Arama

Cebir

Güncelleme: 9 Nisan 2018 Gösterim: 15.012 Cevap: 7
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
25 Eylül 2008       Mesaj #1
Misafir - avatarı
Ziyaretçi

Cebir


cebir, aritmetik yöntemlerinin, simgelerle gösterilen değişken niceliklere uygulanmasına dayanan matematik dalı. Aritmetiğin genelleştirilmesi ve genişletilmesi niteliğindeki klasik cebirin yanı sıra, soyut matematiksel yapıların incelenmesini konu alan modern (soyut) cebir de günümüzde cebrin önemli bir dalını oluşturur.
Sponsorlu Bağlantılar

CEBİRİN KONUSU VE DALLARI
Aritmetik sayılara uygulanan, klasik cebir ise sayıların yanı sıra bilinmeyen ya da değeri belli olmayan sayıları temsil eden simgelere uygulanan işlemlere ilişkin kuralların bilimidir. Örneğin 2 ile 3’ün toplamının 5 olduğu ya da 14’ün 4’e bölünmesiyle 3,5 elde edileceği aritmetiğin konusuna girer; oysa bütün a ve b sayıları için a+b - b+a olduğu bir cebir kuralıdır. Hem klasik, hem de soyut cebirin iki temel özelliği vardır: Cebir, yalnızca sonlu sayıda nicelik içeren ifadelerle ve sonlu sayıda adım içeren işlem dizileriyle ilgilidir. Örneğin,
1 4- x + x2 + x3 4- • • • + xn = - ~ -X—
1 — x
bir cebir kuralıdır, ama
1 + x + x2 + x3 + • • • + x" + • • • = —^—
1 — x
kuralı cebirin alanı dışındadır. Cebirin ikinci temel özelliği soyut olmasıdır: Klasik cebirde işlemler soyut sayılara değil, sayıları temsil eden harflere uygulanır; modern cebirde ise, harfler, çok daha genel anlamda kullanılır ve soyut nesneleri temsil eder.

Klasik cebirin başlıca ilgi alamnı cebirsel denklem adı verilen ve yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üst ve kök alma işlemlerini içeren denklemlerin çözümü ve bu tür denklemlerin çözülmesi için gerekli olan sayı türlerinin tanımlanması oluşturur. Bu sayı türleri, 0,1,2,3,... gibi doğal sayıları; bunların negatiflerini; m ve « tamsayı (pozitif ya da negatif doğal sayı) olmak ve n=0 olmak üzere, m/n biçiminde tanımlanan rasyonel sayıları; bir doğru üzerindeki bütün noktalara karşılık gelen gerçek sayıları; a ile b gerçek sayılar olmak ve /=Vd olmak üzere a+ib biçiminde tanımlanan karmaşık sayıları içerir. Bu sayılara uygulanan işlemlere (örn. toplama, çarpma) ilişkin genel kuralların belirlenmesi de cebirin konusu içine girer.

Doğrusal (lineer) cebir, temel olarak, doğrusal denklemlerin çözümünü konu alan cebir dalıdır. Doğrusal denklemler, değişkenlerinin (“bilinmeyenler”inin) derecesi l’den büyük olmayan, bir başka deyişle değişkenlerin çarpımlarını ya da üstlü ifadelerini içermeyen denklemlerdir. “Doğrusal” terimi, x ve y değişkenlerini içeren böyle bir denklemin xy kartezyen düzlemindeki eğrisinin bir doğru olmasından kaynaklanmaktadır. Benzer biçimde, x, y ve z değişkenlerini içeren bir doğrusal denklem, üç boyutlu uzayda bir düzlem belirler; birlikte ele alınan böyle iki denklem ise uzayda iki düzlemin (eğer bu düzlemler paralel değilse) arakesiti olan bir doğruya karşılık gelir. Denklemdeki değişkenlerin sayısı 3’ten büyükse denklemin geometrik bir karşılığı böyle yalın bir biçimde görülemez, çünkü fiziksel uzay üç boyutla sınırlıdır. Ama gene de bu benzetme sürdürülür; örneğin 4 değişkenli bir doğrusal denklemin 4 boyutlu uzayda bir “aşırıdüzlem”e (hiperdüzlem) karşılık geldiğinden söz edilir; bu benzetme, sonlu olmak koşuluyla daha yüksek boyutlu uzaylar için de geçerlidir.

Doğrusal denklem sistemlerinin incelenmesi ve çözümünde matris ve vektörlerin kullanılması büyük kolaylık sağlar. Matris, satırlar ve sütunlar biçiminde dizilmiş sayılardan oluşan dikdörtgensel bir dizidir. Bir doğrusal denklem sisteminde, denklemlerdeki bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan matris, sistemin özelliklerinin belirlenmesinde ve çözümünde temel önemdedir. Matrislere uygulanan işlemlere ilişkin kurallar matris cebrini oluşturur. Vektörle), başlangıçta, kuvvet ve hız gibi hem büyüklüğü, hem de doğrultusu bulunan fiziksel niceliklerin matematiksel betimlemesi olarak ortaya konmuştu. Vektörlerin bu fiziksel anlamından kaynaklanan hesaplama kuralları, vektör uzayı adı verilen kapalı vektör sistemlerinin oluşturulmasını sağladı. Bir vektör uzayında matrisler, doğrusal dönüşümler olarak bilinen özel fonksiyonlara karşılık gelirler. Sonlu boyutlu vektör uzaylarında doğrusal dönüşümlerin kuramı, doğrusal cebirin ana konusunu oluşturur. Bu kuram matrisler ve doğrusal denklemler kuramını da içerir.

19. yüzyılın ilk yarısında başlayan bir dizi gelişme sonucunda modern cebir oluştu. Klasik cebir, temelde, aritmetikte kullanılan sayıları ve bunlar üzerinde tanımlanmış toplama ve çarpma işlemlerini konu alıyordu (çıkarma ve bölme işlemleri, bu iki işlemin tersleri olarak düşünülebilir). Modem cebirin konusu ise cebirsel yapılardır. Cebirsel yapılar, belirli bir küme (öğeler topluluğu) üzerinde tanımlanmış bir ya da daha fazla işlemden oluşan ve belirli aksiyomlar içeren soyut sistemlerdir. Bir cebirsel yapının öğeleri sayılar olabileceği gibi, tümüyle soyut nesneler de olabilir. Eukleides’in aksiyomlarından farklı aksiyomlara dayanan yeni ve tutarlı geometrilerin oluşturulmasına benzer biçimde, klasik cebirin aksiyomlarından (örn.a.-vb = b +a)farklı aksiyomları temel alan yeni cebirler oluşturmak olanaklıdır. Örneğin, bir küme ile bu küme üzerinde tanımlanmış bir ikili işlemden oluşan bir sistem,
1) bu işlem birleşmeli ise,
2) kümede bu işleme göre bir birim öğe (etkisiz öğe) bulunuyorsa
3) kümenin her öğesinin bu işleme göre tersi varsa, grup olarak adlandırılır. Örneğin tamsayılar kümesi ve bu küme üzerinde tanımlanmış toplama işlemi bir grup oluşturur. Benzer biçimde, pozitif rasyonel sayılar kümesi ile çarpma işlemi de bir grup oluşturur. Bir eşkenar üçgeni, bulunduğu düzlem içinde kalmak koşuluyla, merkezi çevresinde 0°, 120° ve 240°’lik açılarla döndürme, kümenin öğeleri olarak alınır; iki öğenin “çarpım”!, bir döndürmenin arkasından ikinci bir döndürme yapma olarak tanımlanırsa, bu sistemin yukardaki (1), (2) ve (3) koşullarını sağladığı, yani bir grup oluşturduğu görülür. Bir küpü, kendi üzerine oturacak biçimde, merkezi çevresinde döndürmenin 24 farklı biçiminden oluşan küme de bir grup oluşturur. 3 nesnenin 6 olanaklı permütasyonu, grup yapısına bir başka örnektir. Soyut cebirde, grup gibi bir tek işlem değil, iki farklı işlem içeren yapılar arasında halkalar ve cisimler sayılabilir. Örgüler ve belli özellikler içeren bir örgü türü olarak tanımlanabilen Boole cebiri de cebirsel yapılara bir başka örnek oluşturur.

