Arama

Matematik Bilimi

Güncelleme: 3 Hafta Önce Gösterim: 58.336 Cevap: 9
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
17 Eylül 2006       Mesaj #1
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
Matematik Bilimi

Sponsorlu Bağlantılar
Tarihi
İlk matematikçi belki de, sürüsündeki hayvanları saymaya çalışan bir çobandı. Büyük bir olasılıkla da ilk bulunan sayı "çok" dur. Sonra 2, daha sonra da 1 bulunmuş olabilir. Ama en zor bulunan 0 (sıfır)'dır. Sıfır sayısı M.S. 7. yy. da kullanılmaya başlanmıştır. Bu belki de insanlığın en büyük buluşudur. Sayma sisteminin ne kadar uzun sürede geliştiği, ilkel toplumlarda nasıl doğduğu, yakın zamanlarda ortaya çıkarılan bir takım ilkel kavimlerde gözlenebilmiştir.
Avustralya'da bir kavim 1, 2, 3, çok diye dört sayı biliyor, fakat bütün çocuklarını sayabiliyormuş; ilk doğan erkek çocuğun her ailede adı aynıymış, 2 ve 3. için de böyle ve kız çocukları için de benzer uygulama yapılıyormuş. Bu şekilde bir çocuğun kaçıncı erkek ya da kaçıncı kız çocuğu olduğunu anlıyorlarmış. Ama hayvanlarını sayamıyorlarmış.
Bir başka kavimde, en çok koyunu olan kişi, kavmin reisi olarak seçiliyormuş. Seçimde iki aday varsa yan yana iki ağıldan koyunlar birer birer çıkarılıyor ve ilk tükenen seçimi kaybediyormuş.
Oldukça erken çağlarda, insanlar aynı cins nesneleri karşılaştırarak, büyüklüklerini ölçerek ve aralarında oranlar kurarak matematiğe başlamışlardır. Kemik üzerine, kum üzerine çizerek ya da ipe düğüm atarak bir büyüklüğü belirtmeye çalışmışlardır.
Sümer çobanları her hayvanı kilden bir koni ile gösterip, bu konileri kıldan bir torba ya da kilden bir küp içinde biriktirerek ölüm, doğum, alım, satım hesaplarını tutmuşlar. Mezopotamya'da küp üzerine benzer şekiller çizilmiş. Böylece M.Ö.3000'e doğru ilk yazılı sayılarla karşılaşmış oluyoruz.
Tarımla uğraşan en ilkel kabileler bile, mevsimlerle ilgili bilgileri edinmek zorundaydılar. Örneğin, Eski Mısır'da Nil taşkınlarının ne zaman olacağını bilmek çok önemliydi. Taşkından sonra kaybolan toprak sınırlarını yeniden hesaplamak gerekiyordu. Geometri ve astronomi bu sayede gelişti.
Fenikeliler gibi tüccar-denizci toplumların ekonomileri bir muhasebe sistemi gerektirmiştir. Miras bölüşümü ve denizcilik zanaatı için aritmetiğin, geometri ve astronominin bilinmesine gereksinim vardı. Böylece, toplumsal yaşamın gerektirdiği matematiksel gelişme belirli bir düzeye erişti. Daha sonra matematik sadece uzmanların anlayabildiği bir meta haline geldi; insanlar olgularla yetinmeyip ispata yöneldiler. Bu durum, en belirgin bir biçimde eski Yunanistan’da ortaya çıktı. İspat etmenin ön plana çıkması ile matematik günümüzdeki gelişmişlik düzeyine ulaştı.
Eski Mısır'da Pitagor (Pisagor) teoremi biliniyordu. Ancak ispatı önemliydi ve ilk olarak Eski Yunanistan'da ispat edildi.
Hindistan'da tüccar bir toplum vardı ve teoriden çok pratiğe önem veriliyordu. Ancak ticarette borç problemlerinin çözümü için negatif sayılara gereksinim vardı. Böylece, bildiğimiz sayı sistemi, dolayısıyla Analiz ve Cebir gelişti. Bu kavramlar daha sonra Araplar aracılığıyla Avrupa'ya geçti.
Oldukça erken çağlarda başlayan ve Babil, Asur, Mısır, Yunan uygarlıklarında genel toplumsal yaşamın gerektirdiği ölçüde gelişen matematik Avrupa’ya oldukça geç ulaşabildi. Ancak belirli bir gelişmişlik düzeyinde Avrupa’ya ulaşan matematik, 15. yy. 'a kadar sadece az sayıda din adamı ya da filozofun elinde birer eğlence ya da güç gösterisi olmaktan öteye gidemedi.15.yy tam sayılarla toplama ve çıkarma, Avrupa’nın ancak birkaç üniversitesinde öğretilebiliyordu. Çarpmayı öğrenmek için İtalya’nın önemli bir kaç üniversitesinden birine gitmek gerekiyordu. Geometri olarak, Öklid geometrisinin basit konuları, sadece büyük filozofların tartışma konusuydu. Bölme işlemi ise 16.yy getirdiği bir yenilikti.
Matematikte bilim kavramı ancak 17. yy. da kullanılmaya başlandı. 20.yy başlarında analiz, cebir ve geometri belirli bir düzeye erişebildi; kümeler teorisi kuruldu, matematik büyük bir gelişme hızı kazandı ve ilerlemeğe devam ediyor.
Matematik, bir yönüyle resim ve müzik gibi bir sanat, bir yönüyle bir dil ve başka bir yönüyle de tabiatı anlamaya yönelik yöntemler manzumesidir. Matematiğin yazılı belgelere dayalı 4500 yıllık bir tarihi vardır. Bu zaman dilimi içinde, matematiğin gelişimi 5 döneme ayrılır. Birinci dönem, başlangıçtan M.Ö. 6. yüzyıla kadar, Mısır ve Mezopotamya'da yapılan matematiği kapsar. Mısır’da bilinen matematik, tam ve kesirli sayıların 4 işlemi, bazı geometrik şekillerin alan ve hacim hesaplarıdır.
Bugün okullarımızda öğretilen matematiğin ortaokul 2. sınıfa kadarki kısmi olarak değerlendirebiliriz. Aynı dönemde Mezopotamya'da matematik biraz daha ileridir; onların bildikleri matematiğin düzeyi de lise 2. sınıf matematiği düzeyidir. Matematik, günlük hayatin ihtiyaçlarına (takvim belirlemek, muhasebe ve mimari hesaplar gibi) yönelik, henüz sanat düzeyine ulaşmamış, zanaat düzeyinde bir uğraşıdır. Formel ifadeler, formüller ve akil yürütmeye dayalı ispatlar yoktur. Bulgular deneye dayalı ve işlemler sayısaldır. İkinci dönem, M. Ö. 6. yy'dan M. S. 6. yy'a kadar uzanan Yunan matematiği dönemidir. Matematiğin nitelik değiştirdiği, zanaat düzeyinden sanat düzeyine geçtiği dönemdir. Yunan matematiğinin başlangıcında Mısır ve Mezopotamya varsa da Yunan döneminde, matematiğin günümüze kadar yönü belirlenmiş, bir sıçrama yapılmıştır.
Matematiğe en önemli katkılar Platon'un akademisinde ve İskenderiye’deki Museum'da yetişen bilim adamlarından gelmiştir. Yunan matematiği esasta 'sanat için sanat' anlayışıyla yapılan ve günümüz manasında modern bir matematiktir. Üçüncü dönem, M.S. 6. yy'dan 17. yy'in sonlarına kadar olan dönemdir. Bu dönemde, matematiğin yaşadığı dünya İslam dünyası ve Hindistan’dır. Müslümanların matematiğe katkısı büyük bir tartışma konusudur. Kimilerine göre, Müslümanların matematiğe, Yunan matematiğini yaşatmak ve Batı’ya transfer etmekten öte, bir katkıları olmamıştır. Kimilerine göre ise, Müslümanların matematiğe özgün kalkılan olmuştur. (Bu katkılar Avrupalı matematikçiler tarafından tekrar bulunmuş ya da göz ardı edilmiştir.) Müslümanların matematiğe katkısı yeterince araştırılmamıştır. Son yıllarda yapılan araştırmalar, matematiğin en önemli bulusu olan türevin, Avrupalılardan 500 yıl önce Azerbaycanlı Şerafettin Al-Tusi tarafından bulunmuş olduğunu ortaya çıkarmıştır. Tarihi olaylar- Haçlı seferleri, Moğol istilası ve dâhili olaylar-, İslam dünyasının nakli bilimlere geçmesine ve sonuç olarak bilimin yerini safsatanın almasına neden olmuştur. 16. yy' da matematikte tek söz sahibi Avrupalılardır.
Dördüncü dönem, 1700–1900 yılları arasını kapsar ve 'Klasik Matematik Dönemi' olarak bilinir. Matematiğin 'Altın Çağları' olarak da anılır. Büyük hipotez ve teorilerin ortaya çiktigi, matematiğin kullanım alanının bütün bilim dallarını kapsayacak şekilde genişlediği bir dönemdir. Matematik, bütün pozitif bilimlerin temelim oluşturacak bir konuma gelmiştir. Bugün üniversitelerde okutulan matematiğin büyük bir kısmi bu dönemin ürünüdür. Besinci dönem, 1900'lü yılların basından günümüze uzanan, 'Modern Matematik Dönemi' olarak adlandırılan dönemdir. Modern matematik, klasik matematiğin anayasal bir tabana oturtulmuş seklidir. 1900'lü yılların başına gelindiğinde, matematik büyük bir kompleksiteye ulaşmıştı.
Böylesi karmaşık bir sistemde alışılageldiği şekilde matematik yapmak, 'bir ispat niçin geçerlidir; ispatin da ispati gerekli midir?' gibi matematiğin temellerini sorgulayan sorunları ortaya çıkarmıştır. Matematik deneysel bir bilim olmadığı için, nihai yargıyı deneye bırakmak olanağı yoktur. Bu sorunların, 'meşru' bir zeminde çözüme ulaştırılacağını anlayan matematikçiler, matematiği tutarlı yasalara dayalı bir temele oturtma çabasına giriştiler. Modern matematik bu uğraşının ürünüdür. Modern matematiğin en önemli özellikleri, önceki dönemlere kıyasla, çok daha soyut, göreceli ve kuramsal olusudur. Matematik çok hızlı gelişen, çok yüksek bir teknik düzeye erişmiş, elde edilen bilgilerin üst üste yığıldığı, bir bilginin diğeri tarafından kullanımdan kaldırılmadığı, bu nedenle de gittikçe zorlasan ama bir o kadar da çekici, ancak tutku ile yapılabilen bir bilimdir.

