Cevap Yaz Yazdır
Gösterim: 18.840|Cevap: 6|Güncelleme: 25 Aralık 2012

Dört İşlem - Bölme ve Bölünebilme

Mesaja atla
virtuecat
22 Şubat 2007 03:56   |   Mesaj #1   |   
virtuecat - avatarı
Ziyaretçi
A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,
matka04
Sponsorlu Bağlantılar
bölme işleminde,
  • A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
  • A = B . C + K dır.
  • Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
  • Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
  • K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.
B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
2. 3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
3. 4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.
l... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.
4. 5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
5. 7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,
k Î Z olmak üzere,
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k
olmalıdır.
Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.
6. 8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.
3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.
Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.
7. 9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
8. 10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.
9. 11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k
ve k Î Z olmalıdır.
® (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.
  • 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.
  • 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.
C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.
Buna göre,
  • A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.
  • A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.
  • D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.
  • AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.
Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.
D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.
  • 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
  • 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.
E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,
A = am . bn . ck olsun.
  • A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:
2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :
cep ma15
  • A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
  • A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.
  • A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:
cep ma16
  • A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:
cep ma17



kaynak : matematikci.org

5 Mart 2009 22:31   |   Mesaj #2   |   
Keten Prenses - avatarı
Üye
Bölünebilme kuralları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Sponsorlu Bağlantılar



Bölünme Kuralları, matematikte sayıların 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12,13,17,19,25 sayılarına kalansız olarak bölünüp bölünemediklerini bölme işlemi yapmadan anlamaya yardımcı olan kurallarıdır.

1'e bölünme kuralı
Her sayı bölünür.
2'ye bölünme kuralı
Son rakamı çift sayı ise bölünür.Bir sayı 2 ile bölünmezse kalan her zaman tek sayı olur.
3'e bölünme kuralı
Rakamların sayı değerleri toplamı 3 veya üçün katlarıysa bölünür.
4'e bölünme kuralı
Bir sayının birler ve onlar basamağı 00 ya da 4'ün katı ise sayı 4 ile bölünür.
5'e bölünme kuralı

Son rakamı 0 veya 5 ise bölünür
6'ya bölünme kuralı

Sayı hem 2'ye hem 3'e kalansız bölünebiliyorsa 6'ya da bölünür.
Ana madde: 7 ile bölünebilme
7'ye bölünme kuralı

Sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola doğru) a b c d e f 2 3 1 2 3 1 - + sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır: ( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k, m: tamsayı) Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Ayrıca bu sayı 10a + b olarak yazıldığında a - 2b sayısı 7'ye bölünüyorsa, asıl sayı 7'ye bölünebilir.
8'e bölünme kuralı

Son üç basamağının oluşturduğu sayı 000 ya da 8 in katı ise bölünür.
9'a bölünme kuralı

Rakamların sayı değerleri toplamı toplamı 9 veya dokuzun katlarıysa bölünür.
10'a bölünme kuralı

Son rakamı 0 ise bölünür
11'e bölünme kuralı

Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, ... işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da 0, 11 veya 11 e bölümünde kalanı 0 olan bir sayı ise 11'e tam bölünür.
12'ye bölünme kuralı

Bir sayının 12'ye tam bölünmesi için, 3 ve 4'e tam olarak bölünmesi gerekir.
13'e bölünme kuralı

Sayıyı x=abcdefg olsun temel basamak çarpanları ise 1,-3,-4 tür 1*(g-d+a)+(-3)*(f-c)+(-4(e-b)
şeklinde daha uzun basamaklı ise bir eksili bir artılı çıkarıp ve toplayıp hepsini toplarız
çıkan sonuç 13 ile tam bölünüyorsa sayıda bölünür eğer kalan varsa bu kalan x sayısınında 13
ile bölümünden kalanıdır.
örnek: 123456789 olsun bakalım 1*(9-6+3)+(-3)*(8-5+2)+(-4)*(7-4+1)=1*6+(-3)*5+(-4)*5=6-15-20=
-29 sayı negatif çıkarsa pozitif gibi düşünüp kalanı buluruz ve o kalana y dersek gerçek kalan
(13-y) olur.
17'ye bölünme kuralı

Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a-5b sayısı 17'ye kalansız bölünürse bölünür.
19'a bölünme kuralı

Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a+2b sayısı 19'a kalansız bölünürsa bölünebilir.
25'e bölünme kuralı

Son iki rakamı 25, 50, 75, veya 00 olmalıdır.
Bu sayılar dışındaki sayılara bölünebilme kuralları; bir sayı, bölüneceği sayının asal çarpanlarına kalansız bölünebiliyorsa o sayıya kalansız bölünür.
29 Mayıs 2009 20:18   |   Mesaj #3   |   
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
Bölme
MsXLabs.org & Temel Britannica

Bir doğal sayıyı başka bir doğal sayıya bölerek çözülebilen değişik problem türleri vardır. Bir paylaştırma sonucundaki payları bulmak için bölme işlemi kullanılabi­lir. Eğer 20 elmanız varsa ve bunları 4 kişi arasında paylaştırmak istiyorsanız her birinin payına 5 elma düşer.
Bunu şöyle yazabiliriz:
20 elma / 4 = 5 elma
Öte yandan, eğer 20 elmanız varsa ve elinizdeki kutulardan her birine 4 elma koy­mak isterseniz, o zaman içlerinde 4'er elma bulunan 5 kutunuz olur.
Burada sorulan soru şudur:
20 elmadan 4 elmalık kaç küme elde edebilirim?
Bunu şöyle yazabiliriz:
20 elma / 4 elma = 5
İlk örnekte, gerçekte 20'nin dörtte birini buluyor, bir başka deyişle 20'yi 4'e bölüyor­duk. İkinci örnekte ise, 20'de kaç tane 4'lü küme olduğunu ya da 20'den 4'ü kaç kez çıkarabileceğimizi soruyoruz. Bu iki durumda farklı şeyler yaptığımız görülüyor. Ama yal­nızca rakamlarla gösterdiğimiz zaman her iki durumda da
20 / 4 = 5
yazıyoruz. Yaptığımız işi şekillerle gösterirsek aralarındaki fark açıkça görülecektir.İlk örnekte 20 elemanlı bir kümeyi 4 kümeye bölüyor ya da paylaştırıyoruz ve her kümede kaç eleman bulunduğunu soruyoruz.
Ad:  b_1.JPG
Gösterim: 248
Boyut:  8.5 KB
Oysa ikinci örnekte, 20 elemanlı bir kümeyi 4 elemanlı kümelere bölüyor ve kaç tane 4 elemanlı küme elde edeceğimizi soruyoruz.
Ad:  b_2.JPG
Gösterim: 270
Boyut:  11.7 KB
Birinci örnekte bulduğumuz 5 sayısı bir kü­medeki eleman sayısını gösterirken, ikinci örnekte bulunan 5 sayısı kaç tane küme olduğunu gösteriyor.
Konuyu başka bir örnekle inceleyebiliriz. Eğer 20 cm uzunluğunda bir kurdelemiz varsa, bunu 4 eşit parçaya ayırdığımızda hangi uzunlukta parçalar elde edeceğimizi sorabi­liriz:
------------------------ 20 cm ----------------------------- 5 cm
Şekilde gösterilen işlemi
20 cm / 4 = 5 cm
biçiminde yazabiliriz.
Ama öte yandan, 20 santimetrelik bu kur­deleyi her biri 4 santimetrelik kaç parçaya ayırabileceğimizi de sorabiliriz:
------------------------ - 20cm ---------------------------- ► 4 cm
Bu şekilde gösterilen işlemi de
20 cm / 4 cm = 5
biçiminde yazabiliriz.
Birinci durumda yanıt 5 santimetredir; oysa ikincide yanıt 5 parçadır. Her iki durumda da işlemi yalnızca rakamlarla gösterirsek aynı şe­yi yazarız:
20 / 4 = 5
Bölme, çarpmanın tersi olarak da ele alına­bilir. Eğer biz,
4 x 5 = 20
ya da (aynı sonucu veren)
5x 4 = 20
olduğunu biliyorsak,
20 / 4 = 5
ya da
20 / 5 = 4
olduğunu da biliriz.
Eğer 4'le çarpmayı bir şeyi 4 katma çıkar­mak ya da bir şeyi 4 kez büyütmek olarak düşünürsek, bölmenin çarpmanın "tersi" ol­duğu daha açıkça görülebilir. Öyleyse, bir şeyi 4 kez küçültmek için 4'e böleriz diye düşünebiliriz.
4'ü beş kez büyütürsek 20 elde ederiz: x 5
4 ------------------------- * 20
20'yi beş kez küçültürsek, yeniden 4 elde ederiz:
H- 5
4 *-------------------------- 20