Cebir, matematiğin en temel dalıdır; çünkü en basit aritmetik işlemlerden, en karmaşık diferansiyel ve integral hesaplarına kadar matematiğin bütün öteki dallarında uygula­nan genel kuralların belirlenmesinde cebir kullanılır. Klasik cebir, aritmetik yöntemleri simgelerle gösterilen de­ğişik niceliklere uygulayarak genelleştirir ve genişletir. Klasik cebrin yanı sıra, soyut mate­matiksel yapıları konu alan modern cebir vardır. Klasik cebrin aksiyomlarından farklı aksiyomları temel alan yeni cebir türleri de oluşturulabilir.

Klasik cebir aritmetik yöntemlerden hare­ket eder; onları genelleştirir ve genişletir. Örneğin iki sayının çarpımının, çarpanların yerleri değiştiğinde aynı kaldığını hepimiz biliriz.

3x4=4x3

Sayılar yerine harf kullanarak da bu çarpımı yazabiliriz. Sayılardan biri yerine a, öbürü yerine de b kullanırsak;

axb=bxa
olur. Bu eşitlik, "herhangi bir sayının başka herhangi bir sayı ile çarpımı, çarpanlar yer değiştirdiği zaman da hep aynı sonucu verir" kuralının kısa yoldan yazılmasıdır. Aslında bunu daha kısa;

ab=ba
olarak da yazabiliriz.
Sayılar yerine harf kullanıldığı zaman ge­nellikle çarpma işareti kullanılmaz. Benzer biçimde, 2xc yerine 2c yazarız.

Harflerin sayıları temsil edecek biçimde kullanılmasında belirli kurallar geliştirilmiş­tir. Tek, çift ve doğal sayıları aşağıdaki biçimde sırayla yazalım.

Doğal sayılar= 1 2 3 4 5 6 7...
Çift sayılar= 2 4 6 8 10 12 14...
Tek sayılar= 1 3 5 7 9 11 13...

Bu çizelgeye bakınca ilk olarak, her çift sayının, kendi karşılığı olan doğal sayının iki katı; ikinci olarak da, her tek sayının, karşılığı olan çift sayıdan bir eksik olduğu görülür. "Herhangi bir doğal sayıyı temsil etmek için n harfini kullanırsak, çizelgede o doğal sayı­nın karşılığı olan çift sayıyı, onun iki katı olduğu için 2n biçiminde yazabiliriz. Bu çift sayıya karşılık olan tek sayı da, onun bir eksiği olduğu için 2n—1 biçiminde yazıla­bilir.

Doğal, tek ve çift sayılar arasındaki ilişkiyi harf kullanarak bu biçimde tanımlamış olma­mız, n'inci tek ya da çift sayıyı kolayca bulabilmemizi sağlar. Örneğin, 25. tek sayıyı bilmek istersek, n yerine 25 yazarak sonucu kolayca buluruz.

2n-1=(2x25)-1=49

Soruyu tersinden de sorabiliriz. Örneğin, 101 sayısı tek sayılar sıralamasında kaçıncı sırada yer alır?

Bunu yanıtlamak için n'in hangi değerinin

2*1-1=101
eşitliğini sağladığını bulmaya çalışırız. Bunu çeşitli yollardan bulabiliriz; ama hangi yoldan olursa olsun bulunan sonuç

n=51
olacaktır. Demek ki, 101 sayısı 51. tek sa­yıdır.

Formüller ve Denklemler


Yukarıdaki 2n—1 = 101 örneği basit bir denk­lemdir. Denklem iki niceliğin eşitliğini göste­ren matematiksel bir anlatımdır.

Formül adı verilen genel bir denklemde bütün nicelikler yerine onları temsil eden harfler kullanılır. Örneğin bir dikdörtgenin alanını bulmak için uzunluğuyla (a) genişliği­nin (£>), daha açık bir anlatımla uzunluğunda­ki birim sayısıyla genişliğindeki birim sayısı­nın çarpıldığını biliriz. Bu, bir dikdörtgenin alanını [A] bulmaya yarayan formüldür (bak. Alan ve Hacim). Bu formül kısaca

A=ab
olarak yazılır.

Bir dikdörtgenin bazı büyüklüklerini bilir­sek geri kalanlarını bulmak için bu formülü kullanabiliriz. Bir örnek verelim: Eğer bir dikdörtgenin alanının 42 cm2 ve uzunluğunun 7 cm olduğunu biliyorsak bu değerleri formül­deki yerlerine koyarak,

42=7 b
denklemini yazabiliriz. Bu denklemi çözerek fe'nin değeri bulunur. Buna benzer basit örneklerde denklem kolayca çözülür. Ama daha karmaşık başka denklemleri çözmek daha zor olabilir.

İkinci dereceden bir denklemi ele alalım:
x2+7x=25

"jr", "x'in karesi", başka bir deyişle "x'in temsil ettiği sayının kendisiyle çarpımı" de­mektir. Öyleyse denklemimizin anlamı şudur:

"Belirli bir sayıyı kendisiyle çarpıp buna aynı sayının 7 katını eklersek elde edeceğimiz sonuç 25 oluyor; acaba bu sayı kaçtır?"

Bu denklemi çözmenin birkaç yolu vardır. Önce x,in değerinin ne olabileceğini tahmin etmeye çalışalım; jc'in yerine 3 koyalım:

32+(7x3)=30

Sonuç 25'ten büyük çıktı. Öyleyse 2'yi dene­yelim:
2:+(7x2)=18

Bu kez sonuç 25'ten küçük çıktı. Görülüyor ki x, 2 ile 3 arasında bir sayıdır. Bu kez x yerine 2,5 yazalım.

2,5: + (7x2,5) = 23,75
sonuç 25'e oldukça yakın, ama hâlâ 25'in altındadır. Bundan sonra deneyeceğimiz sayı 2,5 ile 3 arasında bir sayı olmalı. x yerine 2,6 yazarsak elde edeceğimiz sayı 24,96'dır. Bu 25'e çok yakın.bir sayıdır. Öyleyse x aşağı yukarı 2,6'ya eşittir.

Başka bir denklem türü iki bilinmeyenli denklemdir. 2x+y=3 gibi iki bilinmeyenli bir denklemde bilinmeyenlerden birinin alabile­ceği her gerçek değer için öbür bilinmeye­nin de bir gerçek değeri vardır. Bu ikili­lerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi de­nir.

Başka bir denklem türü de denklem sistem­leridir.

3x+y = x-3y = 7
gibi bir denklem sisteminde, iki bilinmeyenli iki ayrı denklemin birlikte çözümü gerekir. Bu denklem sisteminin çözümü her iki denk­lemin çözüm kümelerinin kesişimidir.
Cebirde harfler yalnızca sayıları temsil et­mez. Matematikteki herhangi bir şey harflerle gösterilebilir.

Örneğin a ve b iki vektör olsun:

a+b=b+a
eşitliği, toplama işleminde, vektörlerin sırala­rı değiştirildiğinde sonucun değişmeyeceğini anlatır.

c=2a+b
ise, c vektörünün, a vektörünün iki katına b vektörünün eklenmesi sonucu elde edildiğini gösterir.

