Arama

Standart Sapma

Güncelleme: 6 Haziran 2013 Gösterim: 10.894 Cevap: 5
ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
25 Nisan 2010       Mesaj #1
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
Standart Sapma
MsXLabs.org & Vikipedi, özgür ansiklopedi
Sponsorlu Bağlantılar

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir anakütle veya bir örneklem veya bir olasılık dağılımı veya bir rassal değişken için standart sapma, veri değerlerinin yayılımının özetlenmesi için kullanılan bir ölçüdür. Matematik notasyonunda genel olarak, bir anakütle veya bir rassal degişken veya bir olasılık dağılımı için standart sapma σ (eski Yunan harfi olan küçük sigma) ile ifade edilir; örneklem verileri için standart sapma için ise s veya s' (anakütle σ değeri için yansız kestirim) kullanılır.

Standart sapma varyansın kare köküdür. Daha matematiksel bir ifade ile standart sapma veri değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin toplamının veri sayısı -1'e bölümünün kare köküdür, yani verilerin ortalamadan sapmalarının kareler ortalamasının karekökü olarak tanımlanır. Standart sapma kavramının yayılma ölçüsü olarak kullanılmasını anlamak için ölçüm birimine bakmak gerekir. Diğer yayılma ölçüsü olan varyans verilerin ortalamadan farklarının karelerinin ortalaması olarak tanımlanır. Böylece varyans ölçüsü için veri birimlerinin karesi alınması gerekir ve varyansın birimi veri biriminin karesidir. Bu durum pratikte istenmeyen sonuçlar yaratabilir (Örneğin veriler birimi kilogram ise varyans birimi kilogram kare olur). Bundan kaçınmak icin standart sapma için varyansın kare kökü alınarak standart sapma birim veri birimi olması sağlanır ve verinin yayılımı böylece veri birimleri ile ölçülür.
Örneğin: Bir basit anakütle için kilogram birimi ile veri (4, 8, 12) olsun. Aritmetik ortalama 8 olur ve verilerin ortalamadan sapmaları (−4, 0 , 4) olur. Kare toplamlarının ortalaması olan varyans
Ad:  ss1.png
Gösterim: 663
Boyut:  1.0 KB
olur ve kilogram kare birimi ile verilir. Standart sapma 16'nın karekökü olup 4 değerdedir ve kilogram birimi ile ölçülür.
Standart sapma genel olarak niceliksel ölçekli sayılar için en çok kullanılan verilerin ortalamaya göre yayılmasını gösteren bir istatiksel ölçüdür. Eğer bir çok veri ortalamaya yakın ise, standart sapma değeri küçüktür; eğer birçok veri ortalamadan uzakta yayılmışlarsa standart sapma değeri büyük olur. Eğer bütün veri değerleri tıpatıp ayni ise standart sapma değeri sıfırdır.
Mavi olarak gösterilen bir rassal değişken dağılımı için standart sapma değeri σ rassal değişken değerlerinin ortalama μ değeri etrafında yayılmasını gösterir.
Ad:  200px-Standard_deviation.svg.png
Gösterim: 598
Boyut:  7.1 KB

Konu Başlıkları

  1. Tanımlama ve hesaplama
    • 1.1 Rassal değişken için standart sapma
    • 1.2 Anakütle standart sapma değerinin örneklem standart sapma kullanılarak kestirimi
    • 1.3 Bir sürekli rassal değişken için standart sapma
  2. Açıklama ve uygulama
    • 3.1 Normal dağılım gösteren veriler için kurallar
    • 3.2 Çebişev'in eşitsizliği
  3. Standart sapma ve ortalama arasındaki ilişki
  4. Örnekler

BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!
ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
25 Nisan 2010       Mesaj #2
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
Tanımlama ve Hesaplama

