Standart Sapma

Tanımlama ve Hesaplama

1. Rassal değişken için standart sapma
Bir rassal değişken olan X icin standart sapma şöyle tanımlanır:

Burada E(X) X için beklenen değer yani ortalama ve Var(X) X için varyans değeridir.
Her rassal değişken dağılım tipi için bir standart değer var olması gerekli değildir. Çünkü bazı dağılımlar için beklenen değer bulunamaz. Örneğin, Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken X için bir standart sapma yoktur; çünkü E(X) tanımlanamaz.
Eğer bir rassal değişken X (reel sayılar olan) Ad: 5813731a2181538dcc186610eddec356.png
Gösterim: 615
Boyut: 326 Byte

Ad: 5813731a2181538dcc186610eddec356.png
Gösterim: 615
Boyut: 326 Byte

değerlerini eşit olasılıkla alırsa, o rassal değişken için standart sapma şöyle hesaplanır:
Önce, X için ortalama Ad: 34fd2436571a41ac9080dd4e238e72a5.png
Gösterim: 604
Boyut: 195 Byte

Ad: 34fd2436571a41ac9080dd4e238e72a5.png
Gösterim: 604
Boyut: 195 Byte

, şu toplam olarak tanımlanır:

Burada N alınan örneklem büyüklüğü sayısıdır.
Sonra, standart sapma ifadesi şöyle basitleştirilir:

Yani, bir aralıklı tekdüze dağılım gösteren rassal değişken X icin standart sapma şöyle hesaplanır:

Her xi değeri icin xi le ortalama değer olan arasında olan farklar olarak bulunur.
Bu farkların kareleri hesaplanır.
Bu farkların karelerinin ortalaması bulunur. Bu değer varyans, yani σ², olur.
Bu varyans değerinin kare kökü alınır.

Ancak hesaplari elle veya el hesap makinasi ile yapmak için genellikle daha uygun bir formül kullanılır:

Bu iki formülün birbire eşitliği biraz cebir kullanılarak gösterilebilir:

2. Anakütle standart sapma değerinin örneklem standart sapma kullanılarak kestirimi
Pratik hayatta, her bir anakütle elemanın ölçülmesini gerektiren bir anakütle standart sapma değeri bulmak, bazı çok nadir haller dışında (örnegin standart hale getirilmiş mekanik test etme), hiç realistik değildir. Nerede ise her halde, anakütleden bir rasgele örneklem alınır ve bu örneklemden anakütle standart sapması için bir kestirim değer bulunur. Bu kestirim, çok kere örneklem standart sapmasını anakütle standard sapmasının aynı olan bir formülü kullanmak suretiyle yapılır:

Burada

Ad: 722bfdb882d00ea9cc84ba9249b99d2f.png
Gösterim: 566
Boyut: 404 Byte

örneklem değerleri ve Ad: 8ca96727b4c0d19c76963a3d1b9488bd.png
Gösterim: 614
Boyut: 150 Byte

örneklem ortalamasıdır. Bölen değer olan N − 1

vektörü içinde bulunan serbestik derecesi olur.
Bu belki bir bakıma uygundur; çünkü eğer bir anakütle varyansının kavramsal olarak var olduğu biliniyorsa ve örneklem için anakütleden her eleman çekiminden sonra bu eleman geri konulursa, bilinmaktedir ki örneklem varyansı (yani s²) anakütle varyansı (yani σ²) için bir yansız kestirim olur. Ancak bu standart sapmalar için doğru değildir; yani yukaridaki gibi bulunan örneklem standart sapması (s) anakütle standart sapması (σ) için yansız kestirim değeri değildir ve s ile anakütle standart sapması biraz daha küçükce tahmin edilir. Eğer rassal değişken normal dağılım gösteriyorsa, bu yansız olan kestirim pratikte çok kolay olmayan bir dönüşüm ile elde edilebilmektedir. Ayrıca zaten bir kestirim için yansız olmak karekteri her zaman çok istenir bir özellik değildir.
Çok kullanılan diğer bir kestrim ise benzer bir ifade ile şöyle verilir:

olur. Eğer anakütle normal dağılım gösteriyorsa, bu şekildeki kestirim yansız kestirimden her zaman biraz daha küçük ortalama hata karesi gösterir ve bu nedenle normal için maksimum olabilirlik kestirimi olur.

3. Bir sürekli rassal değişken için standart sapma
Sürekli olasılık dağılımları için genellikle standard sapma değerinin dağılıma özel olan parametreleri kullanılarak hesaplanması için förmül vardır. Genel olarak ise, p(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu olan bir sürekli rassal değişken olan X için standart sapma şöyle verilir:

Burada

MsXLabs Üye Girişi