Son düzenleyen Safi; 9 Nisan 2018 03:45
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
25 Eylül 2008       Mesaj #2
Misafir - avatarı
Ziyaretçi

Cebirsel Sayılar


Gerçel sayılar kümesinin bir alt kümesi. Katsayıları tam olan tüm polinomların gerçel kökleri, cebirsel sayılar kümesini oluşturur. Cebirsel olmayan gerçel sayılara transandant sayılar denir. Tüm rasyonel sayılar cebirsel sayılardır. Ayrıca irrasyonel cebirsel sayılar da vardır. Örneğin 7/9 rasyonel sayısı 9x-7 polinomunun, A2 irrasyonel sayısı x2-2 polinomunun birer kökü oldukları için cebirsel sayılardır. Buna karşılık ?, log 2 gibi irrasyonel sayılar, tam katsayılı hiçbir polinomun kökü olamazlar; dolayısıyla transandant sayılardır.
Sponsorlu Bağlantılar

Cebirsel Toplam


İki ya da daha çok sayı veya niceliğin, önlerindeki artı ve eksi işaretleri gözönünde bulundurularak toplanması. Örneğin -3+9-2 ifadesinin cebirsel toplamı +4'tür. Bu ifadenin cebirsel olmayan anlamda toplamı sözkonusu değildir; çünkü aritmetik toplamda yalnızca pozitif işaretli sayılarla işlem yapılabilir.

CEBİRSEL İFADELER
Toplama-çıkarma, çarpma-bölme, kuvvet alma işlemleriyle birbirine bağlanmış sayı ve harf topluluğu. Örneğin (2x-y)3(x+y) cebirsel bir ifadedir. Sadeleştirilmiş cebirsel bir ifadede harflerden bir ya da birkaçı kök işareti altındaysa irrasyonel ifade, tersi durumunda rasyonel ifade söz konusudur. Yukarıdaki ifade irrasyonel, x2 + xy + y2 ifadesi rasyoneldir. Cebirsel ifadelerle işlem yapmanın kuralları vardır. Örneğin toplama-çıkarma, ancak benzer terimler arasında yapılabilir.

Konuya başlamadan önce değişken, bilinmeyen nedir, cebirsel ifade nedir, katsayı nedir, terim nedir hatırlayalım. Bir sayının değerinin bilinmediği durumlarda bu sayının yerine bir değişken veya bilinmeyen yazarız. (x, y, a gibi...) En az bir bir bilinmeyen ve bir işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir. Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımına terim, değişkenle çarpım durumunda bulunan sayıya katsayı denir. Örneğin 3x ifadesinde x bilinmeyen, 3 ise katsayıdır. Terimleri birbirinden ayırmak için toplama ve çıkarma işlemlerinin önünden ifadeyi böleriz. Her parça bir terimdir. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi ifadeyi toplama ve çıkarma işlemlerinin önünden parçaladık. Şimdi sabit terim nedir, benzer terim nedir öğrenelim. 3 terimli bu ifadede ilk terim 3x , ikinci terim +2xy , üçüncü terim ise -2'dir. İçerisinde bilinmeyen bulunmayan terime sabit terim diyoruz. Bir cebirsel ifadede bir değişkenin aynı veya farklı katsayılara sahip terimlerine benzer terim denir. Örneğin: 3x / 5x / - 9x / 0,5x / x terimleri benzer terimdir. 5a / a2 / 5b / 2 / 3y terimlerinden hiç biri benzer terim değildir.

CEBİRSEL İFADELERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Cebirsel ifadelerle toplama işlemi benzer terimler arasında yapılır. Benzer terimlerin katsayıları arasında toplama işlemi uygulanır. (Benzer olmayan terimler toplanamaz.)

Örnek: 3x + 5x = (5+3)x = 8x (3x ve 5x benzer terim oldukları için katsayıları toplanıp 8x bulunur) 2x + 3y2 + 9x + 2y2 = 11x + 5y2 (2x ile 9x benzerdir toplanıp 11x bulunur. 3y2 ile 2y2 benzerdir toplanıp 5y2 bulunur)

CEBİRSEL İFADELERDE ÇIKARMA İŞLEMİ
Cebirsel ifadelerle çıkarma işlemi toplama işleminde olduğu gibi benzer terimlerin katsayıları arasında yapılır.

Örnek: 9a - 3a = (9-3)a = 6a (9a ve 3a benzerdir. Katsayılarını çıkartırsak 6a buluruz) 5c + 8c - 2c = (5+8-2)c = 11c (Yine benzer terimlerin katsayıları arasında toplama çıkarma işlemi yapılır.)
NOT: Burada yaptığımız toplama, çıkarma işlemine cebirsel ifadeyi sadeleştirme, veya cebirsel ifadeyi en sade halinde yazmak da denir.

CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Cebirsel ifadelerle çarpma işlemi yapılırken çarpanlardan birindeki her bir terim ile diğerindeki her bir terim ayrı ayrı çarpılır. Elde edilen sonuçta benzer terimler varsa bunlar arasında toplama çıkarma işlemi yapılarak sadeleştirme yapılır. Cebirsel ifadelerle çarpma işlemini adım adım inceleyelim. Bir terimli bir ifadeyle bir terimli bir ifadeyi çarpmak Katsayılar çarpılıp katsayı olarak, bilinmeyenler çarpılıp bilinmeyen olarak sonuca yazılır.

Örnek: 3x ifadesi ile 5x ifadesini çarpalım. 3x'in katsayısı (3) ile 5x'in katsayısı (5) çarpılır. 3.5=15 3x'teki bilinmeyen (x) ile 5x'teki bilinmeyen (x) çarpılır. x.x=x2 Sonuç: 3x.5x = 15x2

Örnek: 4x ile -2y'i çarpalım Katsayılar çarpımı: 4.-2=-8 Biinmeyenler çarpımı: x.y = xy 4x . (-2y) = - 8xy Bir terimli bir ifadeyle iki terimli bir ifadeyi çarpmak Bir terimlideki terim diğer iki terimle sırayla çarpılır ve en son varsa sadeleştirme yapılır.

Örnek: 5 . ( 7x + 2y ) işlemini yapalım. Tek terimli 5, diğer iki terimle ayrı ayrı çarpılır. (Dağılma Özelliği gibi) = 5 . 7x + 5 . 2y = 35x + 10y Örnek: -2x . ( x + 3 ) işleminde de aynı şekilde x ve +3'ü sırayla -2x ile çarparız. = ( -2x . x) + ( -2x . 3 ) = (- 2x2) + (- 6x) İki terimli bir ifadeyle iki terimli bir ifadeyi çarpmak İlk çarpandaki her bir terim ile ikinci çarpandaki her bir terim ayrı ayrı çarpılır. Sonra sadeleştirme varsa yapılır.