Bölenler

Eğer bir doğal sayı başka bir doğal sayıya tam olarak bölünüyorsa yanıt her zaman bir doğal sayıdır. Bir doğal sayıyı tam olarak bölen doğal sayılara o sayının bölenleri denir. Örneğin, 6'nın bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır. Do­ğal sayıların her biri için o sayının bölenleri­nin oluşturduğu kümeleri yazabiliriz:
Ad:  b_3.JPG
Gösterim: 224
Boyut:  7.0 KB
ve bu böylece sürüp gider. Bazı sayıların çok sayıda böleni vardır:
24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Birçok sayının ise yalnızca iki böleni bulunur:
37'nin bölenleri: 1, 37.
Yalnızca iki böleni olan doğal sayılara asal sayılar denir.
Bölenleri arasında 2'nin de bulunduğu do­ğal sayılara çift sayılar denir. Çift sayıların dışında kalan doğal sayılar ise tek sayılardır. Öyleyse çift sayılar, 2'nin katlan olan ve 2, 4, 6, 8, 10, 12 diye sürüp giden sayıları kap­sar.

Kalanlar
Bölmenin sonucu bir tam sayı değilse yanıtı yazmanın çeşitli yolları vardır. Eğer 21 elmayı 4 kişi arasında paylaştırmak isterseniz onların her birine 5 elma verebilirsiniz, ama kalan 1 elmayı kesmeden paylaştıramazsınız. Elinizde kalan bir elmaya kalan denir.
Bu genellikle aşağıdaki gibi yazılır:
21 + 4 = 5, kalan 1.
Eğer 21 cm uzunluğundaki bir kurdeleyi 4 eşit parçaya ayırmak istiyorsanız durum bu kez farklıdır. Çünkü geriye 1 cm kurdele bırak­manın hiçbir anlamı yoktur:
--------------------- 21cm --------------------------------- ►
5cm
......... 5cm.......... 5cm......... 5cm......... 1cm
Ad:  b_4.JPG
Gösterim: 231
Boyut:  4.3 KB
Artakalan 1 santimetrelik kurdele de 4 eşit parçaya ayrılarak ötekilere eklenebilir ya da kurdele daha başlangıçta 4 eşit parçaya bölü­nebilir:
■«----------------------- 21 cm ----------------------------- -
Böylece her biri 5 lA santimetrelik kurdele parçaları elde edilebilir:
21 + 4 = 5 lA
Ondalık sayıları kullanarak bunu şöyle yazarız:
21 -i- 4 = 5,25.
21 santimetrelik kurdeleden kaç tane 4 santimetrelik parça kesebiliriz?
5 parça kese­riz, geriye de 1 cm uzunluğunda bir parça kalır. Kalan bu 1 cm fazlalık istenen uzunluk­taki parçanın dörtte birine eşittir. Bu durum­da elimizde 5 Va parça kurdele olacaktır:
------------------------- 21cm ------------------------------- »
ı------------ 1----------- 1----------- 1----------- 1----------- n t-1-!