Sponsorlu Bağlantılar
1. Rassal değişken için standart sapma

Bir rassal değişken olan X icin standart sapma şöyle tanımlanır:
Ad:  5e31c9f1a59269a8f5d6dda37d8729db.png
Gösterim: 496
Boyut:  1.8 KB
Burada E(X) X için beklenen değer yani ortalama ve Var(X) X için varyans değeridir.
Her
rassal değişken dağılım tipi için bir standart değer var olması gerekli değildir. Çünkü bazı dağılımlar için beklenen değer bulunamaz. Örneğin, Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken X için bir standart sapma yoktur; çünkü E(X) tanımlanamaz.
Eğer bir rassal değişken X (reel sayılar olan) Ad:  5813731a2181538dcc186610eddec356.png
Gösterim: 476
Boyut:  326 Byte değerlerini eşit olasılıkla alırsa, o rassal değişken için standart sapma şöyle hesaplanır:
Önce, X için ortalama Ad:  34fd2436571a41ac9080dd4e238e72a5.png
Gösterim: 467
Boyut:  195 Byte, şu toplam olarak tanımlanır:
Ad:  68e7b0f7d31cb0b5bff021be00562bcf.png
Gösterim: 449
Boyut:  1.3 KB
Burada N alınan örneklem büyüklüğü sayısıdır.
Sonra, standart sapma ifadesi şöyle basitleştirilir:
Ad:  64e7589b2d8fa6814f6d38f06cd3b43b.png
Gösterim: 451
Boyut:  1.0 KB
Yani, bir aralıklı tekdüze dağılım gösteren rassal değişken X icin standart sapma şöyle hesaplanır:
  1. Her xi değeri icin xi le ortalama değer olan Ad:  8ca96727b4c0d19c76963a3d1b9488bd.png
Gösterim: 474
Boyut:  150 Byte arasında olan farklar Ad:  13bb700f5a5d221e89199af8874c8560.png
Gösterim: 473
Boyut:  220 Byte olarak bulunur.
  2. Bu farkların kareleri hesaplanır.
  3. Bu farkların karelerinin ortalaması bulunur. Bu değer varyans, yani σ², olur.
  4. Bu varyans değerinin kare kökü alınır.
Ancak hesaplari elle veya el hesap makinasi ile yapmak için genellikle daha uygun bir formül kullanılır:
Ad:  9c3cd5442f1745f7f7ee2cff3174a6e0.png
Gösterim: 505
Boyut:  1.2 KB
Bu iki formülün birbire eşitliği biraz cebir kullanılarak gösterilebilir:
Ad:  52af1f8f6cb9c93b9ce829b3ac57af8f.png
Gösterim: 625
Boyut:  5.4 KB
2. Anakütle standart sapma değerinin örneklem standart sapma kullanılarak kestirimi
Pratik hayatta, her bir anakütle elemanın ölçülmesini gerektiren bir anakütle standart sapma değeri bulmak, bazı çok nadir haller dışında (örnegin standart hale getirilmiş mekanik test etme), hiç realistik değildir. Nerede ise her halde, anakütleden bir rasgele örneklem alınır ve bu örneklemden anakütle standart sapması için bir kestirim değer bulunur. Bu kestirim, çok kere örneklem standart sapmasını anakütle standard sapmasının aynı olan bir formülü kullanmak suretiyle yapılır:
Ad:  853c79575bd7e5a9fdbc480844b76337.png
Gösterim: 446
Boyut:  1.3 KB
Burada Ad:  722bfdb882d00ea9cc84ba9249b99d2f.png
Gösterim: 412
Boyut:  404 Byte örneklem değerleri ve Ad:  8ca96727b4c0d19c76963a3d1b9488bd.png
Gösterim: 474
Boyut:  150 Byte örneklem ortalamasıdır. Bölen değer olan N − 1
Ad:  7740a4b8fcd330d5c2c6b3719f4b3a4b.png
Gösterim: 410
Boyut:  420 Byte
vektörü içinde bulunan serbestik derecesi olur.
Bu belki bir bakıma uygundur; çünkü eğer bir anakütle varyansının kavramsal olarak var olduğu biliniyorsa ve örneklem için anakütleden her eleman çekiminden sonra bu eleman geri konulursa, bilinmaktedir ki örneklem varyansı (yani s
²) anakütle varyansı (yani σ²) için bir yansız kestirim olur. Ancak bu standart sapmalar için doğru değildir; yani yukaridaki gibi bulunan örneklem standart sapması (s) anakütle standart sapması (σ) için yansız kestirim değeri değildir ve s ile anakütle standart sapması biraz daha küçükce tahmin edilir. Eğer rassal değişken normal dağılım gösteriyorsa, bu yansız olan kestirim pratikte çok kolay olmayan bir dönüşüm ile elde edilebilmektedir. Ayrıca zaten bir kestirim için yansız olmak karekteri her zaman çok istenir bir özellik değildir.
Çok kullanılan diğer bir kestrim ise benzer bir ifade ile şöyle verilir:
Ad:  22f6bb561b141171e5a6900a728fcf88.png
Gösterim: 427
Boyut:  1.2 KB
olur. Eğer anakütle normal dağılım gösteriyorsa, bu şekildeki kestirim yansız kestirimden her zaman biraz daha küçük ortalama hata karesi gösterir ve bu nedenle normal için maksimum olabilirlik kestirimi olur.