Derleme

BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
21 Eylül 2006       Mesaj #2
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
Matematik Bir Oyundur...
Matematik kelimesi, Yunanca, bilim, bilgi ve öğrenme anlamına gelen matema sözcüğünden türemiş olan ve öğrenmekten hoşlanan anlamına gelen, matematikos kelimesinden gelmektedir. Sanılanın aksine, matematiği, muhasebe, dört işlem, hesaplama ya da "sayıları çalışan bilim" olarak tanımlamak doğru değildir. Matematik bu disiplinleri bünyesinde barındırsa da sadece bunlardan ibaret değildir.
Aslında matematik, kağıt ve kalemle oynadığımız bir oyundur. Bu oyunun en önemli kuralı, kuramın başında belirlenmiş tanımlara ve belitlere (aksiyomlar) sadık kalmaktır. Belitler, doğruluğu tartışılmadan kabul edilen cümlelerdir. Oyunun amacı, başlangıçta verilen bu temel bilgilerle tamamen tutarlı yeni bilgiler, yani teoremler üretmektir. Tutarlılıktan kasıt, mantık kuralları çerçevesinde hareket etmektir.
Sponsorlu Bağlantılar
Bu oyununun oyuncuları, aralarındaki iletişimi, matematiğin kendine özgü diliyle sağlar. Bu dilin günlük dillerden farkı, sınırlarının belirli, yoruma açık cümlelerden uzak oluşu ve anlam karmaşasına müsade etmeyişidir. Dilin elemanlarını, çeşitli semboller, sayılar ve özellikle harfler oluşturur.
Matematikçiye göre matematik, bu zevkli oyunu oynayıp yeni teoremler ve teoriler üretmektir. Bilim adamları ve mühendislere göreyse, kendi çalışma alanlarına uyguladıkları işlemler dizisidir. Öğrenciler için kimi zaman geçilmesi gereken zor bir ders, kimi zaman başarısını ispatlama fırsatı bulduğu müthiş bir alandır. Matematiği diğer bilimlerden ayıran çok önemli bir farksa, toplumda hemen herkesin ona karşı kayıtsız kalmasıdır, matematik hakkında hepimizin iyi ya da kötü bir yorumu vardır. Matematik köşemizin, kafanızdaki kötü ya da zor gibi yorumları değiştirebilmesini umut ediyoruz.
Nilüfer Karadağ

Matematiğin Sınıflandırılması
Ad:  sinif1.gif
Gösterim: 1937
Boyut:  4.3 KB

Matematiğin alt dallarını kesin bir biçimde ayırmak zordur. Belki de en kolay sınıflandırma, temelde içerik değil de daha çok motivasyon ve vurgu farkından kaynaklanan uygulamalı ve pür matematik şeklinde yapılan sınıflandırmadır. Pür matematik, matematiğin kendisi için yapılan matematiktir. Diğer bir deyişle "acaba bu ne işe yarayacak" kaygısı gütmeden yapılan matematik. Uygulamalı matematikse üretilen pür matematiği gerçek hayata uygulama zamanı geldiğinde yapılan matematiğin genel adıdır. 100'den fazla alt dalı olan matematiği, ki bu dalların sayısı her geçen vakit artmaktadır, içerik bakımından genel hatlarıyla sınıflandırdık. Burada sadece popüler olan birkaç ana dalı ele alabildik.

Ad:  sinif2.gif
Gösterim: 2528
Boyut:  14.0 KB

biltek.tubitak.gov.tr

Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
21 Eylül 2006       Mesaj #3
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
Matematiksel İspat Teknikleri

Özellikle öğrencilerin, gereksiz gördüğü ya da zor bulduğu için es geçtiği ispatlar aslında matematiğin en gerekli, çoğu zaman zevkli ve matematikçileri en çok uğraştıran kısmıdır. Ne de olsa ispatlar, matematiksel ifadelerin geçerliliğinin teminatıdır. Bugün cevabı bulunmamış pek çok matematik sorusu ispatlanması istenen ifadelerden ibarettir. İspat yapmanın çok çeşitli yolları vardır. Bu nedenle sık sorulan bir soru, bir teoremi ispatlamak için hangi tekniği seçmek gerektiğini nasıl bileceğimizdir? İşte bu, ancak pek çok ispatı incelemek ve çalışmakla kendinden gelişecek bir özelliktir. Kimi zamansa şanstır. Ama unutmayın şans ancak hazırlıklı kafalara güler! Hazırlıklı olmak için de, tekniklerden haberdar olmak gereklidir.