Çarpanlar

Bölmeyle ilgili bir başka işlem de çarpanlara ayırma'du; yani bir sayıyı çarpanlara cinsin­den yazmaktır. İşte iki örnek: 6 = 2x3 12 = 2 x 2 x 3 Daha büyük sayıları çarpanlarına ayırmak için işlemin aşamalarını gösteren bir şekil kul­lanabiliriz. Örneğin 24'ü çarpanlarına ayıra­lım. Önce iki çarpanına ayırabiliriz:
3'ü ne yapabiliriz? Bütün yapabileceğimiz
3 = 3x1
demektir; çünkü 3 asal sayıdır. Aynı biçimde, yeni bulduğumuz 3'ü de çarpanlarına ayı­rırsak
3 = 3x1x1
buluruz. Yeni bulunan 3'ü de çarpanlarına ayırarak
3 = 3x1x1x1
bulunur ve bu sürüp gittikçe l'lerin sayısı artar. Pek anlamlı olmayan bu 1 çarpanlarını dikkate almazsak sonuç değişmez. Bu neden­le, çarpanlara ayırma işlemi sırasında asal sayılarla karşılaşınca artık o asal sayıyı çar­panlarına ayırmayız.
Ama 4'ü çarpanlarına ayırarak şekli aşağı­da görüldüğü gibi tamamlayabiliriz:
Ad:  b_5.JPG
Gösterim: 229
Boyut:  3.1 KB
Elde ettiğimiz sayıların hiçbiri artık yeniden çarpanlarına ayrılamaz. Bu "dalların" ucun­daki bütün sayıları bir araya getirirsek
24 = 2x2x2x3
elde ederiz.
24'ü çarpanlarına ayırırken ilk aşamada
8x3 yerine 6x4 olarak ayırsaydık ne olurdu?
O zaman aşağıdaki şekli elde ederdik:
Ad:  b_6.JPG
Gösterim: 200
Boyut:  2.8 KB
Bu durumda,
24 = 3x2x2x2
yazabiliriz. Sonucun öncekinin aynı olduğu, yalnızca çarpanların sırasının değiştiği açık­ça görülüyor. Gerçekten de bir sayıyı çarpan­larına nasıl ayırırsanız ayırın, sonunda her za­man aynı asal çarpanlar kümesi ortaya çı­kar.
Sayılar büyüdükçe çarpanlarının sayısının da arttığı düşünülebilir, ama bunun doğru olmadığı bir örnekle kolayca anlaşılır. 60 ve 61'i çarpanlarına ayıralım:
60 = 2x2x3x5
61 = 61
Misafir
19 Mart 2011 11:56   |   Mesaj #4   |   
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
12 ile Bölünebilme:

Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

13'e bölünme kuralı
Sayıyı x=abcdefg olsun temel basamak çarpanları ise 1,-3,-4 tür 1*(g-d+a)+(-3)*(f-c)+(-4(e-b)
şeklinde daha uzun basamaklı ise bir eksili bir artılı çıkarıp ve toplayıp hepsini toplarız
çıkan sonuç 13 ile tam bölünüyorsa sayıda bölünür eğer kalan varsa bu kalan x sayısınında 13
ile bölümünden kalanıdır.
15 ile Bölünebilme:
Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
17'ye bölünme kuralı
Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a-5b sayısı 17'ye kalansız bölünürse bölünür.
18 ile Bölünebilme:

Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

19'a bölünme kuralı
Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a+2b sayısı 19'a kalansız bölünürse bölünebilir.
24 ile Bölünebilme:

Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

25 ile Bölünebilme:

Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının

00, 25, 50, 75

olması gerekir.

31 ile Bölünebilme
Sayının son hanesinin 3 katı kalan sayıdan çıkartılması işlemi sayımız 2 haneye düşene kadar yapıldıktan sonra elde edilen sayı 31 ve katlarıysa, asıl sayımız 31 ile kalansız olarak bölünür demektir.
Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:

a ve b aralarında asal sayı ve

x = a . b

olsun. Şayet, bir sayı hem a ya hem de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür.
Bu sayılar dışındaki sayılara bölünebilme kuralları; bir sayı, bölüneceği sayının asal çarpanlarına kalansız bölünebiliyorsa o sayıya kalansız bölünür.
Misafir
8 Ocak 2012 09:23   |   Mesaj #5   |   
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
Bölünebilme Kuralları


Sponsorlu Bağlantılar

2 ile Bölünebilme:

Bir sayının 2 ile tam olarak bölünebilmesi için, birler basamağının0, 2, 4, 6, 8sayılarından biri olması gerekir. Yani, her çift sayı 2 ile tam olarak bölünür. Bununla birlikte, tüm tek sayılar 2 ile bölündüğünde, kalan 1 olur.

3 ile Bölünebilme:Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir. Bir sayının 3 e bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir.