3. Bir sürekli rassal değişken için standart sapma
Sürekli olasılık dağılımları için genellikle standard sapma değerinin dağılıma özel olan parametreleri kullanılarak hesaplanması için förmül vardır. Genel olarak ise, p(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu olan bir sürekli rassal değişken olan X için standart sapma şöyle verilir:
Ad:  3fc81731793d3239e549e3d30b1b3eac.png
Gösterim: 375
Boyut:  1.2 KB
Burada
Ad:  f0e9ab3bd04559be5cccd3e688f0a471.png
Gösterim: 381
Boyut:  769 Byte

BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!
ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
26 Nisan 2010       Mesaj #3
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
Açıklama ve Uygulama

Belli bir seri sayı için standart sapma değerini bilmek ve bu kavramı anlamak demek bir ortalama etrafında bu serinin ne kadar yayılım gösterdiğini anlamaktır. Standart sapmanın büyük olması veri noktalarının ortalamadan daha uzak yayıldıklarını; küçük bir standart sapma ise ortalama etrafında daha çok yakın gruplaştıklarını gösterir.
Standart sapma belirsizliğin bir ölçüsü olarak hizmet edebilir. Fiziksel bilimlerde, tekrar tekrar yapılan deneyler ve deneylerde alınan ölçüler ise gösterilen standart sapma oldusu bu deneyin ölçülmesindeki kesinlik ve doğruluğunu gösterir. Ölçümlerin teoriye dayanan bir tahmin ile karşılaştırıp birbirine uygunluk gösterip göstermediğine karar vermede ölçümlerin standart sapması önemli rol oynar. Eğer ölçümlerin standart sapması teorik tahminden çok daha uzaksa, sınanan teorinin değiştirilmesi gerekir. İşte bu uzaklık standart sapmalarla belirlenir.
Finansmanda, standart sapma verilmiş bir menkul (hisse senedi, tahvil, emlak v.b) için rizikonun veya bir menkuller portföyü için rizikoları temsil eder. Bir yatırım portföyünün etkin olarak idare edilmesini tayin eden en önemli faktörlerden birisi rizikodur. Çünkü her tek bir menkulün veya bir menkuller portföyünün getirisindeki mümkün yayılımını riziko tanımlar ve rizikonun standart sapma ile tanımlanması ise yatırım kararları için bir matematiksel temel sağlar. En geniş kavramla, yatırım rizikosu arttıkça menkul veya menkuller portföyünün beklenen getirisi da artış gösterir. Buna neden yatırımcıların menkul getirileri icin riziko primlerini artırmaları olarak açıklanır. Diğer bir deyişle, eğer bir yatırım daha yüksek riziko seviyesi taşıyorsa, yatırımcılar o yatırımdan daha yüksek bir getiri beklemeleri gereklidir.
Uzunca bir zaman içinde herhangi bir menkul için yıllık getirilerinin ortalamasını bulmakla o menkul için beklenen getiri değerini vermektedir. Her yıl için elde edilen getiriden bu beklenen getiri farkı bulunursa buna finansmancılar ve muhasebeciler tarafından varyans adı verilir (Dikkat edilirse bu istatistiksel varyans kavramından farklıdır). Her bir yıl için varyansın karesini bulmak ve bu varyans karelerinin ortalamasının karekökü o menkulün standart sapmasını yani rizikosunu gösterir. İşte bu rizikolar yani varyanslarin karelerinin toplamının ortalamasının karekökü, standart sapmadır ve rizikoyu ölçer. Menkullerin karşılaştırılımı için temel çalışma işte bu ölçü ile yapılır.
Standart sapmalar için pratik uygulamalar daha değişik alanlarda da verilebilir; fakat burada bu ufak sayıda uygulamalar bile standart sapmanın uygun bir şekilde önemini ortaya çıkartmaktadır.