Örnek: ( 2x + 3 ) . ( 4x + 1 ) işlemini yapalım. İlk ifadedeki 2x'i diğer ifadedeki 4x ve +1 ile ayrı ayrı çarpacağız. Benzer şekilde ilk ifadedeki +3'ü diğer ifadedeki 4x ve +1 ayrı ayrı çarpacağız. = (2x.4x) + (2x.+1) + (3.4x) + (+3.+1) = 8x2 + 2x + 12x + 3 [2x ile 12x toplanır] = 8x2 + 14x + 3

Örnek: ( x - 1 )2 işlemini yapalım. ( x - 1 )2 = ( x - 1 ) . ( x - 1 ) demektir. Önce ilk ifadedeki x ile diğer ifadedeki x ve -1 çarpılır. Sonra ilk ifadedeki -1 ile diğer ifadedeki x ve -1 çarpılır. = (x.x) + (x.-1) + (-1.x) + (-1.-1) = x2 + (-x) + (-x) + 1 [-x ile -x toplanır] = x2 -2x +1
Son düzenleyen Safi; 8 Nisan 2018 01:55
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
25 Eylül 2008       Mesaj #3
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
Cebirsel Yapı
Cebrin, matematiğin öbür dallarına uygulanıp farklı nesnelerin belirli durumlarda tümüyle aynı özellikleri gösterdiğini ortaya koyması gerçekten çok ilgi çekicidir. Bunu açıklamak için, farklı matematiksel nesnelerle yapılan belirli bir işlemin sonuçlarını gösteren bir tablodan yararlanabiliriz. Örneğin, sayılar kendileriyle ve kendileri dışındaki öbür sayı­larla çarpılarak bir tablo düzenlenebilir. Çar­pim tablosu adı verilen bu tabloyu hepimiz biliriz. Bu tablo şöyle başlar:
Ad:  cebir_1.JPG
Gösterim: 522
Boyut:  5.5 KB
Bu tabloyu kullanarak, iki sayının, örneğin 3 ile 4'ün çarpımını bulabiliriz: 3'le başlayan satınn, üzerinde 4 yazılı sütunla kesiştiği yere bakınca gördüğümüz 12 sayısı 3 ile 4'ün çarpımıdır. Bu tabloda çarpmaya ilişkin ilgi çekici özellikler görülebilir. Örneğin, belirli bir sayının karesi olan 1,4,9, 16... gibi sayılar dışındaki bütün sayılar tabloda iki kez gözük­mektedir. Bu, çarpmanın belirli bir özelliği­nin sonucudur. Konumuza,
ab = ba
yazarak başlamıştık. Bu eşitlik, iki sayının çarpımında, çarpanların yer değiştirmesinin çarpımın sonucunu değiştirmeyeceğini anlatı­yordu. Tabloda iki kez görülen aynı sayıdan biri axb'yi öbürü bxa'yı gösterir.
Şimdi de değişik bir çarpma yöntemini ele alalım. Yapacağımız çarpmada çıkacak sonu­cun birler basamağında bulunan sayı dışında­ki bütün sayılarını atalım. Örneğin, 3x4=12 işleminde birler basamağındaki 2 sayısını alıp kalanını atalım;
Tabloya dikkat edersek ilginç bir sonuç görürüz. Elde ettiğimiz sonuçlar yalnızca 1,3,7 ve 9'dur. (Başka sayılar kullandığınızda da aynı sonucu alacağınızı düşünüyorsanız, 1, 2, 3, 4 sayılarını kullanarak benzer bir tablo düzenlemeyi deneyin.)
Bir başka örnek olarak, kare biçimindeki bir masanın çevresinde dört kişinin oturduğu­nu düşünelim. Harflerin cebirde her zaman sayıları temsil etmediğini biliyoruz. Bu örnek­te, söz konusu dört kişinin yer değiştirmeleri­ni harflerle gösterelim ve harflere aşağıda be­lirtilen anlamları verelim.
a Herkes yerinde kalıyor, s Herkes bir sola kayıyor, t Herkes bir sağa kayıyor, k Herkes karşısındakiyle yer değiştiriyor.
Bu durumda st ne anlama gelir?
Bu, s'yi t'nin izleyeceğini gösterir. Harflerin anlamını düşünürsek, herkes önce bir sola, sonra da bir sağa kayacak demektir. Bu durumda herkes başlangıçtaki yerine dönecek, demek ki aynı yerde kalmış olacaktır. Öyleyse,
st=a
yazabiliriz. Bu örnekteki işlemin tablosunu doldurmaya başlayalım:
k t
olur. İşlemi aynı
3x4=2
yöntemle sürdürürsek
3x7=1
7x9=3
3x9=7

sonuçlarını elde ederiz. Sonra 1,3,7 ve 9 sayıları için, çarpım tablosuna benzer bir tablo düzenleyelim:
Ad:  cebir_2.PNG
Gösterim: 547
Boyut:  1.5 KB
Önce s satırında kalan boşlukları doldura­lım, sa, herkes bir sola kayacak ve sonra aynı yerde kalacak demektir. Bu ise, s'nin ifade ettiği hareketle aynı sonucu verir. Sonraki boşluğa geçelim: ss, herkes bir sola, sonra ye­niden bir sola kayacak demektir. Bu ise, her­kesin karşısındakiyle yer değiştirmesiyle aynı şeydir. Öyleyse ss'nin sonucu k'nin aynıdır. Gelelim sk'ye. Bu da, herkes bir sola kayacak ve sonra karşısındakiyle yer değiştirecek de­mektir. Bundan çıkacak sonuç ise t'nin, yani herkesin bir sağa kaymasının aynı olur. Elde ettiğimiz sonuçları tabloya işleyelim:
Ad:  cebir_6.PNG
Gösterim: 412
Boyut:  694 Byte
Aynı biçimde öbür boşlukları da doldurun­ca, tamamlanmış tablo şu görünümü ala­caktır:
Ad:  cebir_3.PNG
Gösterim: 523
Boyut:  2.1 KB
Şimdi konunun ilgi çekici bölümüne geliyo­ruz. Eğer, tablodaki her harfin yerine aşağı­daki gibi bir sayı koyarsak;
O zaman bu tablo, daha önce görmüş oldu­ğumuz Tablo 1'e dönüşür. Bu iki tabloyu oluşturan iki işlem arasında gerçek hiçbir iliş­ki yoktur, ama bu iki sonuç kümesi tümüyle aynı özellikleri gösterir. Bu durumda, bunlar aynı cebirsel yapıya sahiptir denir.

Bu yapıyla ilgili olarak üç önemli özelliği belirtebiliriz:
1) Tablodaki her öğe başlangıçta ele alınan nesnelerden biridir. Örneğin Tablo 1'de, işle­me 1,3,7 ve 9'la başladık ve tabloda bunlar dışında hiçbir şey elde etmedik.
2) Ötekilerle birleştiğinde onları etkileme­yen bir sayı ya da harf her zaman vardır. Buna etkisiz öğe denir. Tablo l'de, l'in bu nitelikte bir sayı olduğu açıkça görülüyor. 1 sayısı bil­diğimiz basit aritmetikteki çarpma işleminde de böyledir; l'le çarpmak hiçbir şeyi değiştir­mez. Tablo 2'de ise etkisiz öğe a'dır.
3) Her sayı ya da harf için, onun etkisini ortadan kaldıran, onun yaptığını tersine çevi­ren bir öğe vardır. Örneğin Tablo 2'de, s (sola kayma) t'nin (sağa kayma) etkisini ortadan kaldırır. Bunu biçiminde özetleriz. Bu eşitlik, "bir sola kay­mak ve sonra bir sağa kaymak aynı yerde kal­maya eşdeğerdir" anlamını taşır, k kendi ken­dini etkisizleştirir; çünkü,
kk=a
dır. a da böyledir; çünkü,
aa=a
olur.
Bu üç özellik, matematikçilerin grup adını verdiği bir yapının belirgin özellikleridir. Şim­di, grup olmayan bir şeyin bu üç nokta çerçe­vesinde nasıl bir grup haline dönüştürülebile­ceğini görelim.
Yeniden doğal sayıları ele alalım ve bir top­lama tablosu düzenlemek için onları birbiriyle toplayalım:
Ad:  cebir_4.PNG
Gösterim: 510
Boyut:  1.8 KB
Bu tablo sonsuza dek uzayabilir; çünkü, doğal sayılar sonsuza gider. Hepsini sınaya-masak bile, iki doğal sayıyı topladığımızda ge­ne bir doğal sayıya ulaşacağımız açık bir ger­çektir. Öyleyse tablo aradığımız birinci özelli­ği taşıyor.
Bu toplama tablosunda acaba ikinci özellik var mı? Bu tabloda, ötekilere eklendiğinde etkisi olmayan hiçbir doğal sayı yoktur. Ama tablomuza sıfırı katarsak,
Ad:  cebir_5.PNG
Gösterim: 505
Boyut:  1.6 KB
tablo ikinci özelliği de kazanır. Herhangi bir doğal sayıyı n ile gösterirsek, n+0=n olur.
Üçüncü özellikte durum biraz daha karma­şıktır. Bir doğal sayıyı, örneğin 5'i ele alalım. Tabloda, 5'in eklenmesinin etkisini ortadan kaldıracak başka bir doğal sayı yoktur. O ne­denle,
x+5=0
st=a