4 ile Bölünebilme:Bir sayının 4 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının00 veya 4 ün katları

olması gerekir. Bir sayının 4 ile bölümündeki kalan, sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki kalana eşittir. Diğer taraftan, 4 ile tam olarak bölünebilen yıllar, artık yıl olarak isimlendirilir. Yani, artık yılların Şubat ayı 29 gün çeker. Dolayısıyla, 4 ile Bölünebilme, artık yılların bulunması kullanılabilir.

5 ile Bölünebilme:Bir sayının 5 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının0 veya 5olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölümündeki kalan, sayının birler basamağının 5 e bölümündeki kalana eşittir.

6 ile Bölünebilme:Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 2 ile tam olarak bölünmesi gerekir. Yani, 6 ile bölünebilen bir sayının hem çift sayı olması hem de rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir.

7 ile Bölünebilme:Bir sayının 7 ile tam olarak bölündüğünü tespit etmek için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola doğru)

a b c d e f

2 3 1 2 3 1

- +

sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır:

( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k, m: tamsayı)

Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Şayet, m sıfırdan farklı bir tamsayı olursa, bu sayının 7 ile bölümünden kalan m olur. İşaretler de sağdan başlayarak sırasıyla her üçlü için

+, -, +, -, +, -, +, ...

şeklinde olmalıdır. Bu kurala, (132) kuralı adı verilmektedir.

8 ile Bölünebilme:Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için, sayının son üç basamağının 000 veya 8 in katı

olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan, sayının son üç basamağındaki sayının 8 e bölümündeki kalana eşittir.

Bununla ilgili bir başka yol ise;birler basamağı ile,onlar basamağının iki katı ve yüzler basamağının dört katı toplanır.Toplam 8’in katı ise sayı sekize tam bölünebilir.



Örnek; 2543912. 2+1.2+9.4=40 Bu sayı 8’in beş katıdır. Bu yüzden sekize tam bölünür.

9 ile Bölünebilme:Bir sayının 9 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9 veya 9 un katları olması gerekir. Bir sayının 9 a bölümündeki kalan, sayının rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir.

10 ile Bölünebilme:Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının sıfır olması gerekir. Bir sayının 10 a bölünmesiyle elde edilen kalan, sayının birler basamağındaki rakama eşittir.

11 ile Bölünebilme:Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, ... işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da

0, 11 veya 11 in katları

olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan, artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki kalana eşittir.

12 ile Bölünebilme:Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

13 ile BölünebilmeMsn Confusedayının birler basamağı ‘3’ e bölünür.Bölüm, sayının birler basamağı eksik halinden çıkarılır..Sonuç ‘13’ ün katı ise sayı 13e tam bölünebilir.Sayının birler basamağı ‘3’ e tam olarak bölünemiyorsa onlar basamağından 1 veya 2 alınır.

Örnek:33059 sayısı 13’e bölünebilir mi? Birler basamağı olan ‘9’ u üçe böldüğümüzde ‘3’ buluruz. Bunu sayının kalan kısmından çıkarırız. 3305-3=3302. Bu sayının da bir basamağını ‘3’böleriz.2, üçün katı olmadığı için onlar basamağından 1 alırız. 12:3=4 . 4’ü 3292dan çıkarırız.329-4=325. Birler basamağı ‘5’i üçe tam olarak bölemeyiz. Onlar basamağından 1 aldığımızda 15:3=5 olur.31-5=26. 26, 13’ün katı olduğu için sayı ‘13’ e bölünebilir.

Eğer sayı çok basamaklı ise, sayıyı 3’erli gruplara ayırırız.İlk, üçüncü,beşinci gruplardaki sayıların toplamından ikinci,dördüncü……… gruplardaki sayıların toplamını çıkarırız.Çıkan sayıyı yukarıdaki kuralı uygularız.

Örnek: 82237831 sayısına bakalım..gruplardırmayı sondan başlayarak üçerli olarak yapalım. 82-237-831 şeklinde gruplara ayırırız. (82+831)-237=

913-237=676. 6, üçe bölünür 6:3=2. 67-2=65.bu sayı 13’ün 5 katı olduğuna göre sayının tamamı 13’e tam bölünebilir demektir

15 ile Bölünebilme:Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

18 ile Bölünebilme:Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

24 ile Bölünebilme:Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

25 ile Bölünebilme:Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının 00, 25, 50, 75

olması gerekir.

Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:a ve b aralarında asal sayı ve x = a . b

olsun. Şayet, bir sayı hem a ya hem de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür.

ÖRNEKLER

Örnek 1:Rakamları farklı 5 basamaklı 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X değerlerinin toplamı kaç olmalıdır?

Çözüm: 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X in alabileceği değerler 0, 2, 4, 6, 8

olmalıdır. Oysa, bu sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden, X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla, X in alabileceği değerler 0, 6, 8 dir. Bu değerlerin toplamı 0 + 6 + 8 = 14 olur.

Örnek 2:5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm:Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerektiğinden,

1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k olmalıdır. Buradan, 16 + A = 3 . k olur. Böylece, A 2, 5, 8 değerlerini alması gerekir. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı 2 + 5 + 8 = 15 olarak bulunur.

Örnek 3:İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine göre,m + n = 3 . k olması gerekir. O halde, 32mn sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur: 3 + 2 + m + n = 5 + ( m + n )

= 5 + 3 . k

= 3 + 2 + 3 . k

= 2 + 3 . k Kalan = 2 dir.

Örnek 4: Dört basamaklı 152X sayısının 4 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, X in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının yani 2X in, 4 ün katları olması gerekir. O halde, X,

0, 4, 8 ... (1)

değerlerini alırsa, 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için, (1) nolu değerlere 2 ilave edilmelidir. Bu taktirde, X,

2, 6

değerlerini almalıdır. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı2 + 6 = 8olur.

Örnek 5:666 + 5373toplamının 4 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: 666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 2 dir.

5373 ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 73 ün 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 1 dir.

Bu kalanlar toplanarak, toplamın kalanı 2 + 1 = 3 bulunur.

Örnek 6: 99999 . 23586 . 793423 . 458 çarpımının 5 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılması gerekir ve birler basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla,

99999 sayısının 5 e bölümünden kalan 4 dir.

23586 sayısının 5 e bölümünden kalan 1 dir.

793423 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.

458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.

Bu kalanların çarpımı, 2 . 1 . 3 . 3 = 18 olur. 18 in 5 e bölümünden kalan ise, 3 tür.

Örnek 7:Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 3m4n sayısı, 6 ile tam olarak bölündüğüne göre, m + n in en büyük değeri kaçtır?

Çözüm: Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 3m4n sayısının 2 ye tam olarak bölünebilmesi için, n nin 0, 2, 4, 6, 8 olması gerekir. m + n nin en büyük olması için, n = 8 olmalıdır. Böylece, 3m4n sayısı, 3m48 olur. 3m48 sayısının, aynı zamanda, 3 e bölünmesi gerektiğinden, 3 + m + 4 + 8 = m + 3 olur ve böylece m, şu değerleri alabilir: 0, 3, 6, 9

m + n nin en büyük olması için, m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla, m = 9 ve n = 8 için, m + n nin en büyük değeri,

m + n = 9 + 8 = 17 olur.

- 2m + 15 = 7.k Buradan m = 4 olur.

Örnek 9:458028 sayısının 8 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalanına

bakılmalıdır. Dolayısıyla, 28 sayısının 8 ile bölümündeki kalanı bulmalıyız. 28 in 8 ile bölümünden kalan 4 tür.

O halde, 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan, 4 tür.

Örnek 10: 10 basamaklı 4444444444 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Sayının rakamlarının toplamını alıp, 9 un katlarını atmalıyız.

Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40 dır. Buradan, 4 + 0 = 4 bulunur.

O halde, 4444444444 sayısının 9 a bölümündün kalan 4 tür.

Örnek 11: Dört basamaklı 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m kaç olmalıdır?

Çözüm: Bir sayının 10 a bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler basamağındaki rakam kaç ise, kalan odur.

Bu nedenle, 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m = 3 olmalıdır.

Örnek 12: Dokuz basamaklı 901288563 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

9 0 1 2 8 8 5 6 3

+ - + - + - + - +

Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) - ( 0 + 2 + 8 + 6 )= 26 – 16 = 10 olarak bulunur.