1. Normal dağılım gösteren veriler için kurallar
Koyu mavi ortalamadan bir standart sapmadan daha düşük değerleri gösterir. Normal dağılım için bu %68,27 olur; (orta ile koyu mavi) ortalamadan iki standart sapma için %95,45; (açık, orta ve koyu mavi için) ortalamadan üç standart sapma %99,73 olur.
Ad:  400px-Standard_deviation_diagram.svg.png
Gösterim: 361
Boyut:  9.8 KB
Pratikte, çok zaman verilerin yaklaşık olarak bir normal dağılım gösteren anakütleden geldiği varsayılır. Bu varsayıma neden olarak merkezsel limit teoreminin geçerliliği iddiası olur. Merkezsel limit teoremine göre birçok birbirinden bağımsız ve hepsi aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamı limitte bir normal dağılıma göre eğilim gösterirler. Eğer bu varsayim geçerli ise, değerler yaklaşık %68,27 olasılıkla ortalamadan eksi ve artı bir standart sapma noktalarının arasında bulunur; ortalamadan artı ve eksi 2 standart sapma noktaları arasında %95,45 olasılıkla ve ortalamadan artı ve eksi 3 standart sapma noktaları arasında %99,73 olasılıkla bulunur. Bu 68-95-99.7 kuralı veya bir emprik kural olarak bilinir.
Güvenlik aralıkları şöyle gösterilebilir:
Ad:  ss2.png
Gösterim: 380
Boyut:  3.2 KB
Çebişev'in eşitsizliği
Yakınlık
standart sapma birimlerinde ifade edilirse, herhangi bir veri serisi için, Çebişev'in eşitsizliği ile isbat edilmiştir ki veri değerlerin çok büyük bir çoğunluğu ortalama değere yakındır. Çebişev'in eşitsizliği sadece normal dağılım gösteren seriler için değil, bütün rasgele dağılım gösteren veri serileri için geçerlidir. Buna göre, şu zayıf sınırlar ve bu sınırlar içinde bulunan veri yüzdesi şöyle verilebilir:
Ortalamadan √2 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %50'si bulunur.
Ortalamadan 2 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %75'i bulunur.
Ortalamadan 3 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %89'u bulunur.
Ortalamadan 4 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %94'ü bulunur.
Ortalamadan 5 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %96'sı bulunur.
Ortalamadan 6 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %97'si bulunur.
Ortalamadan 7 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %98'i bulunur.
Genel olarak:
Ortalamadan k standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %(1 − 1/k²) × 100'si bulunur.
BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!
ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
26 Nisan 2010       Mesaj #4
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
Standart Sapma ve Ortalama arasındaki ilişki

