Matematiğin İmkansızları
Burada matematiğin, imkansız olduğunu ispatladığı ifadeleri bulacaksınız. Bir şeyin varolduğunu ispatlamak çoğu zaman zorlamaz, çünkü hedef bellidir, varolduğunu iddia ettiğiniz varsayımın peşinde koşarsınız. Peki ya bir şeyin var olmadığını ya da bir işin yapılmasının imkansız olduğunu göstermek? Birkaç denemede başarısız olup da, yapamıyoruz ya da bulamıyoruz demek yeterli olur mu? Olmaz.Bunun, hiçbir şekilde mümkün olmadığını ispatlamak gerekir. Her zaman olmasa da, bu tarz ispatlar matematikçileri çok zorlayabiliyor ve çözüme kavuşması yüzyılları bulabiliyor. - Antik Çağın İmkansız Problemleri
- Doğal Sayılar ile Gerçel Sayılar Arasında Birebir Eşleme
- Süreklilik Hipotezi
- Fermat'ın Son Teoremi
Antik Çağın İmkansız Problemleri
Bir pergel ve (ölçüsüz) bir cetvel kullanarak; Verilen herhangi bir açıyı 3 e bölemeyiz!
Verilen Bir küpün hacminin iki katına eşit hacimli bir küp çizemeyiz!
Verilen bir çemberinin alanına eşit alanlı bir kare çizemeyiz!
MÖ.500 civarı, Yunan tarihininden çıkma bu 3 problemin imkansızlığı, onlar ortaya çıktıktan yaklaşık 2000 yıl sonra bulunmuştur. Çözümü, cebirde, grup kuramının içinde yeralan Galois Kuramı kullanılarak yapılmaktadır. Bu çizimleri gerçekleştirdiğini düşünen pek çok insanın içine düştüğü iki önemli hata vardır: - Çizimler yapılırken, pergeli çember çizmek için (açıyı hiç bozmadan pergeli tekrar kullanabilirsiniz), cetveli de (ölçü kullanmadan) sadece düz çizgi çizmek için kullanıyoruz. Bunun aksine hareket edenler açıyı üçe bölmeyi başarabilir ama bu gerçek bir başarı olmaz.
- Kimileri bu kuralları kullanarak bazı açıları gerçekten 3e bölmeyi başarabiliyor. Sözkonusu olan açılarsa 90-180 gibi açılar. Oysa ki eldeki teorem verilen herhangi bir açının üçe bölünemeyeceğinden bahsediyor. Bu, "hiçbir açıyı üçe bölümeyiz" den ziyade "her açıyı üçe bölünemeyiz" anlamına geliyor. Aradaki farka dikkat edin.
Açının üçe bölünemeyeceğinin ispatı yapılırken, sadece bir açının örneğin 60°'nin üçe bölünmeyeceğinin ispatının yapılması yeterli oluyor. Bu imkansız problemler 1837'de Fransız matematikçi, Pierre Laurent Wantzel tarafından ispatlandı.
Doğal Sayılar ile Gerçel sayılar arasında birebir eşleme yapmak mümkün değil!
Bu problemi anlamak için, önce, birebir eşleme yapmanın ne anlama geldiğini anlamak lazım. Birebir eşleme, iki küme arasında kurulan bir ilişkidir. İki küme birebir eşlenebilir, yalnız ve ancak kümelerdeki her elemana diğer kümeden karşılık gelecek bir eleman varsa. Buradan çıkacak ilk sonuç, her kümenin kendisi ile birebir eşlenebileceğidir. Bunu ispatlamak için, her elemanı kendine gönderen bağıntıyı seçmek yeterli olacaktır. Sınırlı kümeler için de bu iş oldukça kolaydır. Ama sınırsız sayıda elemanı olan kümeler işi biraz zorlaştırabilir. Örneğin doğal sayılar kendisinin bir alt kümesi olan çift sayılar kümesiyle birebir eşlenebilir:
Benzer bir eşleme, rasyonel sayılarla doğal sayılar arasında da yapılabilir. Uzunca bir süre kimse gerçel sayılarla, doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında bu tarz bir eşleme yapamamıştır. Kimsenin böyle bir eşlemeyi bulamaması onun varolmadığı anlamına gelmiyor çünkü var değilse bile bunu da ispatlamak gerekiyor. Bu ispat 1874'de George Cantor tarafında yapılmış: "Bir küme ile kendisinin kuvvet kümesi arasında birebir eşleme yapılamaz."
Aslında bir önceki ifade bu ifadenin özel bir durumu. Çünkü Gerçel sayılar kümesi doğal sayıların kuvvet kümesi.
