Bölünebilme Kuralları
2 ile Bölünebilme:
Bir sayının 2 ile tam olarak bölünebilmesi için, birler basamağının0, 2, 4, 6, 8sayılarından biri olması gerekir. Yani, her çift sayı 2 ile tam olarak bölünür. Bununla birlikte, tüm tek sayılar 2 ile bölündüğünde, kalan 1 olur.
3 ile Bölünebilme:Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir. Bir sayının 3 e bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir.
4 ile Bölünebilme:Bir sayının 4 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının00 veya 4 ün katları
olması gerekir. Bir sayının 4 ile bölümündeki kalan, sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki kalana eşittir. Diğer taraftan, 4 ile tam olarak bölünebilen yıllar, artık yıl olarak isimlendirilir. Yani, artık yılların Şubat ayı 29 gün çeker. Dolayısıyla, 4 ile Bölünebilme, artık yılların bulunması kullanılabilir.
5 ile Bölünebilme:Bir sayının 5 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının0 veya 5olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölümündeki kalan, sayının birler basamağının 5 e bölümündeki kalana eşittir.
6 ile Bölünebilme:Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 2 ile tam olarak bölünmesi gerekir. Yani, 6 ile bölünebilen bir sayının hem çift sayı olması hem de rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir.
7 ile Bölünebilme:Bir sayının 7 ile tam olarak bölündüğünü tespit etmek için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola doğru)
a b c d e f
2 3 1 2 3 1
- +
sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır:
( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k, m: tamsayı)
Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Şayet, m sıfırdan farklı bir tamsayı olursa, bu sayının 7 ile bölümünden kalan m olur. İşaretler de sağdan başlayarak sırasıyla her üçlü için
+, -, +, -, +, -, +, ...
şeklinde olmalıdır. Bu kurala, (132) kuralı adı verilmektedir.
8 ile Bölünebilme:Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için, sayının son üç basamağının 000 veya 8 in katı
olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan, sayının son üç basamağındaki sayının 8 e bölümündeki kalana eşittir.
Bununla ilgili bir başka yol ise;birler basamağı ile,onlar basamağının iki katı ve yüzler basamağının dört katı toplanır.Toplam 8’in katı ise sayı sekize tam bölünebilir.
Örnek; 2543912. 2+1.2+9.4=40 Bu sayı 8’in beş katıdır. Bu yüzden sekize tam bölünür.
9 ile Bölünebilme:Bir sayının 9 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9 veya 9 un katları olması gerekir. Bir sayının 9 a bölümündeki kalan, sayının rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir.
10 ile Bölünebilme:Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının sıfır olması gerekir. Bir sayının 10 a bölünmesiyle elde edilen kalan, sayının birler basamağındaki rakama eşittir.
11 ile Bölünebilme:Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, ... işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da
0, 11 veya 11 in katları
olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan, artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki kalana eşittir.
12 ile Bölünebilme:Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
13 ile Bölünebilme
ayının birler basamağı ‘3’ e bölünür.Bölüm, sayının birler basamağı eksik halinden çıkarılır..Sonuç ‘13’ ün katı ise sayı 13e tam bölünebilir.Sayının birler basamağı ‘3’ e tam olarak bölünemiyorsa onlar basamağından 1 veya 2 alınır.
Örnek:33059 sayısı 13’e bölünebilir mi? Birler basamağı olan ‘9’ u üçe böldüğümüzde ‘3’ buluruz. Bunu sayının kalan kısmından çıkarırız. 3305-3=3302. Bu sayının da bir basamağını ‘3’böleriz.2, üçün katı olmadığı için onlar basamağından 1 alırız. 12:3=4 . 4’ü 3292dan çıkarırız.329-4=325. Birler basamağı ‘5’i üçe tam olarak bölemeyiz. Onlar basamağından 1 aldığımızda 15:3=5 olur.31-5=26. 26, 13’ün katı olduğu için sayı ‘13’ e bölünebilir.
Eğer sayı çok basamaklı ise, sayıyı 3’erli gruplara ayırırız.İlk, üçüncü,beşinci gruplardaki sayıların toplamından ikinci,dördüncü……… gruplardaki sayıların toplamını çıkarırız.Çıkan sayıyı yukarıdaki kuralı uygularız.
Örnek: 82237831 sayısına bakalım..gruplardırmayı sondan başlayarak üçerli olarak yapalım. 82-237-831 şeklinde gruplara ayırırız. (82+831)-237=
913-237=676. 6, üçe bölünür 6:3=2. 67-2=65.bu sayı 13’ün 5 katı olduğuna göre sayının tamamı 13’e tam bölünebilir demektir
15 ile Bölünebilme:Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
18 ile Bölünebilme:Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
24 ile Bölünebilme:Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
25 ile Bölünebilme:Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının 00, 25, 50, 75
olması gerekir.
Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:a ve b aralarında asal sayı ve x = a . b
olsun. Şayet, bir sayı hem a ya hem de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür.
ÖRNEKLER
Örnek 1:Rakamları farklı 5 basamaklı 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X değerlerinin toplamı kaç olmalıdır?
Çözüm: 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X in alabileceği değerler 0, 2, 4, 6, 8
olmalıdır. Oysa, bu sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden, X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla, X in alabileceği değerler 0, 6, 8 dir. Bu değerlerin toplamı 0 + 6 + 8 = 14 olur.
Örnek 2:5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerektiğinden,
1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k olmalıdır. Buradan, 16 + A = 3 . k olur. Böylece, A 2, 5, 8 değerlerini alması gerekir. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı 2 + 5 + 8 = 15 olarak bulunur.
Örnek 3:İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine göre,m + n = 3 . k olması gerekir. O halde, 32mn sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur: 3 + 2 + m + n = 5 + ( m + n )
= 5 + 3 . k
= 3 + 2 + 3 . k
= 2 + 3 . k Kalan = 2 dir.
Örnek 4: Dört basamaklı 152X sayısının 4 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, X in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının yani 2X in, 4 ün katları olması gerekir. O halde, X,
0, 4, 8 ... (1)
değerlerini alırsa, 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için, (1) nolu değerlere 2 ilave edilmelidir. Bu taktirde, X,
2, 6
değerlerini almalıdır. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı2 + 6 = 8olur.
Örnek 5:666 + 5373toplamının 4 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: 666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 2 dir.
5373 ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 73 ün 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 1 dir.
Bu kalanlar toplanarak, toplamın kalanı 2 + 1 = 3 bulunur.
Örnek 6: 99999 . 23586 . 793423 . 458 çarpımının 5 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılması gerekir ve birler basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla,
99999 sayısının 5 e bölümünden kalan 4 dir.
23586 sayısının 5 e bölümünden kalan 1 dir.
793423 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
Bu kalanların çarpımı, 2 . 1 . 3 . 3 = 18 olur. 18 in 5 e bölümünden kalan ise, 3 tür.
Örnek 7:Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 3m4n sayısı, 6 ile tam olarak bölündüğüne göre, m + n in en büyük değeri kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 3m4n sayısının 2 ye tam olarak bölünebilmesi için, n nin 0, 2, 4, 6, 8 olması gerekir. m + n nin en büyük olması için, n = 8 olmalıdır. Böylece, 3m4n sayısı, 3m48 olur. 3m48 sayısının, aynı zamanda, 3 e bölünmesi gerektiğinden, 3 + m + 4 + 8 = m + 3 olur ve böylece m, şu değerleri alabilir: 0, 3, 6, 9
m + n nin en büyük olması için, m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla, m = 9 ve n = 8 için, m + n nin en büyük değeri,
m + n = 9 + 8 = 17 olur.
- 2m + 15 = 7.k Buradan m = 4 olur.
Örnek 9:458028 sayısının 8 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalanına
bakılmalıdır. Dolayısıyla, 28 sayısının 8 ile bölümündeki kalanı bulmalıyız. 28 in 8 ile bölümünden kalan 4 tür.
O halde, 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan, 4 tür.
Örnek 10: 10 basamaklı 4444444444 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Sayının rakamlarının toplamını alıp, 9 un katlarını atmalıyız.
Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40 dır. Buradan, 4 + 0 = 4 bulunur.
O halde, 4444444444 sayısının 9 a bölümündün kalan 4 tür.
Örnek 11: Dört basamaklı 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m kaç olmalıdır?
Çözüm: Bir sayının 10 a bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler basamağındaki rakam kaç ise, kalan odur.
Bu nedenle, 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m = 3 olmalıdır.
Örnek 12: Dokuz basamaklı 901288563 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
9 0 1 2 8 8 5 6 3
+ - + - + - + - +
Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) - ( 0 + 2 + 8 + 6 )= 26 – 16 = 10 olarak bulunur.
Örnek 13: Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, m ve n nin hangi değerleri alması gerekir?
Çözüm: Bir sayının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir.
Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının 0 olması gerekir. Dolayısıyla, n = 0 olmalıdır. Böylece, verilen sayı 5m230 olur.Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerekir. Dolayısıyla, 5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k m + 10 = 3.k m = 2, 5, 8 olur. O halde, m = 2, 5, 8 ve n = 0 olmalıdır.
