Sonsuz Var mı?
Sonsuz fikri kavranması zor bir fikir gibi görünür, çünkü ilk bakışta bütün insani deneyimlerin ötesindedir. İnsan aklı sonlu düşüncelerde dile getirilen sonlu şeyleri ele almaya alışmıştır. Her şeyin bir başlangıcı ve sonu olduğu düşüncesi alışılmış bir düşüncedir. Fakat alışılmış olan mutlaka doğru değildir. Matematiksel düşünce tarihi bu konuda son derece öğretici bazı derslerle doludur. En azından Avrupa’daki matematikçiler, uzun süre sonsuzluk kavramını zihinlerden uzaklaştırmaya çalıştılar. Bu uğraşların nedeni yeterince açıktır.
Sonsuzluğu kavramsallaştırmanın açık zorluğundan başka, saf matematiksel terimlerle sonsuzluk bir çelişki içerir. Matematik belirli büyüklükleri ele alır. Sonsuzluk ise doğası gereği sayılamaz ya da ölçülemez. Bunun anlamı, ikisi arasında gerçek bir çatışma olduğudur. Bundan ötürü antik Yunanın büyük matematikçileri sonsuzluktan vebadan kaçar gibi kaçmışlardır. Buna rağmen insanoğlu felsefenin başlangıcından beri sonsuzluk hakkında spekülasyonlarda bulunmuştur.
Anaksimandros (İ.Ö. 610-547) sonsuzluğu kendi felsefesinin temeli olarak almıştır. Zenon paradoksları (İ.Ö. 450) hareketin bir yanılsama olduğunu kanıtlamaya çalışarak, sürekli büyüklüklerin bir bileşeni olarak sonsuz küçük nicelikler düşüncesinin özündeki zorluğa işaret eder. Zenon hareketi çeşitli biçimlerde “çürüttü”. Hareket halindeki bir kütlenin verili bir noktaya varmadan önce, ilkin mesafenin yarısını kat etmesi gerektiğini ileri sürdü. Ama bundan önce, bu yarı mesafenin de yarısını kat etmelidir ve bu böylece sonsuza kadar devam eder.
Bu nedenle, iki kütle aynı yönde hareket ediyorsa ve öndekinden belirli bir mesafe arkada olan daha hızlı hareket ediyorsa, arkadakinin öndekine yetişeceğini varsayarız. Böyle değildir der Zenon: “Yavaş olan hiçbir zaman hızlı olan tarafından yetişilip geçilemez.” Bu ünlü Hızlı Akhilleus paradoksudur. Akhilleus’la bir kaplumbağa arasındaki bir yarışı hayal edin. Akhilleus’un, 1000 metre önde başlayan bir kaplumbağadan on kat daha hızlı koşabileceğini varsayalım. Akhilleus 1000 metre yol kat ettiğinde kaplumbağa 100 metre önde olacaktır; Akhilleus 100 metre kat ettiğinde kaplumbağa 10 metre önde olacaktır. O mesafeyi de kat ettiğinde kaplumbağa bir metrenin onda biri kadar önde olacaktır ve bu böylece sonsuza kadar gider.
Zenon paradoksu hareketin bir yanılsama olduğunu ya da Akhilleus’un pratikte kaplumbağaya yetişemeyeceğini kanıtlamaz, ama gerçekten de bugün biçimsel mantık olarak bilinen düşünme biçiminin sınırlarını parlak bir şekilde açığa çıkarır. Tıpkı Eleacıların yaptığı gibi gerçeklikten bütün çelişkileri ayıklama girişimi, kaçınılmaz olarak bu türden çözümsüz paradokslara veya daha sonra Kant’ın taktığı isimle mantıksal çatışkılara yol açar.
Bir çizginin sonsuz sayıda noktadan oluşamayacağını kanıtlamak için Zenon, durumun gerçekten bu olması halinde Akhilleus’un kaplumbağaya asla yetişip geçemeyeceğini iddia etti. Burada gerçekten mantıksal bir sorun vardır. Alfred Hooper’ın açıkladığı gibi: Bu paradoks, ortak çarpanı 1’den küçük olan ve bu nedenle terimleri gittikçe küçülen ve böylelikle de belli bir limit değerine “yakınsayan” bir geometrik dizi oluşturan sayıların sonsuz seri toplamını bulmanın mümkün olduğunu bilen insanları bile hala şaşırtmaktadır.