Biz ispatı elimizdeki özel durum için yapalım. Doğal sayılar kümesini N, kuvvet kümesini de K ile gösterelim. Varsayalım ki N kümesi K'ye birebir eşlenebilsin. Bu eşlemeyi sağlayan bağıntıya da b diyelim. Amacımız b bağıntısının örten olmadığını göstermek, diğer bir deyişle Kuvvet kümesindeki bir elemanın (yani N kümesinin bir alt kümesinin) b bağıntısı altında N kümesinde bir elemanla eşleşemediğini göstereceğiz. b eşlemesi, sözgelimi, şu tarz bir eşleşme olacak. Bazı sayılar kendisinin içinde olmadığı alt kümelerle eşleşebiliyor. Burada, 2 ve 4 bu elemanlara örnek.
Şimdi biz bu tarz elemanları alıp bir alt kümeye koyalım.
Açıkca A, doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi. Bu özelliğinden dolayı A kümesi kuvvet kümesinin bir elemanı olmalı. (Çünkü, zaten kuvvet kümesi, sözkonusu kümenin bütün alt kümelerin kümesi demek) Öyleyse N kümesinde öyle bir eleman olmalı ki bu A kümesine eşlenmeli:
Süreklilik Hipotezi
Alman Matematikçi George Cantor sonsuzları hiyerarşik bir sıraya sokan bir çalışma yapmıştır. Buna göre, sonsuz kavramı şöyle tanımlanmıştır: Eğer bir koleksiyon (kendisine eşit olmayan) bir alt koleksiyonu ile birebir eşitlenebiliyorsa o koleksiyon sonsuzdur ya da sonsuz sayıda eleman içerir denir. Matematikte önce saymaya başladığımızdan aklımıza gelen ilk sonsuzluk doğal sayıların sınırsız olduğudur. Doğal sayıların bir alt kümesi olan çift sayılar da sonsuz tanedir. Bu iki küme, birbiri ile eşlenebilir. Örneğin 1 ile 2; 2 ile 4; 3 ile 6; 4 ile 8 gibi. Benzer bir eşleme, gerçel sayılarla doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında yapılamıyor (bkz. Cantor'un ispatı) Bu da reel sayıların başka bir sonsuz olduğunu akıllara getiriyor.
) harfi ile ifade edilir. Doğal sayılar 0 iken gerçel sayılar 1'dir. Burada akla gelen soru şudur: Sonsuz sayıda eleman içeren bir küme var mıdır ki eleman sayısı (kardinalitesi) 0'dan büyük, 1'den küçük olsun. Süreklilik Hipotezi böyle bir kümenin varolmadığını söyler. 1963'de matematikçi Paul Cohen'in hem bu ifadenin hem de tersinin küme kuramı aksiyomları ile tutarlı olduğunu ispatlaması şu anlama geldi: bu ifade, küme kuramı yazılırken başta doğru ya da yanlışlığı tartışılmadan kabul edilen ifadeler yani aksiyomlar gibidir. Varlığı mevcut aksiyomlar ya da onlardan çıkan teoremler kullanılarak ispatlanamaz!
Fermat'ın Son Teoremi
Fermat gerçekte bir avukattı ama matematiğe müthiş bir ilgisi vardı. Matematik dünyasında adı amatör matematikçi olarak anılır. Amatör sözcüğü basite alınmasın, günümüzdeki pek çok sayı kuramcı, onun kendisinden iyi olduğunu itiraf eder. Fermat, üzerinde çalıştığı kitap olan, Diaphontus'un Aritmetika'sının kenarına pek çok not almış ve teorem ispatlamıştı. Hatta öyle ki, ondan sonra kitap, bu yeni bilgiler eklenerek basılmıştı. Bu notlardan birinin, matematik dünyasının 350 yıl kadar gündeminde kalacağını kim bilebilirdi? Fermat'ın Son Teoremi:
xn + yn = zn ifadesindeki (x,y,z) üçlüsünün n > 2 ve n 
N olarak tanımlanan hiçbir n için (önemsiz) tam sayı çözümü yoktur.
Teoremdeki önemsiz sözcüğü ilginizi çekebilir. Örneğin (0,0,0); (1,0,1) ya da (0,1,1) bu ifade için 3 farklı çözümdür ama Fermat bu tarz basit çözümlerle ilgilenmiyor.
Fermat bu hipotezin altına bir de not iliştirmiş:
"Çok güzel bir ispat buldum ama buraya yazmak için yeterli yok!"
* Yine az öncekilere benzer bir durumla karşı karşıyayız. Elimizde sonsuz tane denklem var, deniyoruz ama bir türlü ifadeyi sağlayan (x,y,z) üçlüsü bulamıyoruz. Öyleyse gerçekten Fermat doğru söylüyor, deyip son noktayı koyamıyoruz. Bu çözümsüzlüğün ispatlanması gerekir. Tarihsel sıralamada önce belli değerler için ifadenin doğruluğu ispatlanıyor. n=3, 4, 5. İspatın her doğal sayı için doğruluğu ancak Fermat'ın ölümünden 328 yıl sonra, 1993'te İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından yapılabildi. İspat üzerinde çalışmaya 10 yaşında başlayan bu matematik aşığı insan olmasa, belki hipotez, bugün hala bir çözüm bekleyenler arasında olacaktı!
biltek.tubitak.gov.tr