Doğrudan İspat Yöntemi
En temel ve basit ispat şeklidir. Doğru olduğu gösterilmek istenen ifade, direk olarak, doğruluğu kanıtlanmış başka ifadelerle veya aksiyomlarla türetilir. Türetmek için, bu ifadeleri mantık kuralları çerçevesinde doğrudan birleştirme yapabilirsiniz. Bu birleştirmeyi örneklendirmek için felsefede oldukça sık kullanılan bir örneği verebiliriz:
Tüm insanlar ölümlüdür.
Sokrat bir insandır.
Verilen bu iki ifadeyi birleştirerek şu çıkarımı elde ederiz:
Sokrat bir ölümlüdür.
Matematikte "iki çift sayının toplamı çifttir"; "iki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır."şeklindeki ifadeleri doğrudan tanım kullanarak ispatlayabilirsiniz. Sadece tanımlar değil önceden ispatladığınız teoremler de ispat basamaklarında yer alabilir.
Ad:  dogrudan1.gif
Gösterim: 1335
Boyut:  348 Byte
olduğunu gösterin.
Doğrudan ispat: Bu, trigonometri kuramı kapsamında kalan bir konu. Kuramın bir önceki basamaklarında ispatlanmış olan
Ad:  dogrudan2.gif
Gösterim: 1333
Boyut:  446 Byte
eşitliğini kullanarak doğrudan ispat yapabiliriz:
Ad:  dogrudan3.gif
Gösterim: 1372
Boyut:  677 Byte
ispat tamamlanmıştır.

Olmayana Ergi Yöntemi
Bu yöntemde doğruluğunu göstermeyi planladığınız ifadenin yanlış olduğunu kabul ederek işe başlıyorsunuz. Yanlışlığı ispatlama yolunda bir çelişkiye varıyorsunuz. Sonuç olarak başta yanlış olduğunu kabul ettiğiniz ifadenin aslında doğru bir ifade olduğunu ispatlamış oluyorsunuz. Bu yöntemle ispatlanan çok ünlü teoremler var.
Teorem: Sonsuz tane asal sayı vardır.
İspat (Öklid): Varsayalım ki sonlu tane asal sayı olsun:
2, 3, 5, 7, 11, ., P
Şimdi bu asal sayıların hepsini çarpıp 1 ekleyelim ve yeni bir sayı tanımlayalım:
K = 2.3.5.7.11.P + 1
Bu sayı tüm asal sayılardan büyüktür, çünkü hepsini birbiriyle çarptık ve bu da yetmezmiş gibi bir de ekleme yaptık. Öyleyse K bir asal sayı değildir. Bu durumda K nın kendinden ve 1'den farklı bir asal çarpanı vardır çünkü bileşik (asal olmayan) sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ama K sayısını, hangi asal sayıya bölersek bölelim 1 kalanını elde ederiz ki bu da tam bölünmediğinin yani asal bir çarpanının olmadığının bir göstergesidir. Öyleyse K asal bir sayıdır . Daha önce bunun tam tersi olduğunu göstermiştik. Sonuç olarak bir çelişkiye vardık. Yani sonlu tane asal sayı vardır ifadesi yanlıştır. Sonsuz tane asal sayı vardır.
Teorem2:
Ad:  kok2.gif
Gösterim: 1435
Boyut:  95 Byte irasyoneldir.
İspat (Pisagor ve Öklid): Yine ifadenin tersini kabul etmekle işe başlıyoruz. Varsayalım ki Ad:  kok2.gif
Gösterim: 1435
Boyut:  95 Byte rasyonel öyleyse tanım gereği Ad:  kok2.gif
Gösterim: 1435
Boyut:  95 Byte, a/b şeklinde yazılabilir
Ad:  ispat2.gif
Gösterim: 1282
Boyut:  212 Byte ve a ve b'nin ortak çarpanları olmadığını kabul edebiliriz.
Ad:  ispat3.gif
Gösterim: 1340
Boyut:  351 Byte
Burada a2 'nin 2b2 'ye eşit olması onun bir çift sayı olduğunu gösterir. Öyleyse a da bir çift sayıdır. Bu durumda çift sayı tanımından
Ad:  ispat4.gif
Gösterim: 1293
Boyut:  172 Byte
diyebiliriz. Şimdi yerine yerleştirelim:
Ad:  ispat5.gif
Gösterim: 1226
Boyut:  377 Byte
işte bu sonuç b2 'nin ve dolayısıyla b nin bir çift sayı olduğunu söylüyor. Başta ortak çarpanları olmadığını kabul ettiğimiz a ve b nin birer çift sayı olduğu sonucuna varıyoruz ki bu ikisinin de en az "2" çarpanını bünyelerinde barındırdığı anlamına gelir ve çelişkiye ulaşmış oluruz. Öyleyse başta kabul ettiğimiz ifade yanlıştır ve Ad:  kok2.gif
Gösterim: 1435
Boyut:  95 Byte irrasyoneldir.

Tümevarım Yöntemi
Verilen bir ifadenin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir yöntemdir. Bu yönteme ifadenin önce 1 için (daha doğrusu, ifadenin doğruluğunun başladığı doğal sayı için) doğru olduğu gösterilir. Daha sonra n doğal sayısı için doğru olduğu farz edilir ve n+1 doğal sayısı için doğru olduğu gösterilir. Bu da herhangi bir doğal sayı için doğruysa sonraki için de doğru olacağını ispatladığından bütün doğal sayılar için geçerli bir ifade olduğu anlamına gelecektir. Bu yöntem genelde sonsuz sayıda domino taşlarının dizilmesine benzetilir. n. taşın devrilmesi bir sonraki yani n+1. taşın da devrilmesi anlamına geleceğinden taşların tamamı devrilecektir. Tabi ki yine n=1 için doğruluğunu söylemek lazım. Bunun için de ilk taşı devirmeniz yeterli olacaktır.
Teorem:
Ad:  teorem1.gif
Gösterim: 1223
Boyut:  380 Byte
İspat1 (Tümevarım): Önce ifadenin n=1 için doğru olduğunu göstermeliyiz:
Ad:  teorem2.gif
Gösterim: 1196
Boyut:  210 Byte
ki bu 1'den 1'e kadar olan sayıların toplamı demektir ve doğrudur.
Kabul:
Ad:  teorem1.gif
Gösterim: 1223
Boyut:  380 Byte
ifadesi doğru olsun. Aynı ifadenin (n+1) için doğru olduğunu gösterelim yani
Ad:  teorem3.gif
Gösterim: 1182
Boyut:  520 Byte
Doğru olduğunu kabul ettiğimiz ifadenin her tarafına ( n +1) ekleyelim:
Ad:  teorem4.gif
Gösterim: 1716
Boyut:  1.2 KB
n için doğru iken n +1 için de doğrudur. İspat tamamlanmıştır.
İspat2 (Doğrudan): Johann Carl Friedrich Gauss 10 yaşında küçük bir çocukken (yıl 1787) matematik öğretmeni öğrencilerinden 1'den 100'e kadar olan sayıları toplamalarını istedi. Öğrenciler daha 20'ye kadar toplamadan Gauss hocasını yanına çağırdı, amacı sonucunun doğru olup olmadığını sormaktı. Öğretmen defterdeki işlemleri görünce normal üstü bir zekayla karşı karşıya olduğunu anladı:
Ad:  teorem5.gif
Gösterim: 1460
Boyut:  2.8 KB
ispat tamamlanmıştır.

