Cebirsel Sayılar

Gerçel sayılar kümesinin bir alt kümesi. Katsayıları tam olan tüm polinomların gerçel kökleri, cebirsel sayılar kümesini oluşturur. Cebirsel olmayan gerçel sayılara transandant sayılar denir. Tüm rasyonel sayılar cebirsel sayılardır. Ayrıca irrasyonel cebirsel sayılar da vardır. Örneğin 7/9 rasyonel sayısı 9x-7 polinomunun, A2 irrasyonel sayısı x2-2 polinomunun birer kökü oldukları için cebirsel sayılardır. Buna karşılık ?, log 2 gibi irrasyonel sayılar, tam katsayılı hiçbir polinomun kökü olamazlar; dolayısıyla transandant sayılardır.

Cebirsel Toplam

İki ya da daha çok sayı veya niceliğin, önlerindeki artı ve eksi işaretleri gözönünde bulundurularak toplanması. Örneğin -3+9-2 ifadesinin cebirsel toplamı +4'tür. Bu ifadenin cebirsel olmayan anlamda toplamı sözkonusu değildir; çünkü aritmetik toplamda yalnızca pozitif işaretli sayılarla işlem yapılabilir.

CEBİRSEL İFADELER
Toplama-çıkarma, çarpma-bölme, kuvvet alma işlemleriyle birbirine bağlanmış sayı ve harf topluluğu. Örneğin (2x-y)3(x+y) cebirsel bir ifadedir. Sadeleştirilmiş cebirsel bir ifadede harflerden bir ya da birkaçı kök işareti altındaysa irrasyonel ifade, tersi durumunda rasyonel ifade söz konusudur. Yukarıdaki ifade irrasyonel, x2 + xy + y2 ifadesi rasyoneldir. Cebirsel ifadelerle işlem yapmanın kuralları vardır. Örneğin toplama-çıkarma, ancak benzer terimler arasında yapılabilir.

Konuya başlamadan önce değişken, bilinmeyen nedir, cebirsel ifade nedir, katsayı nedir, terim nedir hatırlayalım. Bir sayının değerinin bilinmediği durumlarda bu sayının yerine bir değişken veya bilinmeyen yazarız. (x, y, a gibi...) En az bir bir bilinmeyen ve bir işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir. Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımına terim, değişkenle çarpım durumunda bulunan sayıya katsayı denir. Örneğin 3x ifadesinde x bilinmeyen, 3 ise katsayıdır. Terimleri birbirinden ayırmak için toplama ve çıkarma işlemlerinin önünden ifadeyi böleriz. Her parça bir terimdir. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi ifadeyi toplama ve çıkarma işlemlerinin önünden parçaladık. Şimdi sabit terim nedir, benzer terim nedir öğrenelim. 3 terimli bu ifadede ilk terim 3x , ikinci terim +2xy , üçüncü terim ise -2'dir. İçerisinde bilinmeyen bulunmayan terime sabit terim diyoruz. Bir cebirsel ifadede bir değişkenin aynı veya farklı katsayılara sahip terimlerine benzer terim denir. Örneğin: 3x / 5x / - 9x / 0,5x / x terimleri benzer terimdir. 5a / a2 / 5b / 2 / 3y terimlerinden hiç biri benzer terim değildir.

CEBİRSEL İFADELERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Cebirsel ifadelerle toplama işlemi benzer terimler arasında yapılır. Benzer terimlerin katsayıları arasında toplama işlemi uygulanır. (Benzer olmayan terimler toplanamaz.)

Örnek: 3x + 5x = (5+3)x = 8x (3x ve 5x benzer terim oldukları için katsayıları toplanıp 8x bulunur) 2x + 3y2 + 9x + 2y2 = 11x + 5y2 (2x ile 9x benzerdir toplanıp 11x bulunur. 3y2 ile 2y2 benzerdir toplanıp 5y2 bulunur)

CEBİRSEL İFADELERDE ÇIKARMA İŞLEMİ
Cebirsel ifadelerle çıkarma işlemi toplama işleminde olduğu gibi benzer terimlerin katsayıları arasında yapılır.

Örnek: 9a - 3a = (9-3)a = 6a (9a ve 3a benzerdir. Katsayılarını çıkartırsak 6a buluruz) 5c + 8c - 2c = (5+8-2)c = 11c (Yine benzer terimlerin katsayıları arasında toplama çıkarma işlemi yapılır.)
NOT: Burada yaptığımız toplama, çıkarma işlemine cebirsel ifadeyi sadeleştirme, veya cebirsel ifadeyi en sade halinde yazmak da denir.

CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Cebirsel ifadelerle çarpma işlemi yapılırken çarpanlardan birindeki her bir terim ile diğerindeki her bir terim ayrı ayrı çarpılır. Elde edilen sonuçta benzer terimler varsa bunlar arasında toplama çıkarma işlemi yapılarak sadeleştirme yapılır. Cebirsel ifadelerle çarpma işlemini adım adım inceleyelim. Bir terimli bir ifadeyle bir terimli bir ifadeyi çarpmak Katsayılar çarpılıp katsayı olarak, bilinmeyenler çarpılıp bilinmeyen olarak sonuca yazılır.

Örnek: 3x ifadesi ile 5x ifadesini çarpalım. 3x'in katsayısı (3) ile 5x'in katsayısı (5) çarpılır. 3.5=15 3x'teki bilinmeyen (x) ile 5x'teki bilinmeyen (x) çarpılır. x.x=x2 Sonuç: 3x.5x = 15x2

Örnek: 4x ile -2y'i çarpalım Katsayılar çarpımı: 4.-2=-8 Biinmeyenler çarpımı: x.y = xy 4x . (-2y) = - 8xy Bir terimli bir ifadeyle iki terimli bir ifadeyi çarpmak Bir terimlideki terim diğer iki terimle sırayla çarpılır ve en son varsa sadeleştirme yapılır.

Örnek: 5 . ( 7x + 2y ) işlemini yapalım. Tek terimli 5, diğer iki terimle ayrı ayrı çarpılır. (Dağılma Özelliği gibi) = 5 . 7x + 5 . 2y = 35x + 10y Örnek: -2x . ( x + 3 ) işleminde de aynı şekilde x ve +3'ü sırayla -2x ile çarparız. = ( -2x . x) + ( -2x . 3 ) = (- 2x2) + (- 6x) İki terimli bir ifadeyle iki terimli bir ifadeyi çarpmak İlk çarpandaki her bir terim ile ikinci çarpandaki her bir terim ayrı ayrı çarpılır. Sonra sadeleştirme varsa yapılır.

Örnek: ( 2x + 3 ) . ( 4x + 1 ) işlemini yapalım. İlk ifadedeki 2x'i diğer ifadedeki 4x ve +1 ile ayrı ayrı çarpacağız. Benzer şekilde ilk ifadedeki +3'ü diğer ifadedeki 4x ve +1 ayrı ayrı çarpacağız. = (2x.4x) + (2x.+1) + (3.4x) + (+3.+1) = 8x2 + 2x + 12x + 3 [2x ile 12x toplanır] = 8x2 + 14x + 3

Örnek: ( x - 1 )2 işlemini yapalım. ( x - 1 )2 = ( x - 1 ) . ( x - 1 ) demektir. Önce ilk ifadedeki x ile diğer ifadedeki x ve -1 çarpılır. Sonra ilk ifadedeki -1 ile diğer ifadedeki x ve -1 çarpılır. = (x.x) + (x.-1) + (-1.x) + (-1.-1) = x2 + (-x) + (-x) + 1 [-x ile -x toplanır] = x2 -2x +1