Örnek 13: Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, m ve n nin hangi değerleri alması gerekir?

Çözüm: Bir sayının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir.

Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının 0 olması gerekir. Dolayısıyla, n = 0 olmalıdır. Böylece, verilen sayı 5m230 olur.Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerekir. Dolayısıyla, 5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k m + 10 = 3.k m = 2, 5, 8 olur. O halde, m = 2, 5, 8 ve n = 0 olmalıdır.
Son düzenleyen Safi; 1 Kasım 2016 01:53
15 Aralık 2012 21:38   |   Mesaj #6   |   
_EKSELANS_ - avatarı
Üye
AŞAĞIDAKİ SORU VE ÇÖZÜMLERİNİ İNCELEYEREK SORULARINIZA YANIT BULABİLİRSİNİZ.

Tanım: Bir a doğal sayısı, b doğal sayısına bölündüğünde kalan 0 (sıfır) ise, “a sayısı b sayısına bölünebilir (tam bölünür)” denir.
SBS bolme islemi
Normal bir bölme işleminde;
a = b * c + k
d = b * c
Kalansız bir bölme işleminde;
a = b * c
d = a
k = 0

İki ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 iki ile bC3B6lC3BCnebilme kurali
Örnek: 12, 46, 3568
Bu sayıların birler basamağında bulunan rakamları çift sayı olduğu için her üç sayıda 2'ye bölünebilir. Sayılar 2 ile bölünebilme kuralına uyuyor.
Üç ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 uc ile bC3B6lC3BCnebilme kurali
Örnek: 12, 45, 3558
12'nin sayı değerleri toplamı 3 eder. Bu nedenle 3 ile bölünebilme kuralına uyar. Diğer sayılarda aynı durumdadır. Sayı değerleri toplamı sırasıyla 9 ve 21'dir. Yani 3'ün katlarıdır.
Dört ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 dort ile bolunebilme
Örnek: 4512, 168, 3528
4512'nin son iki rakamı (birler ve onlar basamağındaki rakamları) 4'e bölünebildiği için kendisi de dörde bölünebilir. Örnek verilen tüm sayılar 4 ile bölünebilme kuralına uyarlar.
Beş ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 5 ile bolunebilme
Örnek: 105, 235, 500
Bu sayıların birler basamağı 0 veya 5 olduğu için hepsi de 5 ile bölünebilme kuralına uygundur. Bu sayıların 5 ile bölümlerinden kalan sıfırdır.
Altı ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 6 ile bolunebilme
Örnek: 306, 234, 600
Bu sayılar hem 2 ile bölünebilme hem de 3 ile bölünebilme kurallarına uydukları için 6 ile bölünebilme kuralına da uyarlar.
Dokuz İle Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 Dokuz ile bolunebilme kurali
Örnek: 306, 2349, 6030
Bu sayıların rakamları toplamı 9'un katları olduğu için hepsi de 9 ile kalansız bölünebilir. Yani 9 ile bölünebilme kuralına uygundur.
On İle Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 10 ile bolunebilme
Örnek: 340, 2350, 6030
Bu sayıların rakamların birler basamağı sıfır olduğu için hepsi de 10'a kalansız bölünebilir. Sayılar 10 ile bölünebilme kuralına uymaktadır.
Önemli Bölünebilme Kuralları

  • Bir doğal sayı bölündüğünde kalanların kümesi, bölenden küçük doğal sayılardan oluşur.
  • Bir a doğal sayısına bölünen sayı, a nın her çarpanına da ayrı ayrı bölünebilir.

    15 e bölünen bir sayı 3 veya 5 e
    22 ye bölünen bir sayı 2 veya 11 e
    45 e bölünen bir sayı 3, 5, 9 veya 15’ e ayrı ayrı bölünebilir.
  • a ve b aralarında asal iki sayı ise, a ve b ye ayrı ayrı bölünebilen bir sayı, bunların çarpımına yani; a * b' ye de bölünebilir.