Konstrüktif İspat Yöntemi
Bu teknik, özellikle varoluş teoremlerinin ispatlanmasında kullanılır. Örneğin "her rasyonel sayı çiftinin arasında bir rasyonel sayı vardır" ifadesini ispatlarken iki rasyonel sayı alınır ve aralarında bulunduğu bahsedilen sayı, bu sayılar üzerinden inşaa edilir. Böylelikle gerçekten bir rasyonel sayının varolduğu ispatlanır:
Ad:  ispat6.gif
Gösterim: 1195
Boyut:  452 Byte
birbirinden farklı iki rasyonel sayı olsun.
İddia:
Ad:  ispat7.gif
Gösterim: 1166
Boyut:  378 Byte
ifadesi verilen rasyonel sayılar arasında bir rasyonel sayılardır. (inşaa edilen sayı).İş, inşaa ettiğimiz bu sayının iki sayı arasında ve rasyonel bir sayı olduğunu göstermemize kalıyor. Sayılar birbirinden farklı olduğu ve rasyonel sayılarda bir sıralama sözkonusu oldunu bildiğimizden birini diğerinden küçük kabul edebiliriz:
Ad:  ispat8.gif
Gösterim: 1206
Boyut:  1.2 KB
Ad:  ispat9.gif
Gösterim: 1325
Boyut:  1.9 KB
Son olarak inşaa ettiğimiz sayının, rasyonel olduğunu göstermeliyiz.
Ad:  ispat10.gif
Gösterim: 1152
Boyut:  616 Byte
Öyleyse sayı rasyoneldir. İspat tamamlanmıştır.

Kontrapozitif Teknik
P ise Q ifadesi, değil Q ise değil P ifadesine denktir:
Ad:  kontr.gif
Gösterim: 1159
Boyut:  229 Byte
Bu ispat tekniğine teoremin bildirdiği sonucun, tersini doğru kabul ederek başlıyoruz. Sonuda ise hipotezin yanlış olduğu ifadesine ulaşıyoruz.
Teorem: n2 tek tamsayı ise, n de tek tam sayıdır.
İspat: Varsayalım ki n tek tamsayı olmasın, öyleyse n çift bir tamsayıdır. Göstermemiz gereken n2 'nin de tek olmadığı yani çift olduğu.
n2 çiftse n=2s, s eN şeklinde yazılabilir.
Bu durumda bu sayının karesi:
Ad:  kontr1.gif
Gösterim: 1161
Boyut:  303 Byte
Bu durumda ( 2s2 tam sayı olduğundan) n 2 bir çift sayıdır. İspat tamamlanmıştır.


BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
1 Ekim 2006       Mesaj #4
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
Matematiğin İmkansızları

Burada matematiğin, imkansız olduğunu ispatladığı ifadeleri bulacaksınız. Bir şeyin varolduğunu ispatlamak çoğu zaman zorlamaz, çünkü hedef bellidir, varolduğunu iddia ettiğiniz varsayımın peşinde koşarsınız. Peki ya bir şeyin var olmadığını ya da bir işin yapılmasının imkansız olduğunu göstermek? Birkaç denemede başarısız olup da, yapamıyoruz ya da bulamıyoruz demek yeterli olur mu? Olmaz.Bunun, hiçbir şekilde mümkün olmadığını ispatlamak gerekir. Her zaman olmasa da, bu tarz ispatlar matematikçileri çok zorlayabiliyor ve çözüme kavuşması yüzyılları bulabiliyor.
  • Antik Çağın İmkansız Problemleri
  • Doğal Sayılar ile Gerçel Sayılar Arasında Birebir Eşleme
  • Süreklilik Hipotezi
  • Fermat'ın Son Teoremi
Antik Çağın İmkansız Problemleri
Bir pergel ve (ölçüsüz) bir cetvel kullanarak;
Verilen herhangi bir açıyı 3 e bölemeyiz!
Verilen Bir küpün hacminin iki katına eşit hacimli bir küp çizemeyiz!
Verilen bir çemberinin alanına eşit alanlı bir kare çizemeyiz!
MÖ.500 civarı, Yunan tarihininden çıkma bu 3 problemin imkansızlığı, onlar ortaya çıktıktan yaklaşık 2000 yıl sonra bulunmuştur. Çözümü, cebirde, grup kuramının içinde yeralan Galois Kuramı kullanılarak yapılmaktadır. Bu çizimleri gerçekleştirdiğini düşünen pek çok insanın içine düştüğü iki önemli hata vardır:
  1. Çizimler yapılırken, pergeli çember çizmek için (açıyı hiç bozmadan pergeli tekrar kullanabilirsiniz), cetveli de (ölçü kullanmadan) sadece düz çizgi çizmek için kullanıyoruz. Bunun aksine hareket edenler açıyı üçe bölmeyi başarabilir ama bu gerçek bir başarı olmaz.
  2. Kimileri bu kuralları kullanarak bazı açıları gerçekten 3e bölmeyi başarabiliyor. Sözkonusu olan açılarsa 90-180 gibi açılar. Oysa ki eldeki teorem verilen herhangi bir açının üçe bölünemeyeceğinden bahsediyor. Bu, "hiçbir açıyı üçe bölümeyiz" den ziyade "her açıyı üçe bölünemeyiz" anlamına geliyor. Aradaki farka dikkat edin.
Açının üçe bölünemeyeceğinin ispatı yapılırken, sadece bir açının örneğin 60°'nin üçe bölünmeyeceğinin ispatının yapılması yeterli oluyor. Bu imkansız problemler 1837'de Fransız matematikçi, Pierre Laurent Wantzel tarafından ispatlandı.

Doğal Sayılar ile Gerçel sayılar arasında birebir eşleme yapmak mümkün değil!

Bu problemi anlamak için, önce, birebir eşleme yapmanın ne anlama geldiğini anlamak lazım. Birebir eşleme, iki küme arasında kurulan bir ilişkidir. İki küme birebir eşlenebilir, yalnız ve ancak kümelerdeki her elemana diğer kümeden karşılık gelecek bir eleman varsa. Buradan çıkacak ilk sonuç, her kümenin kendisi ile birebir eşlenebileceğidir. Bunu ispatlamak için, her elemanı kendine gönderen bağıntıyı seçmek yeterli olacaktır. Sınırlı kümeler için de bu iş oldukça kolaydır. Ama sınırsız sayıda elemanı olan kümeler işi biraz zorlaştırabilir. Örneğin doğal sayılar kendisinin bir alt kümesi olan çift sayılar kümesiyle birebir eşlenebilir:
Ad:  imk1.gif
Gösterim: 1317
Boyut:  503 Byteimk1
Benzer bir eşleme, rasyonel sayılarla doğal sayılar arasında da yapılabilir. Uzunca bir süre kimse gerçel sayılarla, doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında bu tarz bir eşleme yapamamıştır. Kimsenin böyle bir eşlemeyi bulamaması onun varolmadığı anlamına gelmiyor çünkü var değilse bile bunu da ispatlamak gerekiyor. Bu ispat 1874'de George Cantor tarafında yapılmış:
Cantor Teoremi
"Bir küme ile kendisinin kuvvet kümesi arasında birebir eşleme yapılamaz."
Aslında bir önceki ifade bu ifadenin özel bir durumu. Çünkü Gerçel sayılar kümesi doğal sayıların kuvvet kümesi.


