 4ac) ifadesine eşittir. Bir geçen matris P kullanarak yapılan bir baz değişmesi bu determinatın değerinde değişme yapar. Daha detaylı bir açıklama ile, yeni baz için değer eski baz ile P determinantının karesinin çarpımına eşittir ve determinantın işareti değişmeden aynı kalmaktadır. Bu analizin incelenmesi daha ayrıntılı bir maddede yapılmaktadır.
Bunun için iki boyutlu kuadratik formları için üç tane farklı tanımlama yapılmaktadır. B bazında olan kuadratik formun dsiskriminantı, B bazındakı kuadratik forma bağlı olan matrisin determinatı olur. Daha onceki hale benzer bir açıklama ve hesaplama ile kuadratik formun diskriminantının b2 - 4ac. ifadesine esit olduğu tanımlanabilir. Sonra, kuadratik formun determinantına bağlı tek değişmez gibi, diskriminant da +1, 0 veya -1 değerleri alabilen determinant işareti olarak tanımlanır.
Diskriminant kuadratik formları üç tane değişik gruba ayırmaktadır. İki boyutta, kanonik bazda determinatın değerinin diskrimantı tanımlaması yapıldıktan sonra, eğer verilmis bir a degeri icin diskriminantın işareti pozitif ise, φ(x, y) = a değişebilirinin (x, y) noktalarının Ea ensamblı bir elipse karşıttır veye ensambl boştur. Eğer diskriminant sıfır ise, bu halde Ea bir parabol'a karşıt olur. Eğer diskriminant negatif ise, Ea bir hiperbol olur. Kuadratik formlar üç farklı şekilde konik seksiyon elde etmeye izin verir.
Herhangi bir derecede polinom
Bir polinom icin kok degerini diskriminant yardimi ile cikarma yontemi ikiden buyuk polinomlar icin generalize edilmemmistir. Fakat polinomun diskrimanti kavrami yine de kullanislidir. Dogrusal cebir icinde bir endomorfizim minimal polinomunda coklu koklerin mevcut bulunmasi endomorfizmin tabiatini degistir. Bu sekilde mevcudiyet diagonallestirme operasyonu imkansiz yapar. Bu aciklama rasyonel sayilarai da icine aldiginda, indirgenemiyen polinomlarin (yani faktorize edilemeyenler) coklu koklerinin bulunasi her turlu ahl icin imkansizdir. Bu hal tum haller icin gercek degildir. Galois teorisi icinde yapilan bu ayrim onemlidir ve sonuclar konfigirasyona bagli olarak degisik olabilir.
Örnekler
Bundan su formul cikartilir [1] :
Bu ifade epey karmasik gorunmektedir; fakat bunun bir uygun nedeni vardir. Geleneksel olarak bu karmasik ifade kullanilirsa yapilan ikamelerle su seklide bir polinom elde edilebilir ve bunun diskriminanti gayet basittir:
Gercel katsayili 3uncu derece polinom denklemi halinde, eger diskiriminant kesinlikle negatif ise denklemin uc tane ayri degerde gercel cozumu bulunur; eger determinant sifir ise uc tane birbirine cakisisan tek bir gercel degerde cozum vardir ve eger determinan kesinlikle pozitif ise tek bir gercel cozum nbulunupo diger iki tane cozum ise birbirlerine conjuge kompleks sayilardir.
Genel şekilde ifade
P dereceli polinom için genel diskriminant ifadesi şöyle tanımlanır:
ve bundan şu ortaya çıkar:
Diskriminant cebirsel tamsayılar halkası
Sayilar cebiri teorisi tanimi farkli gorunen bir diskriminant kavrami kullanir. Bu kavram bir kuadratik formdaki determinanta karsittir ve matamati halka A icin kullanilir. Her diskriminantin her iki tanimi da birbiriyle cok yakin olarak baglidirlar.
Eğer A halkasini (tumuyle relatiflerden olusan bir Z icin) Z[a] ile esit yapan bir cebirsel tamsayı a mevcutsa, a icin minimal polinom Z icindeki katsayilari aynen icerir. A'nin polinomlara gore tanimlanmis anlami ile cebirsel sayı teorisine gore halkanin diskrimanti anlamı ile tamamne esittir.
Kuadratik form aynı zamanda bir matris ifade ile de gösterilebilir:
Bu matris şeklinde ifadenin determinantinin açılması, daha önce diskriminat için verilen ifadeye, yani -1/4(b2 - 4ac) ifadesine eşittir. Bir geçen matris P kullanarak yapılan bir baz değişmesi bu determinatın değerinde değişme yapar. Daha detaylı bir açıklama ile, yeni baz için değer eski baz ile P determinantının karesinin çarpımına eşittir ve determinantın işareti değişmeden aynı kalmaktadır. Bu analizin incelenmesi daha ayrıntılı bir maddede yapılmaktadır.