    3 ve 4 e bölünebilen bir sayı 12 ye
    3 ve 8 e bölünebilen bir sayı 24 e
    3 ve 10 a bölünebilen bir sayı 30 a
    2 ve 9 a bölünebilen bir sayı 18 e
    4 ve 9 a bölünebilen bir sayı 36 ya
    7 ve 11 e bölünebilen bir sayı 77 ye
    ......... vb. bölünebilir.
25 Aralık 2012 14:28   |   Mesaj #7   |   
_EKSELANS_ - avatarı
Üye
Bölünebilme Kuralları

Tanım: Bir a doğal sayısı, b doğal sayısına bölündüğünde kalan 0 (sıfır) ise, “a sayısı b sayısına bölünebilir (tam bölünür)” denir.
Sponsorlu Bağlantılar
SBS bolme islemi
Normal bir bölme işleminde;
a = b * c + k
d = b * c
Kalansız bir bölme işleminde;
a = b * c
d = a
k = 0

İki ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 iki ile bC3B6lC3BCnebilme kurali
Örnek: 12, 46, 3568
Bu sayıların birler basamağında bulunan rakamları çift sayı olduğu için her üç sayıda 2'ye bölünebilir. Sayılar 2 ile bölünebilme kuralına uyuyor.
Üç ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 uc ile bC3B6lC3BCnebilme kurali
Örnek: 12, 45, 3558
12'nin sayı değerleri toplamı 3 eder. Bu nedenle 3 ile bölünebilme kuralına uyar. Diğer sayılarda aynı durumdadır. Sayı değerleri toplamı sırasıyla 9 ve 21'dir. Yani 3'ün katlarıdır.
Dört ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 dort ile bolunebilme
Örnek: 4512, 168, 3528
4512'nin son iki rakamı (birler ve onlar basamağındaki rakamları) 4'e bölünebildiği için kendisi de dörde bölünebilir. Örnek verilen tüm sayılar 4 ile bölünebilme kuralına uyarlar.
Beş ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 5 ile bolunebilme
Örnek: 105, 235, 500
Bu sayıların birler basamağı 0 veya 5 olduğu için hepsi de 5 ile bölünebilme kuralına uygundur. Bu sayıların 5 ile bölümlerinden kalan sıfırdır.
Altı ile Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 6 ile bolunebilme
Örnek: 306, 234, 600
Bu sayılar hem 2 ile bölünebilme hem de 3 ile bölünebilme kurallarına uydukları için 6 ile bölünebilme kuralına da uyarlar.
Dokuz İle Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 Dokuz ile bolunebilme kurali
Örnek: 306, 2349, 6030
Bu sayıların rakamları toplamı 9'un katları olduğu için hepsi de 9 ile kalansız bölünebilir. Yani 9 ile bölünebilme kuralına uygundur.
On İle Bölünebilme Kuralı:
SBS 6 10 ile bolunebilme
Örnek: 340, 2350, 6030
Bu sayıların rakamların birler basamağı sıfır olduğu için hepsi de 10'a kalansız bölünebilir. Sayılar 10 ile bölünebilme kuralına uymaktadır.
Önemli Bölünebilme Kuralları

  • Bir doğal sayı bölündüğünde kalanların kümesi, bölenden küçük doğal sayılardan oluşur.
  • Bir a doğal sayısına bölünen sayı, a nın her çarpanına da ayrı ayrı bölünebilir.

    15 e bölünen bir sayı 3 veya 5 e
    22 ye bölünen bir sayı 2 veya 11 e
    45 e bölünen bir sayı 3, 5, 9 veya 15’ e ayrı ayrı bölünebilir.
  • a ve b aralarında asal iki sayı ise, a ve b ye ayrı ayrı bölünebilen bir sayı, bunların çarpımına yani; a * b' ye de bölünebilir.

    3 ve 4 e bölünebilen bir sayı 12 ye
    3 ve 8 e bölünebilen bir sayı 24 e
    3 ve 10 a bölünebilen bir sayı 30 a
    2 ve 9 a bölünebilen bir sayı 18 e
    4 ve 9 a bölünebilen bir sayı 36 ya
    7 ve 11 e bölünebilen bir sayı 77 ye
    ......... vb. bölünebilir.

Hızlı Cevap
Mesaj:

Bu sayfalarımıza baktınız mı
paneli aç