Biz ispatı elimizdeki özel durum için yapalım. Doğal sayılar kümesini N, kuvvet kümesini de K ile gösterelim. Varsayalım ki N kümesi K'ye birebir eşlenebilsin. Bu eşlemeyi sağlayan bağıntıya da b diyelim. Amacımız b bağıntısının örten olmadığını göstermek, diğer bir deyişle Kuvvet kümesindeki bir elemanın (yani N kümesinin bir alt kümesinin) b bağıntısı altında N kümesinde bir elemanla eşleşemediğini göstereceğiz. b eşlemesi, sözgelimi, şu tarz bir eşleşme olacak.
Ad:  imk2.gif
Gösterim: 1324
Boyut:  791 Byte
Bazı sayılar kendisinin içinde olmadığı alt kümelerle eşleşebiliyor. Burada, 2 ve 4 bu elemanlara örnek.
Ad:  imk3.gif
Gösterim: 1304
Boyut:  364 Byte
Şimdi biz bu tarz elemanları alıp bir alt kümeye koyalım.
Açıkca A, doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi. Bu özelliğinden dolayı A kümesi kuvvet kümesinin bir elemanı olmalı. (Çünkü, zaten kuvvet kümesi, sözkonusu kümenin bütün alt kümelerin kümesi demek) Öyleyse N kümesinde öyle bir eleman olmalı ki bu A kümesine eşlenmeli:
Ad:  imk4.gif
Gösterim: 1277
Boyut:  113 Byte
? yerine geçecek eleman hangisi? Bu eleman, A kümesinden olamaz çünkü öyle olsa o eleman zaten kendinin içinde olduğu bir kümeye eşlenmiş olurdu ve bu A kümesinin elemanı olmasına engel teşkil ederdi. Öte yandan A kümesi dışından bir eleman olsa, kendinin içinde olmadığı bir kümeye eşlendiği için A kümesinin bir elemanı olmaya hak kazanacaktı, bu durum da yine bir çelişkiye yol açacaktı. (Unutmayın A kümesi ile dışı, bütün doğal sayılar kümesini oluşturuyor) Öyleyse yapılan bu sözde birebir eşlemede A kümesine eşlenen bir eleman yok yani kuvvet kümesinde en az bir eleman açıkta. Sonuç olarak başlangıçtaki kabulümüz yanlıştır. Doğal sayılar kümesi kuvvet kümesi ile birebir eşlenemez. Kuvvet kümesi de Gerçel sayılar kümesi ile birebir eşlenebildiğinden, doğal sayılar kümesi gerçel sayılar kümesiyle birebir eşlenemez diyoruz.

Doğru ya da yanlış olduğunun kanıtlanması asla mümkün olmayan varsayım:
Süreklilik Hipotezi
Alman Matematikçi George Cantor sonsuzları hiyerarşik bir sıraya sokan bir çalışma yapmıştır. Buna göre, sonsuz kavramı şöyle tanımlanmıştır: Eğer bir koleksiyon (kendisine eşit olmayan) bir alt koleksiyonu ile birebir eşitlenebiliyorsa o koleksiyon sonsuzdur ya da sonsuz sayıda eleman içerir denir. Matematikte önce saymaya başladığımızdan aklımıza gelen ilk sonsuzluk doğal sayıların sınırsız olduğudur. Doğal sayıların bir alt kümesi olan çift sayılar da sonsuz tanedir. Bu iki küme, birbiri ile eşlenebilir. Örneğin 1 ile 2; 2 ile 4; 3 ile 6; 4 ile 8 gibi. Benzer bir eşleme, gerçel sayılarla doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında yapılamıyor (bkz. Cantor'un ispatı) Bu da reel sayıların başka bir sonsuz olduğunu akıllara getiriyor.

Ad:  sureklilik.jpg
Gösterim: 1328
Boyut:  12.4 KB

Sözü geçen hiyerarşide doğal sayılar ilk sonsuzluk ve reel sayılar da ikinci sonsuzluk olarak yerini alıyor. Bu sonsuzluklar İbranice olan Alef (alef) harfi ile ifade edilir. Doğal sayılar alef0 iken gerçel sayılar alef1'dir. Burada akla gelen soru şudur: Sonsuz sayıda eleman içeren bir küme var mıdır ki eleman sayısı (kardinalitesi) alef0'dan büyük, alef1'den küçük olsun. Süreklilik Hipotezi böyle bir kümenin varolmadığını söyler. 1963'de matematikçi Paul Cohen'in hem bu ifadenin hem de tersinin küme kuramı aksiyomları ile tutarlı olduğunu ispatlaması şu anlama geldi: bu ifade, küme kuramı yazılırken başta doğru ya da yanlışlığı tartışılmadan kabul edilen ifadeler yani aksiyomlar gibidir. Varlığı mevcut aksiyomlar ya da onlardan çıkan teoremler kullanılarak ispatlanamaz!

Fermat'ın Son Teoremi
Fermat gerçekte bir avukattı ama matematiğe müthiş bir ilgisi vardı. Matematik dünyasında adı amatör matematikçi olarak anılır. Amatör sözcüğü basite alınmasın, günümüzdeki pek çok sayı kuramcı, onun kendisinden iyi olduğunu itiraf eder. Fermat, üzerinde çalıştığı kitap olan, Diaphontus'un Aritmetika'sının kenarına pek çok not almış ve teorem ispatlamıştı. Hatta öyle ki, ondan sonra kitap, bu yeni bilgiler eklenerek basılmıştı. Bu notlardan birinin, matematik dünyasının 350 yıl kadar gündeminde kalacağını kim bilebilirdi?
Fermat'ın Son Teoremi:
xn + yn = zn ifadesindeki (x,y,z) üçlüsünün n > 2 ve n eN olarak tanımlanan hiçbir n için (önemsiz) tam sayı çözümü yoktur.
Teoremdeki önemsiz sözcüğü ilginizi çekebilir. Örneğin (0,0,0); (1,0,1) ya da (0,1,1) bu ifade için 3 farklı çözümdür ama Fermat bu tarz basit çözümlerle ilgilenmiyor.
Fermat bu hipotezin altına bir de not iliştirmiş:

"Çok güzel bir ispat buldum ama buraya yazmak için yeterli yok!"
* Yine az öncekilere benzer bir durumla karşı karşıyayız. Elimizde sonsuz tane denklem var, deniyoruz ama bir türlü ifadeyi sağlayan (x,y,z) üçlüsü bulamıyoruz. Öyleyse gerçekten Fermat doğru söylüyor, deyip son noktayı koyamıyoruz. Bu çözümsüzlüğün ispatlanması gerekir. Tarihsel sıralamada önce belli değerler için ifadenin doğruluğu ispatlanıyor. n=3, 4, 5. İspatın her doğal sayı için doğruluğu ancak Fermat'ın ölümünden 328 yıl sonra, 1993'te İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından yapılabildi. İspat üzerinde çalışmaya 10 yaşında başlayan bu matematik aşığı insan olmasa, belki hipotez, bugün hala bir çözüm bekleyenler arasında olacaktı!