denklemini de çözemeyiz.
Yeni bir tür sayı tanımlayarak bu güçlüğü giderebiliriz:
-5+5=0
Bu denklemde kullandığımız yeni sayı "eksi beş"tir. Böylece 5'e eklediğimiz zaman 0 elde edeceğimiz sayı —5 olur.
Her doğal sayıya karşılık olan bir "eksi" sa­yı vardır. Hepsinin birlikte oluşturduğu kü­meye tamsayılar kümesi denir:
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Cebrin çok ilgi çekici birçok başka uğraş alanı vardır. Matematiğin teorem adı verilen bazı genel yasalarını kanıtlamakta da cebir kullanılır.

MsXLabs.org & Temel Britannica
Son düzenleyen Safi; 9 Nisan 2018 02:59
ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
12 Mart 2009       Mesaj #4
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye

Lineer (Doğrusal) Cebir


Matematiğin, yöneyler (vektör), yöney uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve dizeyleri (matris) inceleyen alanıdır. Yöney uzayları, modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır. Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir.

Modern doğrusal cebirin geçmişi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır. 1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti. 1844'te Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre adlı kitabını yayınladı. Arthur Cayley, doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan dizeyleri 1857 yılında tanıttı. Ne var ki doğrusal cebir, asıl büyük atılımlarını 20. yüzyılda yapmıştır.

Temelleri
Doğrusal Cebir'in temelleri yöneylerin incelenmesinde yatar. Burda sözü edilen yöney, yönü, büyüklüğü ve doğrultusu olan bir doğru parçasıdır. Vektörler, kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir. Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler. Böylece basit bir reel yöney uzayının oluşumu gösterilebilir.
Modern Doğrusal Cebir, 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir. 2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir. N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır. Örneğin 8 ülkenin ulusal gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder. Bu vektördeki herbir elemanın bir ülkenin ulusal gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz.
Matematikte, soruna doğrusal bir açıdan bakıp, dizey cebiriyle ifade ettikten sonra onu dizey işlemleriyle çözmek, matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir. Örneğin doğrusal denklem dizgeleri (sistem) matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir.

Yöneyler ve Dizeyler

Aşağıda üç boyutlu bir sütun yöneyi görülmektedir:
Ad:  a1edd2ab816f7704e12c684.png
Gösterim: 417
Boyut:  875 Byte
Burada ise 4 boyutlu bir satır yöneyini görmekteyiz:
Ad:  6a64ccf7b6f04a57f6fdc4a.png
Gösterim: 376
Boyut:  639 Byte
Son olarak 4 satır ve üç sutundan oluşan bir dizey örneğini şöyle gösterebiliriz:
Ad:  6641a4381b952e9ea85cde4.png
Gösterim: 414
Boyut:  1.4 KB
Son düzenleyen Safi; 9 Nisan 2018 03:00
Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!
Keten Prenses - avatarı
Keten Prenses
Kayıtlı Üye
19 Mart 2009       Mesaj #5
Keten Prenses - avatarı
Kayıtlı Üye
Cebir – Cebirsel İfadeleri Sadeleştirme
Cebirsel İfadeler
+ veya – işaretleri ile birbirinden ayrılan harflere ifade denir.

3p + 2t bir cebirsel ifadedir.
3p ve 2t bu ifadeninterimleridir.

Aynı harf ile gösterilenler aynı terimlerdir.
Toplama ve Çıkarma İçin Kurallar
İfadeler, aynı terimleri toplamak veya çıkarmak koşuluyla sadeleştirilebilirler.

İfadelerin nasıl sadeleştirildiğini inceleyin:
t + t + t = 3t
3t – t = 2t
4p + 3p = 7p
pq + pq = 2pq
q 2 +q 2 = 2q 2

Bu ifadelerde terimler aynı olduğu için sadeleştirme yapılabildi. (Not: kuvvetleri de aynı olmak zorunda).

Aşağıdaki ifadelerde terimler aynı olmadığı için basitleştirme yapılamaz :
3y + 2t = 3y + 2t
4y + 3 = 4y +3
y 2 + y 3= y 2 +y 3
5x – 3y = 5x – 3y
Bu durum aşağıdaki gibi daha zor ifadelere de uygulanabilir.

Örnek 1: 3t + 4p + 2t - 3p ifadesinin en sade halini bulunuz.

3t + 2t = 5t (Not: terimler önlerinde bulunan işaretler ile beraber alınır)
4p – 3p = p
O halde, 3t + 4p + 2t – 3p = 5t + p


Örnek 2: 5y + 6x – 3y – 8x ifadesinin en sade halini bulunuz.

5y – 3y = 2y
6x – 8x = –2x
o halde, 5y + 6x – 3y – 8x = 2y – 2x
Aşağıdaki ifadelerde terimler aynı olmadığı için sadeleştirme yapılamaz:
3y + 2t = 3y +2t
4y + 3 = 4y + 3
y+y= y + y
5x – 3y = 5x – 3y
Terimlerin Çarpımı
a. Aynı terimler y × y x y = y 3 y x y x y x y = y 4 Yukarıdaki eşitliğin sağ üst köşede küçük olarak yazılmış sayıya “kuvvet” denir.Kuvvet bir harfin(ya da sayının) kaç kez kendisi ile çarpıldığını gösterir.

Örnek: p 5 = p x p x p x p x p
p 5 x p 2 = p x p x p x p x p x p x p = p 7
Not: Tabanları aynı olan terimler(burada p) çarpılırken kuvvetleri aşağıdaki gibi toplanır.
5 + 2 =7 olduğundan p 5 x p 2 =p 7
Aşağıdaki ifadelerin nasıl basitleştirildiğini (en sade halinin nasıl bulunduğunu) inceleyin:

3p 2 x 5p 3 = 15p 5 2y 3 x 4y 4 = 8y 7
b. Farlı terimler Aşağıdaki ifadelerin nasıl basitleştirilidiğini inceleyiniz:

p x q = pq
3p x 2q = 6pq (Önce katsayılarını sonra harfleri çarparız).
p 2 x q 3 = p 2 q 3


Cebirde çarpma işlemi için kurallar
Aynı terimlerde , kuvvetleri toplarız
Farklı terimlerde çarpma işaretini ortadan kaldırız
Terimleri Bölme
a. Aynı Terimler
Aşağıdaki şekilde sadeleştirin: t 5 / t 2 =
t 5
(cebirdeki bölme işaretini kullanın)
t 2
= t x t x t x t x t t x t = t 3 O halde, t 5 / t 2 = t 3
Bu işlem, aşağıdaki gibi kuvvetleri çıkartarak da bulunabilir.
6p 7 / 3p 2 = 2p 5 Önce katsayılar bölünür, sonra harfler.


b. Faklı Terimler:
Örnek 1: Bu ifadeyi sadeleştirin.
p 5 / y 3 =
p 5 y 3
Bu durumda kuvvetleri çıkartamayız.
Örnek 2: Bu ifadeyi sadeleştirin 6q 3 / 2t 5 = 6q 3 2t 5 = 3q 3 t 5
Bu durumda katsayıları bölebiliriz.
Son düzenleyen Safi; 9 Nisan 2018 04:12
Quo vadis?
_KleopatrA_ - avatarı
_KleopatrA_
Ziyaretçi
30 Kasım 2009       Mesaj #6
_KleopatrA_ - avatarı
Ziyaretçi
CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ
1 Terimli ile 1 Terimli Cebirsel İfadeyi Çarpma
Katsayılar çarpılıp katsayı olarak, bilinmeyenler çarpılıp bilinmeyen olarak sonuca yazılır.

