Standart Sapma

Açıklama ve Uygulama

Belli bir seri sayı için standart sapma değerini bilmek ve bu kavramı anlamak demek bir ortalama etrafında bu serinin ne kadar yayılım gösterdiğini anlamaktır. Standart sapmanın büyük olması veri noktalarının ortalamadan daha uzak yayıldıklarını; küçük bir standart sapma ise ortalama etrafında daha çok yakın gruplaştıklarını gösterir.
Standart sapma belirsizliğin bir ölçüsü olarak hizmet edebilir. Fiziksel bilimlerde, tekrar tekrar yapılan deneyler ve deneylerde alınan ölçüler ise gösterilen standart sapma oldusu bu deneyin ölçülmesindeki kesinlik ve doğruluğunu gösterir. Ölçümlerin teoriye dayanan bir tahmin ile karşılaştırıp birbirine uygunluk gösterip göstermediğine karar vermede ölçümlerin standart sapması önemli rol oynar. Eğer ölçümlerin standart sapması teorik tahminden çok daha uzaksa, sınanan teorinin değiştirilmesi gerekir. İşte bu uzaklık standart sapmalarla belirlenir.
Finansmanda, standart sapma verilmiş bir menkul (hisse senedi, tahvil, emlak v.b) için rizikonun veya bir menkuller portföyü için rizikoları temsil eder. Bir yatırım portföyünün etkin olarak idare edilmesini tayin eden en önemli faktörlerden birisi rizikodur. Çünkü her tek bir menkulün veya bir menkuller portföyünün getirisindeki mümkün yayılımını riziko tanımlar ve rizikonun standart sapma ile tanımlanması ise yatırım kararları için bir matematiksel temel sağlar. En geniş kavramla, yatırım rizikosu arttıkça menkul veya menkuller portföyünün beklenen getirisi da artış gösterir. Buna neden yatırımcıların menkul getirileri icin riziko primlerini artırmaları olarak açıklanır. Diğer bir deyişle, eğer bir yatırım daha yüksek riziko seviyesi taşıyorsa, yatırımcılar o yatırımdan daha yüksek bir getiri beklemeleri gereklidir.
Uzunca bir zaman içinde herhangi bir menkul için yıllık getirilerinin ortalamasını bulmakla o menkul için beklenen getiri değerini vermektedir. Her yıl için elde edilen getiriden bu beklenen getiri farkı bulunursa buna finansmancılar ve muhasebeciler tarafından varyans adı verilir (Dikkat edilirse bu istatistiksel varyans kavramından farklıdır). Her bir yıl için varyansın karesini bulmak ve bu varyans karelerinin ortalamasının karekökü o menkulün standart sapmasını yani rizikosunu gösterir. İşte bu rizikolar yani varyanslarin karelerinin toplamının ortalamasının karekökü, standart sapmadır ve rizikoyu ölçer. Menkullerin karşılaştırılımı için temel çalışma işte bu ölçü ile yapılır.
Standart sapmalar için pratik uygulamalar daha değişik alanlarda da verilebilir; fakat burada bu ufak sayıda uygulamalar bile standart sapmanın uygun bir şekilde önemini ortaya çıkartmaktadır.

1. Normal dağılım gösteren veriler için kurallar

Koyu mavi ortalamadan bir standart sapmadan daha düşük değerleri gösterir. Normal dağılım için bu %68,27 olur; (orta ile koyu mavi) ortalamadan iki standart sapma için %95,45; (açık, orta ve koyu mavi için) ortalamadan üç standart sapma %99,73 olur.

Pratikte, çok zaman verilerin yaklaşık olarak bir normal dağılım gösteren anakütleden geldiği varsayılır. Bu varsayıma neden olarak merkezsel limit teoreminin geçerliliği iddiası olur. Merkezsel limit teoremine göre birçok birbirinden bağımsız ve hepsi aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamı limitte bir normal dağılıma göre eğilim gösterirler. Eğer bu varsayim geçerli ise, değerler yaklaşık %68,27 olasılıkla ortalamadan eksi ve artı bir standart sapma noktalarının arasında bulunur; ortalamadan artı ve eksi 2 standart sapma noktaları arasında %95,45 olasılıkla ve ortalamadan artı ve eksi 3 standart sapma noktaları arasında %99,73 olasılıkla bulunur. Bu 68-95-99.7 kuralı veya bir emprik kural olarak bilinir.
Güvenlik aralıkları şöyle gösterilebilir:

Çebişev'in eşitsizliği
Yakınlık standart sapma birimlerinde ifade edilirse, herhangi bir veri serisi için, Çebişev'in eşitsizliği ile isbat edilmiştir ki veri değerlerin çok büyük bir çoğunluğu ortalama değere yakındır. Çebişev'in eşitsizliği sadece normal dağılım gösteren seriler için değil, bütün rasgele dağılım gösteren veri serileri için geçerlidir. Buna göre, şu zayıf sınırlar ve bu sınırlar içinde bulunan veri yüzdesi şöyle verilebilir:

Ortalamadan √2 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %50'si bulunur.
Ortalamadan 2 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %75'i bulunur.
Ortalamadan 3 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %89'u bulunur.
Ortalamadan 4 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %94'ü bulunur.
Ortalamadan 5 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %96'sı bulunur.
Ortalamadan 6 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %97'si bulunur.
Ortalamadan 7 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %98'i bulunur.

Genel olarak:

Ortalamadan k standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %(1 − 1/k²) × 100'si bulunur.

MsXLabs Üye Girişi