biltek.tubitak.gov.tr
BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
prencess - avatarı
prencess
Ziyaretçi
22 Ekim 2008       Mesaj #5
prencess - avatarı
Ziyaretçi
Matematik Nedir?
Hızla gelişen ve değişen dünyamızda, genellikle öğrencilere sıkıcı, sevilmeyen ve soyut, (öğrenci diliyle zor, kabus,...) bir disiplin olarak görülen Matematiğin yeri ve önemi giderek artmaktadır.
Matematik Terimleri Sözlüğü'nde Matematik; "biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkilerini us bilim yoluyla inceleyen ve sayı bilgisi, cebir, uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim" olarak tanımlanmaktadır. Ancak "Matematik nedir?" sorusunu tek bir tanımla tam olarak yanıtlamak oldukça güçtür.
Matematiğin ne olduğunu, onun özelliklerini ve öğelerini belirterek daha iyi açıklamak mümkündür.
Matematiğin öğeleri ise, mantık, sezgi, çözümleme, yapı kurma, genellik, bireysellik ve estetikten oluşur.
Bu özellik ve öğelere dayalı olarak şunu belirtebiliriz. Matematik, yeni bilgilerin elde edilmesi, elde edilen bilgilerin açıklanması, denetlenmesi ve sonraki kuşaklara aktarılmasında yer ve zamana bağlı olmayan güvenilir bir araçtır.
Bir Düşünce biçimi ve evrensel bir dil olan matematik günümüzün gelişen dünyasında birey, toplum, bilim ve teknoloji için vazgeçilmez bir alandır. Günlük yaşamda, iş ve meslekte gerekli olan çözümleyebilme, usavurabilme,iletişim kurabilme, genelleştirme yapabilme, yaratıcı ve bağımsız düşünebilme gibi üst düzey davranışları geliştiren bir alan olarak matematiğin öğrenilmesi kaçınılmazdır.Günümüz toplumunun, sorunların üstesinden gelebilecek, problem çözebilecek bireylere gereksinmesi vardır. Matematik öğretiminin her aşamasında matematik öğretiminin amaçları ve öğretimde kullanılacak genel ilkeler göz önünde bulundurulmalıdır. matematik her biri üzerine kurularak gelişen bir alan olduğundan, ön öğrenmelerin önemi büyüktür. Bu durum her zaman hatırlanmalı ve her aşamada ölçme ve değerlendirme yapılmalıdır. Ayrıca, matematik öğretiminde duyuşsal özellikler dikkate alınmalı ve öğrencilerin matematiğe ve matematik dersine karşı olumlu tutumlar geliştirmelerine yardımcı olunmalıdır. Planlı öğretimin tüm ilkelerine matematik öğretiminde de uyulmalıdır.

Matematiğin Özellikleri
  • Matematik bir disiplindir.
  • Matematik bir bilgi alanıdır.
  • Matematik, bir iletişim aracıdır.Çünkü kendine özgü bir dili vardır.
  • Matematik, ardışık ve yığmalıdır, birbiri üzerine kurulur.
  • Matematik, varlıkların kendileriyle değil, aralarındaki ilişkilerle ilgilenir.
  • Matematik, bir çok bilim dalının kullandığı bir araçtır.
  • Matematik, insan yapısı ve insan beyninin yarattığı bir soyutlamadır.
  • Matematik, bir düşünce biçimidir.
  • Matematik, mantıksal bir sistemdir.
  • Matematik, matematikçilerin oynadığı bir oyundur.
  • Matematik, bir cevizdir. Nasıl cevizi yemek için kırmak gerekiyorsa, matematiği anlamak için de içine girmek gerekir.
  • Matematik, bir anahtardır.
  • Matematik, bir değerdir.
  • Matematik; dil, ırk, din ve ülke tanımadan uygarlıklara zenginleşerek geçen sağlam, kullanışlı evrensel bir dil, bir ekindir. Birey için, toplum için, bilim için, teknoloji için vazgeçilmez değerdedir. Yayılma alanına ve derinliğine sınır konamayan bir bilimdir, bir sanattır.
  • Matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir.Evrenselliği onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır. Çağları aşarak, yeni kuşaklara ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taptaze ve doğru kalacaktır.
  • Matematik, insanın düşünce sistemini düzenler.
  • Matematik, insanın doğru düşünmesini, analiz ve sentez yapabilmesini sağlar.
  • Matematik, doğruyu, gerçeği görmek, iyi düşünmek, sonuca giderek kazanmak, yani rahat bir hayat geçirmek demektir ve hayatımızda devamlı olarak mevcuttur.
Kısaca Matematik bir Yaşam biçimidir.
Matematiğin kendi değeri yanında, fizik, kimya ve dolayısıyla mühendislik ve askerlik gibi pratik alanlara ve bilhassa son zamanlarda biyoloji, ekonomi ve hatta sosyal bilimlere yardımı hızla arttığından, bu bilim her millet için hayati bir önem kazanmıştır.
BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
Son düzenleyen Blue Blood; 22 Ekim 2008 19:14
CenneT-ul Meva - avatarı
CenneT-ul Meva
Ziyaretçi
11 Ocak 2011       Mesaj #6
CenneT-ul Meva - avatarı
Ziyaretçi
Matematik cok evreli bir bilimdir. Yayılma alanının ve derinliğinin sınırı yoktur. Bilim ve teknolojide olduğu kadar günlük yaşamda da vazgeçilmezdir. Çağlardan çağlara taşınan ulusal sınır tanımayan görkemli, sağlam, güvenilir ve evrensel bir ekindir.

İnsanoğlu varoluşundan beri korkuyla şüpheyle ve merakla evreni bilmeye ve doğaya egemen olmaya çabalamıştır. Gizlerini bilmediği icin doğa olaylarinı, yuzbinlerce yıl boyunca,ya korkuyla gözlemiş ya da bir kaos olarak gormustur. Oysa evrenin mukemmeì bir duzeni vardir. Bugun ay ve güneş tutulmalarından korkmuyor ve bu olayları basit aritmetik cebir ve geometri bilgileri ile açıklayabiliyoruz. Işığın nasıl yayıldığını biliyoruz. Barajlar kuruyor evlere fabrikalara enerji akıtıyoruz. Super bilgisayarlar üretiyor ve onbinlerce kişinin onbinlerce yılda bitiremeyeceği işlemleri saniyelerde yapıyoruz. Romantizmin başlıca kaynağı olan aya ayak basıyoruz...

Bütün bunları matematikle yapıyoruz. Matematik yalnızca çağdaş bilim ve tekniğin temel aracı değildir... Tıp, sosyal, siyasal, ekonomik bilimler v.b. matematiksel yöntemlere büyük ölçüde dayanmak zorundadır.
Kısaca, matematik insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği onun gücüdür. Çağları asarak bize ulasmıştır. Çağları aşarak yeni kuşaklara ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taze ve doğru kalacaktir.

Matematiğin uygulanmadığı hiçbir teknik alan yoktur. Bunun yanında, matematiksel olarak açıklanan büyük kuramlar arasında şunları örnekleyebiliriz:

1. Newton Mekaniği, gözle görülen basit düşme olayından başlayarak, bugün, doğa olaylarını açıklayan mükemmel fizik kuramını yaratmıştır. Newton Mekaniği diye de adlandırılan bu kuramın koyduğu basit matematikseì formüller sayesinde, dilerseniz, bir futbolcunun vurusuyla harekete geçen bir topun yörüngesini, dilerseniz, günesin cekim etkisiyle hareket eden bir gezegenin yörüngesini hesaplayabilirsiniz.