Çok kere bir veri serisinin özetlenmesinde ortalama ve standart sapma birlikte bildirilmektedir. Bir anlamda, eğer ortalama verilerinin merkezi olarak kullanılan ölçü ise, standart sapma veri yayılımının
doğal ölçüsüdür. Buna neden ortalama noktasıdan standart sapmanın, verinin herhangi bir noktasıdan standarize edilmiş sapmadan daha küçük olduğudur. Bu matematiksel ifade ile şöyle gosterilebilir:
x
1, ..., xn reel sayılar olsun ve şu fonksiyon tanımlansın:
Ad:  0a9d2ccc8ca416f60da0be0b880658b3.png
Gösterim: 399
Boyut:  1.4 KB
Ya birinci türev alınıp sıfıra eşit yaparak veya daha kolay bir cebirsel yol olan kare tamamlaması kullanarak σ(r)'nın tek ve sadece tek bir minimum noktasının aritmetik ortalama olduğu; yani
Ad:  2a9f7128edb80d466e7a5e95c17dd5a5.png
Gösterim: 381
Boyut:  253 Byte
gösterilebilir.
Standart sapma ile ortalama arasındaki diğer bir ilişki ise yayılım özelliğine dayanan veri karşılaştırılmaları için kullanılan varyasyon katsayısıdır. Bir veri serisi için varyasyon katsayısı standart sapma ile ortalama arasındaki orandır. Böylece, standart sapma (ve ortalama) veri birimleri ile boyutlu iken (örnegin veri TL ile ise standart sapma ve ortalama TL birimlerindedir); varyasyon katsayısı boyutsuz sırf bir sayıdır. Bu nedenle değişik birimlerde olan verilerin yayılımlarının karşılaştırılması için kullanılabilir.
BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!
ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
26 Nisan 2010       Mesaj #5
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
Örnekler

Burada önce çok ufak bir anakütle veri serisi için standart sapma hesaplaması gösterilmektedir. Bu seri bir inşaat firmasının yabancılara yaptığı aylık daire satış sayılarını göstermektedir ve veri serisi şudur:
{5, 2, 11, 12, 3, 6}

1. Önce bir aritmetik ortalama Ad:  34fd2436571a41ac9080dd4e238e72a5.png
Gösterim: 400
Boyut:  195 Byte şöyle hesaplanır:

Ad:  4b478b91a165b9f7916fdf1ef9c95b75.png
Gösterim: 371
Boyut:  725 Byte
Burada i her veriye verilen sıra numarasıdır, yani i=1, 2, 3, ..., 6.
Yani;
x1=5
x2=2
x3=11
x4=12
x5=3
x6=6
Bu halde N = 6 olup veri büyüklüğü veya anakütle hacmidir.
Ad:  d14179ff204db5fe08ef707384e24f3a.png
Gösterim: 367
Boyut:  687 Byte
N yerine 6
Ad:  d6ae3726daadc01386905cf02d6d2690.png
Gösterim: 357
Boyut:  954 Byte
Ad:  282065071e8dc83294b3f4900e220a49.png
Gösterim: 405
Boyut:  987 Byte
Ad:  3a2cb8eab59c18968c2aa5976608b6ec.png
Gösterim: 370
Boyut:  346 Byte > Bu aritmetik ortalamadır.
2. Standart sapma 5b33f39cef9df8c1d0386c99deb5c8d9 değerini bulma:
Ad:  fd4d9053252f67e1c589d12bd7ecf4a5.png
Gösterim: 366
Boyut:  1.2 KB
Ad:  37fd68125f0b9de6dc7458498ec2a662.png
Gösterim: 347
Boyut:  1.2 KB
N yerine 6
Ad:  f405f2d1ca2e8a5d2c7e5d6fd5d42804.png
Gösterim: 354
Boyut:  1.3 KB
Ad:  34fd2436571a41ac9080dd4e238e72a5.png
Gösterim: 400
Boyut:  195 Byte yerine 6.5

Ad:  1f801da1e662be550e9f2a43ea4bfd83.jpg
Gösterim: 393
Boyut:  6.0 KB
Ad:  08f56b08908ca40b548cc3bf831e961e.png
Gösterim: 392
Boyut:  1.8 KB
Ad:  c6e40a74f768d1a408783abf3bd79dba.png
Gösterim: 385
Boyut:  1.4 KB
Ad:  193332656f01aebf594b24dac6f103eb.png
Gösterim: 378
Boyut:  825 Byte
Ad:  5df684703ccbcbdee0d1e6485e02b782.png
Gösterim: 390
Boyut:  546 Byte
Ad:  60ea35471152805bd7a9ed34f7ef5cea.png
Gösterim: 390
Boyut:  391 Byte > Bu standart sapma değeri olur.