Bunun için iki boyutlu kuadratik formları için üç tane farklı tanımlama yapılmaktadır. B bazında olan kuadratik formun dsiskriminantı, B bazındakı kuadratik forma bağlı olan matrisin determinatı olur. Daha onceki hale benzer bir açıklama ve hesaplama ile kuadratik formun diskriminantının b2 - 4ac. ifadesine esit olduğu tanımlanabilir. Sonra, kuadratik formun determinantına bağlı tek değişmez gibi, diskriminant da +1, 0 veya -1 değerleri alabilen determinant işareti olarak tanımlanır.
Diskriminant kuadratik formları üç tane değişik gruba ayırmaktadır. İki boyutta, kanonik bazda determinatın değerinin diskrimantı tanımlaması yapıldıktan sonra, eğer verilmis bir a degeri icin diskriminantın işareti pozitif ise, φ(x, y) = a değişebilirinin (x, y) noktalarının Ea ensamblı bir elipse karşıttır veye ensambl boştur. Eğer diskriminant sıfır ise, bu halde Ea bir parabol'a karşıt olur. Eğer diskriminant negatif ise, Ea bir hiperbol olur. Kuadratik formlar üç farklı şekilde konik seksiyon elde etmeye izin verir.
Herhangi bir derecede polinom
Bir polinom icin kok degerini diskriminant yardimi ile cikarma yontemi ikiden buyuk polinomlar icin generalize edilmemmistir. Fakat polinomun diskrimanti kavrami yine de kullanislidir. Dogrusal cebir icinde bir endomorfizim minimal polinomunda coklu koklerin mevcut bulunmasi endomorfizmin tabiatini degistir. Bu sekilde mevcudiyet diagonallestirme operasyonu imkansiz yapar. Bu aciklama rasyonel sayilarai da icine aldiginda, indirgenemiyen polinomlarin (yani faktorize edilemeyenler) coklu koklerinin bulunasi her turlu ahl icin imkansizdir. Bu hal tum haller icin gercek degildir. Galois teorisi icinde yapilan bu ayrim onemlidir ve sonuclar konfigirasyona bagli olarak degisik olabilir.
Örnekler
- Ikinci derece polinomlar icin ve matris notasyonu kullanarak su ifade ele gecirilir :
- Ucuncu derecede polinomlari icin genellikle bormalize edilmis polinom, yani ana diagonal elemanlarinin hepsi 1' e esit olan matrix, kullanilir ve su ifade ortaya cikar:
Bundan su formul cikartilir [1] :
Bu ifade epey karmasik gorunmektedir; fakat bunun bir uygun nedeni vardir. Geleneksel olarak bu karmasik ifade kullanilirsa yapilan ikamelerle su seklide bir polinom elde edilebilir ve bunun diskriminanti gayet basittir: Gercel katsayili 3uncu derece polinom denklemi halinde, eger diskiriminant kesinlikle negatif ise denklemin uc tane ayri degerde gercel cozumu bulunur; eger determinant sifir ise uc tane birbirine cakisisan tek bir gercel degerde cozum vardir ve eger determinan kesinlikle pozitif ise tek bir gercel cozum nbulunupo diger iki tane cozum ise birbirlerine conjuge kompleks sayilardir.
- Elips egrisleri iki degiskenli ucuncu derece polinomlarin ozel bir seklinden ortaya cikarlar.
Genel şekilde ifade
P dereceli polinom için genel diskriminant ifadesi şöyle tanımlanır:
ve bundan şu ortaya çıkar:
Diskriminant cebirsel tamsayılar halkası
Sayilar cebiri teorisi tanimi farkli gorunen bir diskriminant kavrami kullanir. Bu kavram bir kuadratik formdaki determinanta karsittir ve matamati halka A icin kullanilir. Her diskriminantin her iki tanimi da birbiriyle cok yakin olarak baglidirlar.
Eğer A halkasini (tumuyle relatiflerden olusan bir Z icin) Z[a] ile esit yapan bir cebirsel tamsayı a mevcutsa, a icin minimal polinom Z icindeki katsayilari aynen icerir. A'nin polinomlara gore tanimlanmis anlami ile cebirsel sayı teorisine gore halkanin diskrimanti anlamı ile tamamne esittir.
