İzdüşüm (Projeksiyon) Nedir?

izdüşüm

PROJEKSİYON olarak da bilinir, haritacılıkta, eğri (kavisli) bir yüzeyin (örn. Yer yüzeyinin) özelliklerinin belli bir sisteme dayalı olarak düz bir yüzeyin üzerine aktarılması.

İzdüşüm geometride, daha genel bir biçimde, bir şeklin noktaları ile bir yüzeyin (ya da bir çizginin) noktaları arasında kurulan eşleme olarak tanımlanır.

Düzlemsel izdüşümde, bir düzlem üzerindeki bir dizi nokta, bir odak noktası (merkez) seçilerek ve bu merkezden çıkıp düzlem üzerindeki noktalardan geçen doğruların ikinci bir düzlemi kestiği noktalar bulunarak, bu düzlem üzerine izdüşürülür. Bu gönderim türü merkezî izdüşüm olarak adlandırılır. İzdüşümde birbirine karşılık gelen şekiller arasında perspektif olduğu söylenir ve ikinci düzlemdeki şekil (görüntü), birincinin izdüşümü olarak adlandırılır. Bir merkezden çıkan ışınlar yerine paralel ışınlar kullanılarak oluşturulan izdüşüme paralel izdüşüm adı verilir. Paralel izdüşüm, ışınların görüntü düzlemine dik olması durumunda dikgen (ortogonal) izdüşüm olarak adlandırılır. Dikgen izdüşümde, iki düzlem birbirine paralel ise, özgün şekil ile izdüşümü birbirine özdeştir, aksi durumda böyle bir özdeşlik söz konusu değildir.

Haritacılıkta izdüşümden, temel olarak, bir küre yüzeyinin (Yer yüzeyi) bir düzleme (harita düzlemi) aktarılması amacıyla yararlanılır. Bu tür bir gösterim, belirli zorluklar içerir; ne var ki eski kartograflar önceleri bu sorunla fazlaca ilgilenmediler. Ama keşiflerin hızlanmasıyla, geniş kara parçalarının, okyanusların ve daha sonra da Yer’in tamamının harita üzerinde gösterilmesi aşamasına varıldı ve böylece izdüşüm tekniklerinin geliştirilmesi zorunlu duruma geldi. 16. yüzyıl Flaman kartograflarından Gerardus Mercator, meridyenleri düşey ve eşit aralıklı, paralelleri ise yatay ve aralarındaki uzaklık enlemin sekantıyla orantılı olarak artan biçimde gösteren izdüşüm yöntemini buldu.

Bu teknikte küre biçimindeki Yer, kutuplara bakan üst ve alt bölümleri açık bir silindir biçimine getirilir; daha sonra silindir açılarak düz yüzey elde edilir. Bu yöntemle hazırlanan haritalarda, doğu-batı ve kuzey-güney doğrultularının aslına oldukça sadık bir gösterimi elde edilir, ama yüksek enlemlere gidildikçe önemli sapmalar ortaya çıkar. Yerkürenin orta bölümlerinin haritasının çıkartılmasında günümüzde de Mercator izdüşümü yönteminden yararlanılmaktadır. Başka izdüşüm teknikleri de vardır. Bunlardan konik izdüşümde gösterimler, Kuzey ya da Güney kutup noktasının üstündeki bir noktadan başlayarak, ana çizgileri belirli bir paralelde yerküreye teğet geçen bir koninin üstünde elde edilir. Yerküre üzerindeki noktaların bir düzlem üzerine doğrudan izdüşürülmesi de haritacılıkta yaygın olarak kullanılan bir izdüşüm yöntemidir. Düzlemsel, (azimutal ya da ufki) izdüşüm olarak adlandırılan bu yöntemde, görüntü düzlemi olarak yerküreye teğet bir düzlem alınır. Böylece Yer’in bir bölümünün disk biçiminde düzlemsel bir haritası elde edilir.