Aslında Zenon, matematiksel düşüncede, iki bin yıl çözüm bekleyecek olan bir çelişkiyi ortaya çıkarmıştı. Bu çelişki sonsuzluğun kullanımıyla ilgilidir. Pythagoras’tan 17. yüzyılda diferansiyel ve integral hesaplarının keşfine kadar, matematikçiler sonsuzluk kavramının kullanımından kaçınmak için mümkün olan her yola başvurdular. Sadece büyük dahi Arkhimedes konuyu ele aldı, ancak yine de dolambaçlı bir yöntem kullanarak ondan kaçındı. Zenon’un öğrencisi olan Leukippus’tan başlayarak eski atomcular, atomların “bölünemez ve sonsuz sayıda olduklarını, sonsuz genişlikteki boş uzayda durmaksızın dolaştıklarını” ifade ettiler.
Modern fizik, iki saniye arasındaki anların sayısının sonsuz olduğunu kabul eder, tıpkı ne bir başlangıcı ne de bir sonu olan bir zaman aralığındaki anların sayısının sonsuz oluşu gibi. Evrenin bizzat kendisi, durmaksızın değişen, hareket eden ve gelişen neden ve sonuçların sonsuz bir zincirinden oluşur. Bu, “sonsuzluğun” her zaman bir sayısıyla “başladığı” basit aritmetikteki sonsuz sayı serilerini içeren kaba ve tek taraflı sonsuzluk fikrine hiç benzemez. Hegel’in “Kötü Sonsuzluk” dediği şey budur. Yunan matematikçilerin en büyüğü Arkhimedes (İ.Ö. 287-212) geometride bölünemezleri etkin bir biçimde kullandı; ancak sonsuz büyük ve sonsuz küçük fikrini mantıksal bir temel olmaksızın ele aldı.
Aynı şekilde Aristoteles, cisimlerin biçimleri olması gerektiği için sınırlanmış olmaları gerektiği ve bu nedenle sonsuz olamayacakları fikrini ileri sürdü. İki çeşit “potansiyel” sonsuzluk –aritmetikte birbirini izleyen toplamlar (sonsuz büyük) ve geometride birbirini izleyen bölümlemeler (sonsuz küçük)– olduğunu kabul ederken yine de bir çizgi parçasının birçok değişmez sonsuz küçükten veya bölünmezden oluştuğunu savunan geometricilerle polemiğe girişti. Sonsuzluğun bu inkârı klasik Yunan matematiğinin gelişimine gerçek bir engel oluşturdu.
Tersine Hintli matematikçilerin bu gibi kuruntuları yoktu ve daha sonra Araplar yoluyla Avrupa’ya giren büyük ilerlemeler sağladılar. Biçimsel mantığın katı şemaları gereğince, çelişkiyi düşünceden kovma girişimi matematiğin gelişimini duraklattı. Ancak Rönesansın maceracı ruhu insanların aklını yeni olasılıklara, işin doğrusu sonsuzluk fikrine açtı. Yeni Bilim (1638) adlı kitabında Galileo her tam sayının sadece bir tam karesinin olduğuna ve her tam karenin sadece bir pozitif tam sayının karesi olduğuna işaret etti. Böylece bir bakıma ne kadar pozitif tamsayı varsa o kadar da tam kare vardır. Bu bizi derhal mantıksal bir çelişkiye götürür. Bu, bütünün, kendisini oluşturan parçalardan daha büyük olduğu aksiyomuyla çelişir, çünkü tüm pozitif tamsayılar bir tam kare değildirler ve tüm tam kareler tüm pozitif tamsayıların bir parçasını oluştururlar.
Bu paradoks, insanoğlunun düşüncelerini ve kabullerini eleştirel bir analize tâbi tutmaya başladığı Rönesanstan beri matematikçilerin başına belâ olan sayısız paradokslardan yalnızca biridir. Bunun bir sonucu olarak, muhafazakâr kafaların inatçı direnişlerine rağmen matematiğin sözde itiraz edilemez aksiyomları ve “ebedi doğruları” yavaşça ve birer birer yerle bir edildi. Tüm gösterişli yapının çürük olduğunun ve daha sağlam ama yine de daha esnek temeller üzerinde –ki zaten varoluş sürecinde yatan ve kaçınılmaz olarak diyalektik karakterli bir temel üzerinde– tam bir yeniden inşa gereksiniminin bulunduğunun artık ortaya çıkmış olduğu bir noktaya ulaşıyoruz.
Kaynak:Aklın İsyanı/Alan Woods,Ted Grant(Matematik Gerçeği Yansıtır mı?)
