Katsayıları karmaşık olan ve sabit olmayan tek değişkenli her polinomun en az bir (karmaşık) kökü vardır.

Sonuç olarak, katsayıları tamsayı, rasyonel sayı veya gerçel sayı olan ve sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır; çünkü tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar da aslında birer karmaşık sayıdır. Bu sonuç elde edildikten sonra, her polinomun karmaşık sayılar cismi olan 'de çarpanlarına ayrılabileceği görülebilir; yani daha doğru bir şekilde dile getirilirse, her polinom derecesi kadar sayıda doğrusal fonksiyonların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal fonksiyonların üniter olması isteniyorsa bu çarpımın başına bir karmaşık sayı eklenir. Polinom bu son anlatılan şekilde çarpanlarına ayrılmaya çalışılırsa, böyle bir ayırma tek bir şekilde yapılabilir. Matematiksel bir dille şu ifade edilmektedir:
Eğer

eşitliği yazılabilir ve bu eşitliğin bu şekilde yazılabilmesi sadece tek bir şekilde yapılabilir. Bu şekilde yazıldıktan sonra, polinomun köklerinin olacağı açıktır. Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir.
Cebirin temel teoremi, her ne kadar cebirin ve teoremin kanıtlanmasından sonra üretilmiş matematiğin büyük bir bölümünün geliştirilmesinde önemli bir yere sahipse de, isminin içerdiği cebir kelimesi teoremi dar bir alana sokmamalıdır. Zira, bu teoremin tamamen cebirsel olan bir kanıtı bile yok gibidir. Teoremin bu isimle anılmasının sebebi teoremin kanıtlandığı dönemde cebirin kendini "denklemler kuramı" yani polinomların çözümüyle uğraşan bir kuram olarak tanımlamasıdır. Ancak, kanıtın yapıldığı zamandan bu yana cebirin kapsamına giren fikirler artmışsa da teoremin ismi değişmeden kalmıştır.
Teorem, kendine matematiğin içinde oldukça geniş bir uygulama bulmuştur. Örneğin, doğrusal cebirde özyapı dönüşümlerinin indirgenmesinde önemli bir yere sahiptir. Yine analizde, rasyonel fonksiyonların ayrışımında ve daha bir çok teoremin kanıtında kullanılmaktadır.

Bunlardan ilki yukarıda da verilen ifadedir: Sabit olmayan ve katsayıları karmaşık olan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır.

Örneğin, 1+i karmaşık sayısı polinomunun bir köküdür. Bu halde, teorem P (X ) polinomunun bir kökünün varolduğunu ifade eder; ancak bu kökün nasıl bulunacağını açıklamaz. Köklerin varlığı ilgili bu ifade aslında karmaşık sayılar cisminin bir özelliğini de tanımlamaktadır. Katsayılarını bir F cisminden alan, tek değişkenli ve derecesi en az 1 olan her polinomun yine bu F cismi içinde bir kökü varsa, F cismine cebirsel kapalı cisim adı verilir. Teorem bu yüzden şu şekilde de ifade edilebilir:

C cismi cebirsel kapalı bir cisimdir.

Karmaşık değişkenli her polinom bölünebilir; yani derecesi 1 olan ve karmaşık katsayılara sahip polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Teorem, derecesi n olan ve karmaşık katsayılı şeklindeki polinomların an(X - α1)...(X - αn) halinde de yazılabileceğini işaret eder. Burada, 1'den k'ye kadar değişen her αk polinomun bir köküdür. Burada, farklı k'ler için αk'ler eşit olabilir. Bu durumda, αk'ye katlı kök adı verilir.
Cebirin temel teoremi, katsayıları gerçel sayı olan polinomlar ele alındığında şu dengi ifadelere karşılık gelmektedir:

Gerçel katsayılara sahip, sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır.

Gerçel katsayılı indirgenmez polinomlar ya 1 derecelidir ya da ikinci dereceden diskriminantı kesin negatif olan polinomlardır (yani halinde yazılabilen ve koşulunu sağlayan polinomlar). Sabit olmayan, gerçel katsayılara sahip her polinom, derecesi 1 veya 2 olan polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.

1 (iki kere), −1 + i√2, ve −1 − i√2.

Jean le Rond D'Alembert teoremi kanıtlama ihtiyacı hisseden ilk matematikçiydi ve teoremi tamamen analitik amaçla kanıtlamaya çalışmıştı; ancak verdiği kanıt eksikti.

• Kanıt 1

• Kanıt 2

Kanıt 1'in biraz daha değiştirilmiş haliyle teorem yine kanıtlanabilir. Kanıt minimum mutlak değer teoremi kullanmadan yapılabilir (bu tür kanıtların birçoğu Cauchy integral teoremini veya sonuçlarını kullanır); ancak bu kez yapılan şey minimum mutlak değer teoreminin polinomlar için basit adımlarla kanıtlanmasıdır. Daha kesin bir ifadeyle, çelişki yoluyla kanıt yapmaya çalışırsak, olsun. O zaman, p(z) 'yi z − z0'ın kuvvetleri halinde açıp şu şekilde yazabiliriz:

Burada, cj'ler polinomunun katsayılarıdır ve k de sabit terimden sonra sıfır olmayan ilk terimin indeksini temsil etmektedir. Ama, z0 'a yeteri kadar yakın z'ler için bu polinomun asimptotik olarak polinomuna benzer davrandığını gözlemleyebiliriz. Başka bir deyişle,

ifadesi z0 noktasının belli bir komşuluğunda pozitif bir M sabiti tarafından sınırlandırılmıştır. Bu yüzden, θ0 = (arg(a) + π − arg(ck)) / k tanımlarsak ve alırsak, o zaman yeteri kadar küçük pozitif r sayısı için üçgen eşitsizliğini de kullanarak

• Kanıt 3

• Kanıt 4

• Kanıt 5