Bu tür izdüşümde, odak noktası olarak, yerkürenin merkezi alındığında elde edilen izdüşüme gnomonik izdüşüm, düzlemin yerküreye değme noktasının çapsal karşıtı alındığında elde edilene stereografik izdüşüm adı verilir. Yerküre üzerindeki noktaların, düzleme dik ışınlar aracılığıyla elde edilen izdüşümü ise ortografik (dikçizgisel) izdüşüm olarak adlandırılır.
Matematiğin, izdüşümleri ve bunların özelliklerini konu alan dalına izdüşümsel geometri adı verilir.

izdüşümsel geometri

geometrik şekiller ile bunların izdüşümü alınarak elde edilen görüntüleri (gönderim) arasındaki ilişkileri konu alan matematik dalı.

Cisimlerin oluşturduğu gölgeler, sinemada perde üzerine düşen görüntü ve Yer yüzeyi haritaları, başlıca izdüşüm örnekleridir.
Resim ve çizimlerde önemli bir rol oynayan perspektif (üç boyutlu görünümlerin ve cisimlerin resim düzlemine izdüşümü) konusunun daha iyi anlaşılmasına duyulan gereksinim izdüşümsel geometrinin gelişmeşinde başlıca etmenlerden biri oldu. İzdüşümsel geometrinin gelişmesi açısından büyük önem taşıyan iki buluş Fransız matematikçiler Girard Desargues ve Blaise Pascal tarafından 17. yüzyılda ortaya konan ve bu matematikçilerin adlarıyla anılan teoremlerdir (Desargues teoremi).

Bu teoremler uzaklık, açı, eşleşim ve benzerlik gibi ölçüye dayanan ve metrik özellikler olarak adlandırılan özelliklerle ilişkili değildir ve yalnızca doğruların kesişmesi ve noktaların bir doğru üzerinde bulunması kavramlarına dayanır. Bu teoremlerin genelleştirilmesinde karşılaşılan zorluklar, Fransız mühendis Jean-Victor Poncelet tarafından, her doğrunun sonsuzdaki bir noktaya uzatılabileceği ve bu noktanın bütün paralel doğrular için aynı nokta olduğu; benzer biçimde her düzlemin sonsuzdaki bir doğruya uzatılabileceği ve bu doğrunun bütün paralel düzlemler için aynı olduğu varsayımıyla çözüldü. Traite des proprietes projective des figures (1822; Şekillerin İzdüşümsel Özellikleri Üzerine İnceleme) adını taşıyan ünlü yapıtıyla izdüşümsel geometrinin temellerini ortaya koyan J.-V. Poncelet, bu bilim dalının kurucusu olarak kabul edilir. İzdüşümsel geometri sonraki yıllarda büyük bir gelişme gösterdi. Özellikle Eukleidesçi temellerden kurtulup bağımsız bir geometri olma yönündeki bu gelişmede önemli katkıları olan çok sayıda matematikçi arasında K.G.C. von Staudt, Felix Klein, Moritz Pasch ve Otto Stolz anılabilir.

İzdüşümsel geometride şekillerin izdüşüm altında oluşan görüntülerinde, uzunluk, biçim ve açılarda ortaya çıkan değişme ve bozulmalara karşın, korunan (değişmeden kalan) matematiksel özelliklerin incelenmesi önem taşır. Bu özellikler arasında çizgilerin doğru olma özelliği ile noktaların doğru üzerinde bulunması özelliği (bir başka deyişle, bir nokta bir doğrunun üzerinde ise, noktanın görüntüsünün de doğrunun görüntüsü üzerinde bulunması özelliği) sayılabilir. İzdüşümde şekil ile görüntüsünün birbirine karşılık gelen noktaları, izdüşüm merkezinden geçen bir doğru (izdüşüm ışını) üzerinde bulunur. Tasan geometride izdüşüm merkezinin sonsuzda olduğu kabul edilir, bu nedenle izdüşüm ışınlan birbirine paraleldir; aynca bu ışınlar izdüşüm düzlemine diktir, dolayısıyla izdüşüm, dikgen (ortogonal) izdüşüm olarak adlandırılır. Karanlık kutu (camera obscura) olarak da bilinen iğne delikli fotoğraf makinesinde izdüşüm merkezi kutudaki küçük deliktir ve bu delik cisim ile görüntüsünün arasında olduğundan, görüntü terstir.