2. Büyük olasilikla Aristo'nun görüşü olarak, kuyruklu yıldızlar 157· yılına dek atmosferik bir olay olarak yorumlandı. 157· de Tycho Brahe, kuyruklu yıldızların aydan cok daha uzakta olduklarinı gösterdi. Isaac Newton onların güneş çevresinde birer yörünge çizdiklerini kanıtladı. İngiliz matematikçisi Edmund Halley, 168² yılında gözlenen kuyruklu yıldızın 153± ve 160· yıllarında gözlenen kuyruklu yıldızla aynı olduğunu ve bu yıldızın 175¸ de yeniden görüleceğini matematiksel olarak ispatladı. Daha sonra, Halley kuyruklu yıldızı diye adlandırılan bu yıldız 198¶ yılında yeniden görüldü. Hatırlanacağı üzere, üniversite rasathaneleri meraklılar için özeì gözlem seansları düzenlediler.

3. Bugün sanki doğal bir enerji imişcesine kullandığımız elektrik doğrudan doğruya matematikseì bir kuram olan Elektrik ve Magnetizma Kuramina dayanmaktadir.

4. Çağimizin en onemli bilimseì bulgularindan birisi sayilan Kuantum Fiziği bütünüyle soyut matematiksel uzaylar icinde açıklanmıştır. Hatta, başlangıçta Heisenberg'in Matris Mekaniği ve Schrodinger'in Dalga Mekaniği diye iki farklı kural olarak ortaya çıkmıştır. Buna göre, örneğin, Işık Kuramı Heisenberg'e göre parçacıklarla ifade edilmekte, Schrödinger'e göre ışığın hareketi bir dalga hareketi olarak ifade edilmektedir. Her iki kuram kendi içlerinde tutarlıdır ve her ikisi de deneysel sonuçlara tamamen uyan kuramsal sonuçlar vermektedir. Daha sonra, bu iki kuramın Hilbert Uzayları adını alan birer soyut matematiksel uzay içinde ifade edilebildikleri ve bu iki uzayın eşyapılı olduğu kanıtlanmıştır. Bunlardan ilki l2 ile gösterilen diziler uzayıdır. Ötekisi ise L2 ile gösterilen fonksiyonlar uzayıdır. l2 nin öğelerinin L2 ye ait fonksiyonların Fourier katsayıları olduğu kanıtlanınca, iki uzayın eşdeğerliği ortaya çıkmış ve böylece bu iki önemli kuramın denkliği belirlenmistir.

Alıntıdır
BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
snackbloot - avatarı
snackbloot
Ziyaretçi
3 Ekim 2011       Mesaj #7
snackbloot - avatarı
Ziyaretçi
Özellikle öğrencilerin, gereksiz gördüğü ya da zor bulduğu için es geçtiği ispatlar aslında matematiğin en gerekli, çoğu zaman zevkli ve matematikçileri en çok uğraştıran kısmıdır. Ne de olsa ispatlar, matematiksel ifadelerin geçerliliğinin teminatıdır. Bugün cevabı bulunmamış pek çok matematik sorusu ispatlanması istenen ifadelerden ibarettir. İspat yapmanın çok çeşitli yolları vardır. Bu nedenle sık sorulan bir soru, bir teoremi ispatlamak için hangi tekniği seçmek gerektiğini nasıl bileceğimizdir? İşte bu, ancak pek çok ispatı incelemek ve çalışmakla kendinden gelişecek bir özelliktir. Kimi zamansa şanstır. Ama unutmayın şans ancak hazırlıklı kafalara güler! Hazırlıklı olmak için de, tekniklerden haberdar olmak gereklidir.

1) Doğrudan İspat Yöntemi

En temel ve basit ispat şeklidir. Doğru olduğu gösterilmek istenen ifade, direk olarak, doğruluğu kanıtlanmış başka ifadelerle veya aksiyomlarla türetilir. Türetmek için, bu ifadeleri mantık kuralları çerçevesinde doğrudan birleştirme yapabilirsiniz. Bu birleştirmeyi örneklendirmek için felsefede oldukça sık kullanılan bir örneği verebiliriz:
  • Tüm insanlar ölümlüdür.
  • Sokrat bir insandır.
Verilen bu iki ifadeyi birleştirerek şu çıkarımı elde ederiz:
  • Sokrat bir ölümlüdür.
Matematikte "iki çift sayının toplamı çifttir"; "iki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır."şeklindeki ifadeleri doğrudan tanım kullanarak ispatlayabilirsiniz. Sadece tanımlar değil önceden ispatladığınız teoremler de ispat basamaklarında yer alabilir.

2) Olmayana Ergi Yöntemi

Bu yöntemde doğruluğunu göstermeyi planladığınız ifadenin yanlış olduğunu kabul ederek işe başlıyorsunuz. Yanlışlığı ispatlama yolunda bir çelişkiye varıyorsunuz. Sonuç olarak başta yanlış olduğunu kabul ettiğiniz ifadenin aslında doğru bir ifade olduğunu ispatlamış oluyorsunuz. Bu yöntemle ispatlanan çok ünlü teoremler var.

Teorem: Sonsuz tane asal sayı vardır.

İspat (Öklid):
Varsayalım ki sonlu tane asal sayı olsun:
2,3,5,7,11,.,P
Şimdi bu asal sayıların hepsini çarpıp 1 ekleyelim ve yeni bir sayı tanımlayalım:
K = 2.3.5.7.11.P + 1
Bu sayı tüm asal sayılardan büyüktür, çünkü hepsini birbiriyle çarptık ve bu da yetmezmiş gibi bir de ekleme yaptık. Öyleyse K bir asal sayı değildir. Bu durumda K nın kendinden ve 1'den farklı bir asal çarpanı vardır çünkü bileşik (asal olmayan) sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ama K sayısını, hangi asal sayıya bölersek bölelim 1 kalanını elde ederiz ki bu da tam bölünmediğinin yani asal bir çarpanının olmadığının bir göstergesidir. Öyleyse K asal bir sayıdır . Daha önce bunun tam tersi olduğunu göstermiştik. Sonuç olarak bir çelişkiye vardık. Yani sonlu tane asal sayı vardır ifadesi yanlıştır. Sonsuz tane asal sayı vardır.

3) Tümevarım Yöntemi

Verilen bir ifadenin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir yöntemdir. Bu yönteme ifadenin önce 1 için (daha doğrusu, ifadenin doğruluğunun başladığı doğal sayı için) doğru olduğu gösterilir. Daha sonra n doğal sayısı için doğru olduğu farz edilir ve n+1 doğal sayısı için doğru olduğu gösterilir. Bu da herhangi bir doğal sayı için doğruysa sonraki için de doğru olacağını ispatladığından bütün doğal sayılar için geçerli bir ifade olduğu anlamına gelecektir. Bu yöntem genelde sonsuz sayıda domino taşlarının dizilmesine benzetilir. n. taşın devrilmesi bir sonraki yani n+1. taşın da devrilmesi anlamına geleceğinden taşların tamamı devrilecektir. Tabi ki yine n=1 için doğruluğunu söylemek lazım. Bunun için de ilk taşı devirmeniz yeterli olacaktır.