Bu sonucun dikkati çekecek bir yanı verilerin tam sayı olmasına rağmen standart sapmanın (ve ayni şekilde aritmetik ortalamanın) kesirli olmasıdır.
Bu hesaplamayı daha kolaylaştırmak için şu formül kullanılabilir:
Ad:  9c3cd5442f1745f7f7ee2cff3174a6e0.png
Gösterim: 378
Boyut:  1.2 KB

1. Önce bir aritmetik ortalama Ad:  34fd2436571a41ac9080dd4e238e72a5.png
Gösterim: 400
Boyut:  195 Byte hesaplanır:
Ad:  4b478b91a165b9f7916fdf1ef9c95b75.png
Gösterim: 371
Boyut:  725 Byte
Ad:  282065071e8dc83294b3f4900e220a49.png
Gösterim: 405
Boyut:  987 Byte
Ad:  3a2cb8eab59c18968c2aa5976608b6ec.png
Gösterim: 370
Boyut:  346 Byte > Bu aritmetik ortalamadır.

2. Sonra toplam kareler bulunur:
Ad:  1ee3aaddc3c0db07fe94da37f154d9a5.png
Gösterim: 393
Boyut:  526 Byte = 5² + 2² + 11² + 12² + 3² + 6²
Ad:  1ee3aaddc3c0db07fe94da37f154d9a5.png
Gösterim: 393
Boyut:  526 Byte = 25+4+121+144+9+36
Ad:  1ee3aaddc3c0db07fe94da37f154d9a5.png
Gösterim: 393
Boyut:  526 Byte = 339

3. Bunlar formüle konulur:
Yani Ad:  1ee3aaddc3c0db07fe94da37f154d9a5.png
Gösterim: 393
Boyut:  526 Byte = 339, Ad:  3a2cb8eab59c18968c2aa5976608b6ec.png
Gösterim: 370
Boyut:  346 Byte, N = 6 formüle girer:
Ad:  aa58581d77ee377bfbefc4fa8f2261f7.png
Gösterim: 370
Boyut:  1.3 KB
Ad:  dabf5f394d887d4ea2201914206bbf75.png
Gösterim: 362
Boyut:  1.2 KB
Ad:  e8ae2fd6e97a1b447089c6f8bb43ed56.png
Gösterim: 363
Boyut:  936 Byte
Ad:  5df684703ccbcbdee0d1e6485e02b782.png
Gösterim: 390
Boyut:  546 Byte
Ad:  60ea35471152805bd7a9ed34f7ef5cea.png
Gösterim: 390
Boyut:  391 Byte > Bu standart sapma değeridir.
BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!
Efulim - avatarı
Efulim
VIP VIP Üye
6 Haziran 2013       Mesaj #6
Efulim - avatarı
VIP VIP Üye
Standart Sapma
MsXLabs.org & Morpa Genel Kültür Ansiklopedisi

İstatistikte, varyansın pozitif karekökü ya da bir başka deyişle, gözlemlerin her birinin, tüm gözlemlerin aritmetik ortalamasından sapma miktarlarının karelerinin aritmetik ortalaması. Formülü: dir. Bu formülde ? standart sapma, µ ortalama, xi de i'ninci gözlemdir. Standart sapma, bir dağılımın, ortalaması etrafındaki yayılmanın ölçüsüdür. Örneğin normal bir dağılımda, popülasyonun yaklaşık %63,8'i ortalamadan bir standart sapma kadar uzaklaşır.

Benzer Konular

18 Nisan 2016 / srubaa Cevaplanmış
14 Mayıs 2011 / Misafir Soru-Cevap
10 Ağustos 2012 / Efulim Fizik
24 Mart 2011 / Misafir Soru-Cevap
21 Eylül 2015 / Efulim X-Sözlük