Tabii ki, her bir sorunun çözümünü adım adım açıklayayım:
(a) f(x) = x² at x = 2:
Teğet doğrunun denklemi genellikle y = mx + b şeklinde ifade edilir, burada m eğim, b ise kesme noktasıdır. Teğet çizgisinin eğimi, fonksiyonun verilen noktadaki türevi olacaktır.
- İlk olarak f(x) = x² fonksiyonunun türevini hesaplayalım: f'(x) = 2x
- x = 2 noktasında türevi hesaplayarak teğet doğrunun eğimini buluruz: f'(2) = 2 * 2 = 4
- Fonksiyonun x = 2 noktasındaki değerini bulalım: f(2) = 2² = 4
- Teğet doğrunun denklemi: y - 4 = 4(x - 2) veya y = 4x - 4
(b) f(x) = 3 - 14x at x = 8: - Fonksiyonun türevini hesaplayalım: f'(x) = -14
- x = 8 noktasında türevi hesaplayarak teğet doğrunun eğimini buluruz: f'
= -14 - Fonksiyonun x = 8 noktasındaki değerini bulalım: f = 3 - 14 * 8 = -109
- Teğet doğrunun denklemi: y + 109 = -14(x - 8) veya y = -14x + 121
(c) f(x) = 5x^(1/2) / x² at x = 1: - Fonksiyonun türevini hesaplayalım: f'(x) = (5 / 2)x^(-1/2) - 2 * 5x^(-2) = (5 / 2√x) - (10 / x^2)
- x = 1 noktasında türevi hesaplayarak teğet doğrunun eğimini buluruz: f'(1) = (5 / 2) - 10 = -5/2
- Fonksiyonun x = 1 noktasındaki değerini bulalım: f(1) = 5 / 1^2 = 5
- Teğet doğrunun denklemi: y - 5 = (-5/2)(x - 1) veya y = -5/2x + 15/2
(d) f(x) = 7x + 4e^x at x = 0: - Fonksiyonun türevini hesaplayalım: f'(x) = 7 + 4e^x
- x = 0 noktasında türevi hesaplayarak teğet doğrunun eğimini buluruz: f'(0) = 7 + 4 = 11
- Fonksiyonun x = 0 noktasındaki değerini bulalım: f(0) = 7 * 0 + 4 * e^0 = 4
- Teğet doğrunun denklemi: y - 4 = 11(x - 0) veya y = 11x + 4
Bu adımları takip ederek her bir fonksiyonun verilen noktasında teğet doğrusunun denklemini bulabilirsiniz.