4) Konstrüktif İspat Yöntemi

Bu teknik, özellikle varoluş teoremlerinin ispatlanmasında kullanılır. Örneğin "her rasyonel sayı çiftinin arasında bir rasyonel sayı vardır" ifadesini ispatlarken iki rasyonel sayı alınır ve aralarında bulunduğu bahsedilen sayı, bu sayılar üzerinden inşaa edilir. Böylelikle gerçekten bir rasyonel sayının varolduğu ispatlanır.

5) Kontrapozitif Teknik

''P ise Q ifadesi, değil Q ise değil P ifadesine denktir.''
Bu ispat tekniğine teoremin bildirdiği sonucun, tersini doğru kabul ederek başlıyoruz. Sonuda ise hipotezin yanlış olduğu ifadesine ulaşıyoruz.
BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
LaDyGaGa - avatarı
LaDyGaGa
Ziyaretçi
11 Ocak 2012       Mesaj #8
LaDyGaGa - avatarı
Ziyaretçi
Bu soru gibi yanıtıda göreli bir kavramdır. Her kişinin matematiği sevmeme nedeni farkılı sayılabilir. Matematiği sevmeyenler olduğu kadar sevenlerde vardır benim gibi. Tabi ki herşey matematik dersini verenlere bağlıdır. Eğer öğretmen sadece bir görevi ifa etmek için ders anlatıyorsa bu iş en çok öğrenciye yansır. Öğretmenlere de haksızlık etmemek lazım. Sanki milyonlarca öğrenci aynıymış gibi konulan müfredatta neden oluyor matematiğin kötü görünmesine. Matematik süper zeka gerektiren bir ders değildir. Normal bir insan yapamamış olsaydı şimdiye kadar çoktan etkinliğini kaybederdi çünkü dünya sadece süper zekaların yaşadığı bir yer değil.
Matematiği anlamaya çalışırken kendimiz için oluşturduğumuz stratejide önemlidir. Ne stratejisi?, savaş mı yapıyoruz burada dediğinizi duyar gibi oluyorum. Strateji derken kendi anlama kapasitemize göre “matematiği soyut olarak mı görmemiz gerekiyor yoksa somut olarak mı?” bunun yanıtını vermiş oluyoruz. Bazı insanlar gerçekte varolmayan şeylere karşı ilgi duymaz. Sayılar, formüller vs. gibi kavramlar soyut kavramlardır ki kişi eğer somut şeyleri daha kolay anlayabiliyorsa bu kavramları kafasında somutlaştırmalıdır. Söz gelimi kafasına 28 sayısı yerine 28 tane çubuk şekli gelmelidir. Böylelikle kafasında bir enstantene oluşturur ve işlemleri daha kolay yapar.
Konudan konuya göre de değişir matematik sevgisi. Örneğin ben logaritma, karmaşık sayılar konularını severken trigonometri adlı iğrenç üçgen biliminden nefret ederim. Bu da kişinin o konuyu ilk nasıl tanıdığı yada tanıtıldığıdır. Bana ilk trigonometri göreceğim senenin başında yandınız bu trigonometri başınızı yakacak dediler doğal olarak bilinç altımda trigonometrinin üzerine çarpı atıldı.
Bence matematiğin sevilmemesindeki bir diğer sebep ise eğitim camiasının biraz hayalperest davranmasıdır. Nasıl mı? Şimdi söyleyin ileride kaç kişi hayatında trigonometriyi etkin olarak kullanacak. Birçok matematikçi bile kullanmıyor normal vatandaş mı kullanacak.
Bunca yazıdan sonra akıllarda sadece matematik mi sevilmiyor diye sorular oluştuğu kesin. Hayır tabi ki diğer dersleride sevmeyenler vardır. Ben tarih, edebiyat derslerinden nefret ederim. Fizik, kimya, biyoloji gibi dersleri çok severim. Dediğim gibi bunlar kişinin kendisine bağlıdır. Galiba bu sevme-sevmeme olayı sözel-sayısal diye ayrılıyor bende daha doğrusu birçok kişide.
Burada asıl konumuz olduğu için matematikle devam ediyorum karıştırmayın diğer dersleri (: Sayısal, Duygusal, Sözel zeka diye adlandırılan zeka türlerine göre değiştiği kanısındayım bu sevme konusunun. Yani sayısal zekası ileri düzeyde olan insan sayısı duygusal ve sözel zekaya sahip insanlarda çok daha az. Bunun büyük etkisi var matematiğin sevilmeyen ders olarak anılmasında.
Neyse herşey kafada bitiyor, orayı halletin mi gerisi kolay…
BEĞEN Paylaş Paylaş
Bu mesajı 1 üye beğendi.
KAPTAN - avatarı
KAPTAN
Ziyaretçi
3 Kasım 2012       Mesaj #9
KAPTAN - avatarı
Ziyaretçi
"Matematik" sözcüğü, "bilim, bilgi ya da öğrenme" anlamına gelen Eski-Yunanca (máthema) sözcüğünden türetilmiştir. Matematik, yapıların biçimlerini, değişimi ve uzamı inceleyen bilim dalıdır. Daha genel tanımıyla nicelik ve zaman ile ilgili simgeleri inceler. Formalist bakış açısına göre belitsel (aksiyomatik) olarak tanımlanmış soyut yapıların mantık ve matematiksel notasyon kullanılarak araştırılmasıdır. Bu kategoriden; Matematiğin Tarihi, Matematikçiler, Matematik Kaynakları, Matematik Makaleleri, Araştırma Konuları, Matematik Olimpiyatları gibi birçok konuya erişebilirsiniz.Bu kategoriye makale yada yazı eklenirken içeriğin, o bölümle ilgili veritabanına uygunluğu dikkate alınır.
Avatarı yok
nötrino
Yasaklı
3 Hafta Önce       Mesaj #10
Avatarı yok
Yasaklı

Matematik!


Matematik, nesnelerin şekillerini sayma, ölçme ve tarif etme gibi temel uygulamalardan evrimleşen yapı, düzen ve ilişki bilimi olarak tanımlanır. Genel anlamda sayılara dair soyut konuları içeren bu bilim mantıksal akıl yürütme ve niceliksel hesaplama ile ilgilenir. 17. yüzyıldan beri matematik, fiziksel bilimler ve teknolojinin vazgeçilmez bir parçası olmuştur ve daha yakın zamanlarda yaşam bilimlerinin nicel yönlerinde benzer bir görev üstlenmiştir. Pek çok kültürde - ticaret ve tarım gibi pratik uğraşların gereksinimlerinin uyarılması altında - matematik, temel saymanın çok ötesinde gelişmiştir. Tüm matematiksel sistemler (örneğin, Öklid geometrisi ), aksiyomlardan mantıksal olarak çıkarılabilecek olan aksiyom ve teorem kümelerinin kombinasyonlarıdır. Matematiğin mantıksal ve felsefi temeline dair sorgulamalar, belirli bir sistemin aksiyomlarının bütünlüğünü ve tutarlılığını sağlayıp sağlamadığını sorgulamayı amaçlar.
Hızlı Cevap
Mesaj:

Benzer Konular

24 Temmuz 2016 / Misafir Fizik
24 Kasım 2012 / Misafir Kimya
18 Temmuz 2018 / Misafir Fizik
23 Nisan 2014 / Ziyaretçi Cevaplanmış