Çeyrekler açıklığı

Vikipedi, özgür ansiklopedi



Betimsel istatistikde çeyrekler açıklığı sıralanmış bir veri dizisinin orta yarısını (%50sini) kapsayan ve üçüncü dörttebirlik ve birinci dörttebirlik aralığını veya farkını (yani Q3 - Q1) gösteren bir istatistiksel yayılma ölçüsüdür. Birinci dörttebirlik sıralanmış veri dizisinin ilk %25inden büyük ve üçüncü dörttebirlik sıralanmış veri dizisinin %25inden daha küçük olduğu için, bu iki dörttebirlik arasında kalan veri yüzdesi %50dir. Çeyrekler açıklığı ölçüm birimi veri ölçüm birimi ile aynıdır.
Çeyrekler açıklığı sıralanmış veriler içinde aşırı küçük veya aşırı büyük uçsal değerlerden (yani dışlak değerlerden) etkilenmez. Özel bir istatistiksel terimle Çeyrekler açıklığı güçlü (en:robust) bir yayılma ölçüsüdür. Bu nedenle istatistiksel yayılma ölçüsü olarak açıklık'a tercih edilir. Eğer alışılagelen yayılma ölçüsü olarak genellikle kullanılan varyans veya standart sapma için mevcut olduğu bilinen dezavantajlar pratik bir problem için sorun yaratıyorsa (örnegin veri dizisi içinde çok aşırı bir veya birkaç dışlak değer varsa) çeyrekler açıklığı varyans veya standart sapma ya da tercih edilir.

Çeyrekler açıklığı ölçümü

Şu örnek veri serisi için veriler sıralanmış ve beraberlik olan 75 icin 1234 sıralama stratejisi uygulanarak sıralama düzeni bulunmuştur:
Örnek:
Sıralama düzeni
Sıralı veri dizisi 10 15 23 38 42 55 57 59 67 71 71 75 75 79
Bu örnek için açıklık 79-10=69 olur. Medyan değeri sıra numarası ½(14+1)=7,5 yani 07 ve 08 sıra numaralı veriler tam ortasında olup 58dir.
Birinci dörttebirlik (Q1) ¼ (14+1) = 3,75 sıra numarali olup 3 sıra numaralı veriye 3 ile 4 sıra numaralı veriler arasındaki aralığın 0,75nin eklenmesi ile elde edilir:
Q1 = 23 + 0,75 (38-23) = 34,25 olur Üçüncü dörttebirlik (Q3) (3/4)(14+1)= 11,25 sıra numaralı olup 11 sıra numaralı veriye 11 ile 12 sıra numaralı veriler arasındaki aralığın 0,25nin eklenmesi ile elde edilir:
Q3 = 71 + 0,25 (75-71) = 72 olur Böylece çeyrekler açıklığı Q3- Q1 = 72 - 34,25 = 37,75 olarak bulunur.

Olasılık dağılımları için çeyrekler açıklığı

Bir sürekli olasılık dağılımı için, cebirsel olarak, olasılık yoğunluk fonksiyonunun negatif sonsuz (-∞) değerden 0,25 değere kadar bulunan integral değeri birinci dörttebirliği; ve yine negatif sonsuzdan (-∞) 0,75 değere kadar alınan integral ise üçüncü dörttebirliği verir. Ancak birçok sürekli olasılık dağılımı için olasılik yoğunluk fonksiyonunun integralini almak çok zor olduğu, hatta bazı çok kullanılan dağılımlar için (ornegin normal dağılım) imkânsız olduğu bilinmektedir. Eğer gösterim çok iyi ve uygun ölçekli yapılmış ise, gösterimsel olarak da yığmalı olasılık dağılımi eğrisi üzerinde dörttebirlikler hemen bulunabilir.
Bazı olasılık dağılımları için çeyrekler açıklığı ve medyan değerleri şöyle verilebilir:
Dağılım Medyan Çeyrekler açıklığı Normal dağılım μ 2 Φ−1(0.75) ≈ 1.349 Laplace dağılımı μ 2b ln(2) Cauchy dağılımi μ