ÖRNEK : 6 ifadesi ile 2x ifadesini çarpalım.
6 ile 2x’in katsayısı (2) çarpılır. 6.2=12
Bilinmeyen olarak sadece x olduğu için sonuç 12x bulunur.

ÖRNEK : 3x ifadesi ile 5x ifadesini çarpalım.
3x’in katsayısı (3) ile 5x’in katsayısı (5) çarpılır. 3.5=15
3x’teki bilinmeyen (x) ile 5x’teki bilinmeyen (x) çarpılır. x.x=x2
Sonuç: 3x.5x = 15x2

ÖRNEK : −4x ile 2y’i çarpalım
Katsayılar çarpımı: −4.2=−8
Biinmeyenler çarpımı: x.y = xy
−4x . 2y = −8xy

1 Terimli ile 2 Terimli Cebirsel İfadeyi Çarpma
Bir terimlideki terim diğer iki terimle sırayla çarpılır ve en son varsa sadeleştirme yapılır.

ÖRNEK : 5 . ( 7x + 2y ) işlemini yapalım.
Tek terimli 5, diğer iki terimle ayrı ayrı çarpılır. (Dağılma Özelliği)
= 5 . 7x + 5 . 2y
= 35x + 10y

ÖRNEK : −2x . ( x + 3 ) işleminde de aynı şekilde x ve +3’ü sırayla −2x ile çarparız.
= ( −2x . x) + ( −2x . 3 )
= (−2x2) + (−6x)

2 Terimli ile 2 Terimli Cebirsel İfadeyi Çarpma
İlk çarpandaki her bir terim ile ikinci çarpandaki her bir terim ayrı ayrı çarpılır. Sonra sadeleştirme varsa yapılır.

ÖRNEK : ( 2x + 3 ) . ( 4x + 1 ) işlemini yapalım.
İlk ifadedeki 2x’i diğer ifadedeki 4x ve +1 ile ayrı ayrı çarpacağız.
Benzer şekilde ilk ifadedeki +3’ü diğer ifadedeki 4x ve +1 ayrı ayrı çarpacağız.
= (2x.4x) + (2x.+1) + (3.4x) + (+3.+1)
= 8x2 + 2x + 12x + 3 [2x ile 12x toplanır]
= 8x2 + 14x + 3

ÖRNEK : ( x − 1 )2 işlemini yapalım.
( x − 1 )2 = ( x − 1 ) . ( x − 1 ) demektir.
Önce ilk ifadedeki x ile diğer ifadedeki x ve −1 çarpılır.
Sonra ilk ifadedeki −1 ile diğer ifadedeki x ve −1 çarpılır.
= (x.x) + (x.−1) + (−1.x) + (−1.−1)
= x2 + (−x) + (−x) + 1 [−x ile −x toplanır]
= x2 −2x +1
Son düzenleyen Safi; 9 Nisan 2018 03:33
MeLiSSiA - avatarı
MeLiSSiA
Ziyaretçi
17 Ocak 2010       Mesaj #7
MeLiSSiA - avatarı
Ziyaretçi
CEBİRSEL İFADELER NE DEMEKTİR?
Belli bir kurala göre verilen sayı örüntülerini harfler kullanarak denkleme dökme şekline cebirsel ifadeler denir. Diğer bir tanımla 2x gibi en az bir bilinmeyen ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir.
3a+5b gibi cebirsel ifadelerde toplama veya çıkarma sembolleriyle ayrılan 3a ve 5b'ye terim denir.Terimlerin sayısal çarpanı olan 3 ve 5'e ise katsayı denir.
Ali’nin yaşının 2 fazlası demek x+2 olarak yazılır.

Bu tür denklemleri çözerken amaç bilinmeyeni yani harfleri yalnız bırakıp harflerin sayı karşılığını bulmaktır.
Cebirsel ifadelerde kullanılan harfler sayıları temsil eder ve bilinmeyen veya değişken olarak isimlendirilir.
Değişken yerine bir sayı yazarak cebirsel ifadenin o sayı için değerini buluruz.
Değişkeni ve bu değişkenin kuvvetleri eşit olan cebirsel ifadeler benzer terimlerdir.
Cebirsel ifadeler toplanırken benzer terimlerin kat sayıları toplanır. 9x-6x gibi cebirsel ifadede harfleri aynı olan terimlere benzer terimler denir.Burada 9x ile 6x benzer terimdir.Benzer terim olunca işlem yapılır. 9x-6x=3x olur.
Cebirsel ifadeler, sayısal ifadelerin başka bir gösterimi olduğundan çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği uygulanır.
Eşit işareti (=) ve bilinmeyen içeren sayı cümlesine denklem denir. Denklemi doğru yapan değişkenin değerine o denklemin çözümü denir.
Farklı şekillerin biraraya gelmesi sonucu oluşan yeni şekillere örüntü denir.Örüntüye halı desenlerini, sınıflardaki fayansların dizilişlerini,belli bir şekilde artarak devam eden sayı dizilerini örnek verebiliriz.İşte bunlar belli bir sayısal kurala göre dizilirler.Örneğin; 2,4,6,8,...veya 3,6,9,12,... veya 5,10,15,20,25,.... gibi

CEBİRSEL İFADELERLE İLGİLİ ÖRNEK SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ
1) Veli'nin yaşının 3 katının 5 fazlası Ayşe'nin yaşına eşittir. Ayşe 17 yaşında olduğuna göre Veli kaç yaşındadır?
Çözüm:
Veli=x
3x+5=17
3x=17-5
3x=12
3x/3=12/3
x=4

2) (-3x+5) ile (x-7) cebirsel ifadelerinin toplamını bulalım.
Çözüm:
(-3x+5) + (x-7) = -3x+5+x-7
= (-3x+x)+(5-7)
= (-3+1)x + (-2)
= -2.x -2
= -2x-2

3) 6a - 7b + 9 - 2a cebirsel ifadesi veriliyor.Bu ifadede;
a) Kaç tane terim vardır?
b) Sabit terim hangisidir?
c) 2 ve 4. terimlerin katsayılarını ve bilinmeyenlerini yazınız.
d) Benzer terimler varsa hangileridir?
Çözüm:
a) 4 tane terim vardır.
b) Sabit terim 9'dur.
c) 2. ve 4. terimlerin katsayıları -7, -2
2. ve 4. terimlerin bilinmeyenleri b, a
d) 6a ile -2a benzer terimlerdir.

4) -(x-9)+2(4-3x)+8x cebirsel ifadesinin en sade eş değerini yazalım.
Çözüm:
-(x-9)+2(4-3x)+8x = -x+9+2(4-3x)+8x
= -x+9+8-6x+8x
= -x-6x+8x+9+8
= -7x+8x+17
= +x+17
= x+17

5) -(-x-5)+(-3x+3)-(5-2x)-3(-5x-1) cebirsel ifadesinin en sade eş değerini yazalım.
Çözüm:
Önce parantezin önündeki işaret ve sayıları parantezin içindeki her sayıyla ayrı ayrı dağıtarak çarpalım.İşaretlere dikkat !!!

