Poincaré Sanısı!

İlgili sanı, her noktası çevresinde yerel olarak üç boyutlu Öklid uzayına benzeyen topolojik uzaylara ilişkin bir önerme ifade etmektedir. Eğer bu uzayın içine atılmış her çember uzayın içinde kalarak bir noktaya büzülebiliyorsa (deliği yoksa), Poincaré sanısına göre bu uzay dört boyutlu Öklit uzayında yatan üç boyutlu bir küre olmalıdır. Toruslarda (simit gibi) bu büzülmeden bahsedilemez. Bir yüzey için, üzerindeki delik sayısı tanımlayıcı bir unsurdur ve böyle iki yüzey arasında sadece delik sayıları aynı olduğu müddetçe birebir, düzgün bir topolojik karşılaştırmadan söz edilebilir. Bu "topolojik karşılaştırma" problemi, daha yüksek boyutlarda çok daha zordur. Henri Poincaré, muhtemelen 3-boyutlu manifoldlar üzerinde benzer bir çalışmayı yürüten ilk kişidir. Bunun en basit örneği, her bir noktanın merkeze birim uzaklıkta olduğu, üç boyutlu birim küredir. Poincaré, bir dairede her bir kapalı çevrimin, daireyi terk etmeden, bir noktaya kadar büzülebileceğine dikkat çekip, aynı soruyu 3-boyut için tekrarlamıştır.

Daha matematiksel bir şekilde; Poincaré sanısını "düzgün, 3 boyutlu bir manifold (manifold karmaşık cisimlerin algılanmasında çok yardımcı olan soyut matematiksel bir kavramdır; bir cisme yeterince yakından baktığımızda gördüğümüz biçimidir, Dünya küre olsa da onu iki boyutlu olarak algılarız veya çembere yakından baktığımızda bir doğruyu andıracaktır), üzerindeki her bir kapalı eğrinin (örneğin paket lastiğinin) tek bir noktaya kadar büzülebilme özelliğine sahipse, 3 boyutlu manifold, 3 boyutlu küreye homeomorfik (koparmadan, kırmadan sadece büzerek, eğip bükerek birbirlerine dönüşebilir) midir?" sorusuyla ifade edebiliriz. Poincaré bu soruyu, büyük bir ileri görüşlülükle "bizi çok meşgul edecek" diye yorumlamıştır. Poincaré sanısı şu ana kadar çözülen tek problemdir. Problemi çözen Matematikçi Grigori Perelman ise Matematik Nobel Ödülü olarak bilinen Fields Ödülü'nü almamıştır.