izdüşümsel geometri

geometrik şekiller ile bunların izdüşümü alınarak elde edilen görüntüleri (gönderim) arasındaki ilişkileri konu alan matematik dalı.

Cisimlerin oluşturduğu gölgeler, sinemada perde üzerine düşen görüntü ve Yer yüzeyi haritaları, başlıca izdüşüm örnekleridir.
Resim ve çizimlerde önemli bir rol oynayan perspektif (üç boyutlu görünümlerin ve cisimlerin resim düzlemine izdüşümü) konusunun daha iyi anlaşılmasına duyulan gereksinim izdüşümsel geometrinin gelişmeşinde başlıca etmenlerden biri oldu. İzdüşümsel geometrinin gelişmesi açısından büyük önem taşıyan iki buluş Fransız matematikçiler Girard Desargues ve Blaise Pascal tarafından 17. yüzyılda ortaya konan ve bu matematikçilerin adlarıyla anılan teoremlerdir (Desargues teoremi).

Bu teoremler uzaklık, açı, eşleşim ve benzerlik gibi ölçüye dayanan ve metrik özellikler olarak adlandırılan özelliklerle ilişkili değildir ve yalnızca doğruların kesişmesi ve noktaların bir doğru üzerinde bulunması kavramlarına dayanır. Bu teoremlerin genelleştirilmesinde karşılaşılan zorluklar, Fransız mühendis Jean-Victor Poncelet tarafından, her doğrunun sonsuzdaki bir noktaya uzatılabileceği ve bu noktanın bütün paralel doğrular için aynı nokta olduğu; benzer biçimde her düzlemin sonsuzdaki bir doğruya uzatılabileceği ve bu doğrunun bütün paralel düzlemler için aynı olduğu varsayımıyla çözüldü. Traite des proprietes projective des figures (1822; Şekillerin İzdüşümsel Özellikleri Üzerine İnceleme) adını taşıyan ünlü yapıtıyla izdüşümsel geometrinin temellerini ortaya koyan J.-V. Poncelet, bu bilim dalının kurucusu olarak kabul edilir. İzdüşümsel geometri sonraki yıllarda büyük bir gelişme gösterdi. Özellikle Eukleidesçi temellerden kurtulup bağımsız bir geometri olma yönündeki bu gelişmede önemli katkıları olan çok sayıda matematikçi arasında K.G.C. von Staudt, Felix Klein, Moritz Pasch ve Otto Stolz anılabilir.

İzdüşümsel geometride şekillerin izdüşüm altında oluşan görüntülerinde, uzunluk, biçim ve açılarda ortaya çıkan değişme ve bozulmalara karşın, korunan (değişmeden kalan) matematiksel özelliklerin incelenmesi önem taşır. Bu özellikler arasında çizgilerin doğru olma özelliği ile noktaların doğru üzerinde bulunması özelliği (bir başka deyişle, bir nokta bir doğrunun üzerinde ise, noktanın görüntüsünün de doğrunun görüntüsü üzerinde bulunması özelliği) sayılabilir. İzdüşümde şekil ile görüntüsünün birbirine karşılık gelen noktaları, izdüşüm merkezinden geçen bir doğru (izdüşüm ışını) üzerinde bulunur. Tasan geometride izdüşüm merkezinin sonsuzda olduğu kabul edilir, bu nedenle izdüşüm ışınlan birbirine paraleldir; aynca bu ışınlar izdüşüm düzlemine diktir, dolayısıyla izdüşüm, dikgen (ortogonal) izdüşüm olarak adlandırılır. Karanlık kutu (camera obscura) olarak da bilinen iğne delikli fotoğraf makinesinde izdüşüm merkezi kutudaki küçük deliktir ve bu delik cisim ile görüntüsünün arasında olduğundan, görüntü terstir.