= +x+5-3x+3-5+2x+15x+3
= +x-3x+2x+15x+5+3-5+3
= +15x+6
= 15x+6

6) Bir kenarının uzunluğu x2 olan karenin alanını ve çevresini bulalım.
Çözüm:
Karenin alanı demek bir kenarını kendisiyle çarparız.
A=x2.x2
A=x4
Karenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.
Ç=x2+x2+x2+x2
Ç=4.x2

7) Bir kenarının uzunluğu 3xolan karenin alanını ve çevresini bulalım.
Çözüm:
Karenin alanı demek bir kenarını kendisiyle çarparız.
A=3x.3x
A=9x2

Karenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.
Ç=3x+3x+3x+3x
Ç=12x

8) Bir kenarının uzunluğu x+5olan karenin alanını ve çevresini bulalım.
Çözüm:
Karenin alanı demek bir kenarını kendisiyle çarparız.
A=(x+5).(x+5)
A=x2+10x+25

Karenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.
Ç==(x+5)+(x+5)+(x+5)+(x+5)
Ç=4x+20

9) Kısa kenarı x, uzun kenarı x2 olan dikdörtgenin alanını ve çevresini bulalım.
Çözüm:
Dikdörtgenin alanı demek kısa kenarı ile uzun kenarını çarparız.
A=x.x2
A=x3

Dikdörtgenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.
Ç==x+x2+x+x2
Ç=2x2+2x

10) Kısa kenarı 3, uzun kenarı 2x2 olan dikdörtgenin alanını ve çevresini bulalım.
Çözüm:
Dikdörtgenin alanı demek kısa kenarı ile uzun kenarını çarparız.
A=3.2x2
A=6x2

Dikdörtgenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.
Ç==3+2x2+3+2x2
Ç=4x2+6

11) Bir sayının 5 eksiği nedir?
Çözüm :
‘Bir sayının’ , hangi sayı olduğu bilinmediği için , ‘bir sayıyı’ temsil eden bir değişken seçilir.Bu değişken herhangi bir sembol veya harf olabilir.’a’ harfi ‘bir sayıyı’ temsil eden değişken olarak seçerek ‘bir sayının 5 eksiği’

a-5 cebirsel ifadesiyle gösterilir.
Buna göre ; örneğin sayı 78 ise 5 eksiği a-5 = 78-5=73,
Sayı 34 ise 5 eksiği a-5 = 34-5=29 olur.

12) Ebru’nun yaşının 5 katının 2 eksiğinin cebirsel ifadesi nedir ?
Çözüm :
Ebru’nun yaşını ‘y’ ile gösterirsek , Ebru’nun yaşının 5 katı 5y ile gösterilir. Ebru’nun yaşının 5 katının 2 eksiği ise 5y-2 şeklinde gösterilir.


13) 3,6,9,12… sayı örüntüsüne göre ;
Örüntünün 5 ve 6. adımlarında ki sayıları bulalım.
Çözüm :
Örüntüyü incelediğimizde her bir adımda ki sayının , adım sayısının 3 katına eşit olduğu görülmektedir.Buna göre ;

5. Adımda ki sayı 3.5=15
6.Adımda ki sayı 3.6=18 olacaktır.

Not: ‘n’ harfi verilen örüntüdeki sayıların sırasını veya yerini belirten bir işaret veya semboldür.Bu yüzden ‘n’, örüntünün ‘n.sayısı’ , ‘temsilci sayısı’ veya ‘genel sayısı’ olarak adlandırılır.

14) Bir sayının 9 fazlası ifadesine karşılık gelen cebirsel ifadeyi yazalım.
Çözüm :
Bir sayı ‘b’ olsun . Bu sayının 9 fazlasını istiyor. Bu şekilde cebirsel ifade : b+9 olur.


15) Bir sayının 3 katının 17 fazlası ifadesine karşılık gelen cebirsel ifadeyi yazalım.
Çözüm :
Bir sayı ‘x’ olsun . Bu sayının 3 katını istiyor .Bu durum da cebirsel ifade 3x olur.Bir sayının 3 katının 17 fazlası dediği için bu cebirsel ifadeye ‘+17’ eklememiz gerekiyor. Cebirsel İfade ‘3x+17’ oluyor.www.matematikcifatih.tr.gg


16) ‘Arzu Burak’dan 6 yaş küçüktür.’ İfadesinde Burak’ın yaşı bilinmediğinden ‘y’ ile temsil edilir.Arzu’nun yaşı ‘y-6’ olur. Burak’ın yaşına yani y’ye verilecek değerlere göre Arzu’nun yaşı bulunabilir.Bu tür ifadeler cebirsel ifadelerdir.

17) 2 , 4 , 6 , 8 … örüntüsüne karşılık gelen cebirsel ifadeyi yazalım.
Çözüm :
Cebirsel ifade : 2n ‘dir. Çünkü 2’nin katlarıdır.


18) 3 , 7 , 11 , 15 sayı örüntüsünde karşılık gelen cebirsel ifadeyi değişken kullanarak yazalım.
Çözüm :
Cebirsel ifade : ‘4n-1’


19) 0 , 3 , 6 , 9 … örüntüsüne karşılık gelen cebirsel ifadeyi bulalım.
A) 3n B)n+3 C) 6n-3 D) 3n-3

Çözüm:
Böyle sorularda verilen sayıların cebirsel ifadesi bulunur. Bulunamazsada örüntü deki sayılar şıklardaki ‘n’ (yani bilinmeyen) yerine konularak sorular çözülür.
Cevap ‘’3n-3’’ olarak yazılır . Yani ‘D’ şıkkı .

20) 5ab-7b+4a cebirsel ifadesindeki terim sayısını, bilinmeyenleri, katsayıları, katsayılar toplamını bulalım.
Çözüm:
Terimleri 5ab, -7b , 4a 'dır.
Bilinmeyenleri a ve b 'dir.
Katsayıları 5, -7 , 4 'tür.
Katsayılar toplamı 5-7+4= 2 'dir.


21) 4x-7 cebirsel ifadesinin x=10 için değerini bulalım.
Çözüm:
4x-7 = 4.10-7 = 40-7 = 33 olur.

22) 'Bir sayının 12 fazlasının 2 katı' cümlesinin cebirsel ifadesini yazalım.
Çözüm:
(a+12).2

23) 'Bir sayının 2 katının 12 fazlası' cümlesinin cebirsel ifadesini yazalım.
Çözüm:
2a+12

24) 'Bir sayının 3 eksiğinin 3 katının yarısı' cümlesinin cebirsel ifadesini yazalım.
Çözüm:
(x-3).3 / 2

25) Bir sayının 5 eksiğinin yarısı 34'tür.Cebirsel ifadesindeki bilinmeyen sayıyı bulalım.
Çözüm:
x-5 / 2 = 34 cebirsel ifadeyi yazdıktan sonra payda durumundaki 2'yi 34'ün yanına çarpım olarak atarız.
x-5 = 34.2
x-5 = 68 şimdi de -5'i 68'in yanına +5 olarak atarız.
x = 68+5
x = 73

26)
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri en sade şekilde yazalım.
a) m2-m+m2+m = ? => 2m2
b) 2x2-3x-5x-4x2+8 = ? => -2x2-8x+8
c) x2- (x-1)2+x = ? => x2-x2+2x-1+x = 3x-1
d) (x-1)2+(x+2)2= ? => (x2-2x+1)+(x2+4x+4)

(x-1)2+(x+2)2= x2-2x+1+x2+4x+4
(x-1)2+(x+2)2= 2x2+2x+5
Son düzenleyen Safi; 9 Nisan 2018 03:41
DERUNİ - avatarı
DERUNİ
Ziyaretçi
14 Aralık 2010       Mesaj #8
DERUNİ - avatarı
Ziyaretçi
Cebirsel İfadeler
» İçinde en az bir bilinmeyen bulunan ve işlem içeren ifadelere Cebirsel İfadeler denir.
» 5k, k+4, k-5 gibi ifadelere cebirsel ifade, bu Cebirsel İfadelerdeki k harfine de bilinmeyen veya değişken denir. Bu Cebirsel İfadelerde bulunan k harfi bilinmeyen sayıları temsil eder.

ÖRNEK: Aşağıdaki cümlelerin karşısına uygun Cebirsel İfadeleri yazınız.
Yaşımın 3 eksiği ⇒ y – 3
Paramın 3 katının 7 fazlası ⇒ 3.p + 7
Karenin çevresi ⇒ 4a
Dikdörtgenin çevresi ⇒ 2a + 2b
Bir sayının küpü ⇒ s³
Çeşitkenar üçgenin çevresi ⇒ a+b+c
İkizkenar üçgenin çevresi ⇒ a+a+b=2a+b
Eşkenar üçgenin çevresi ⇒ a+a+a=3a

» Bir cebirsel ifade de bilinmeyene değer verilerek, cebirsel ifadelerin verilen değer için eşiti hesaplanabilir.

ÖRNEK
: 6x – 8 ifadesinin x = 10 için değerini bulunuz.
ÇÖZÜM: Cebirsel ifade de x yerine 10 yazarak istenen değeri bulabiliriz.
6x – 8 = 6.10 – 8
= 60 – 8
= 52 buluruz.

ÖRNEK
: c² + 12 ifadesinin c = 5 için değerini bulunuz.
ÇÖZÜM: Cebirsel ifade de c yerine 5 yazarak istenen değeri bulabiliriz.
c² + 12 = 5² + 12
= 25 + 12
= 37 buluruz.

Cebirsel İfadelerde Toplama İşlemi
Cebirsel İfadelerde Toplama İşlemini yapabilmemiz için benzer terimleri tanımamız gerekir.
Benzer Terim: Değişkeni ve değişkenin kuvveti aynı olan terimlere benzer terim denir.

ÖRNEK: 3x terimine benzer terimler yazınız.
ÇÖZÜM: Yazacağımız terimin 3x terimine benzer olması için değişkenin ve değişkenin kuvvetinin aynı olması gerekmektedir. Yani aslında bir terimin başka bir terime benzer olması için katsayıları haricinde kalan kısımlarının aynı olması gerekmektedir. Öyle ise aşağıdaki terimlerin hepsi 3x terimine benzerdir.
x, 5x, -4x, 3x, 12x, -15x, …. Bu şekilde 3x terimine benzer sonsuz adet terim yazabiliriz.

NOT: Cebirsel ifadelerde toplama işleminde benzer terimler kendi aralarında toplanır. Benzer olmayan terimleri toplayamayız.

ÖRNEK:
b + 3b + a ifadesini en sade şekilde yazınız. (Verilen işlemleri yapınız.)
ÇÖZÜM: b + 3b + a ifadesinde üç tane terim var. Bu terimlerden b ve 3b terimi benzer terimlerdir dolayısıyla toplayabiliriz.
b + 3b = 4b eder (1 biber + 3 biber = 4 biber).
Fakat 4b ile a yı toplayamayız. Çünkü benzer terim değiller. Bu durum biberlerle armutu toplamaya benzer.
b + 3b + a = 4b + a ifadesinin eşiti budur.

ÖRNEK
: x + 3y -5x + 2y ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM: x + 3y -5x + 2y önce bu ifadedeki benzer terimleri belirleyelim.
x + 3y -5x + 2y yandaki cebirsel ifadede aynı renklerdeki terimler benzer terimlerdir.
Benzer terimleri kendi arasında toplarsak; x – 5x = -4x ve 3y + 2y = 5y olur.
Dolayısıyla x + 3y -5x + 2y = -4x +5y dir.

Cebirsel İfadelerde Çıkarma İşlemi
Cebirsel İfadelerde Çıkarma İşlemi yapılırken önce çıkarma işlemi toplama işlemine çevirilir. Bundan sonrası Cebirsel İfadelerde Toplama İşlemi ile aynıdır. Bildiğiniz gibi çıkarma işlemi toplama işlemine çevrilirken ilk ifade aynen yazılır, çıkarma işareti toplama işaretine döndürüldükten sonra ikinci ifadenin zıt işaretlisi yazılırdı.

NOT: Cebirsel İfadelerde Çıkarma İşlemi toplama işlemine çevrildikten sonra diğer işlemler aynı toplama işleminde olduğu gibidir. Dolayısıyla bu konuya bakmadan önce Cebirsel İfadelerde Toplama İşlemini gözden geçirmenizi tavsiye ederiz.

ÖRNEK: (5x-4)-(4x-2) işleminin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM: Önce (5x-4)-(4x-2) ifadesini toplama işlemine çevirelim. Bunun için eksi sembolünün önündeki 5x-4 cebirsel ifadesini aynen yazacağız, çıkarma işaretini toplama işaretine çevirdikten sonra, ikinci ifade olan 4x-2 cebirsel ifadesinin zıt işaretlisini yazacağız. 4x-2 nin zıt işaretlisi -4x+2 dir. Öyleyse;
(5x-4)-(4x-2) = 5x-4+(-4x)+2 olur.
5x-4+(-4x)+2 ifadesinde benzer terimleri belirleyip işlem yapalım.
5x-4+(-4x)+2 = x-2 bulunur. (Benzer terimleri kendi arasında topladık.)

ÖRNEK: x-(3x-6) ifadesinin en sade halini bulunuz.
ÇÖZÜM: Önce çıkarma işlemini toplama işlemine çevirelim.
x-(3x-6) = x + (-3x) + 6
= x + (-3x) + 6 (Benzer terimleri belirledik.)
= -2x+6 ifadenin en sade halidir.

Cebirsel İfadelerde Çarpma İşlemi
Cebirsel İfadelerde Çarpma İşlemi yapılırken kat sayılar kendi arasında, değişkenler kendi arasında çarpılır.
Sonucun işareti tam sayılarda çarpma işleminde olduğu gibi belirlenir. Çarptığımız iki cebirsel ifadenin işaretleri aynı ise sonuç pozitif, işaretleri farklı ise sonuç negatif olur.

Aşağıdaki çarpma işlemlerini inceleyerek konuyu anlamaya çalışınız.
2 . 3a = 6a
-3 . 4x = -12x
-2 . -4y = +8y
x . x = x²
c . c . c = c³
3x . 5x = 3.5.x.x = 15x²
-c . c² = -c³

Aşağıdaki işlemlerde Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği kullanılmıştır.

ÖRNEK: 5 . (x + 1) = 5.x + 5.1 = 5x + 5
ÖRNEK: -7 . (y – 3) = -7.y + 21
ÖRNEK: 2a . (a+6) = 2a.a + 2a.6 = 2a² + 12a
ÖRNEK: (c+2).(c+3) = c. (c+3) +2. (c+3)
= c²+3c+2c+6
=c²+5c+6
Son düzenleyen Safi; 9 Nisan 2018 03:43
Hızlı Cevap
Mesaj:

Benzer Konular

7 Nisan 2014 / Misafir Cevaplanmış
30 Kasım 2009 / Misafir Cevaplanmış
23 Şubat 2012 / Misafir Cevaplanmış
8 Nisan 2012 / Misafir diyelim Cevaplanmış
5 Haziran 2009 / Kral_Aslan Rüya Tabirleri
Etiketler: Cebir