Cevap Yaz Yazdır
En İyi Cevap Var|Gösterim: 33.949|Cevap: 6|Güncelleme: 11 Aralık 2015

Özdeşlik nedir?

Ziyaretçi
22 Aralık 2008 19:12   |   Mesaj #1   |   
Avatarı yok
Ziyaretçi
Özdeşlik kavramı nedir
EN İYİ CEVABI Keten Prenses verdi
Özdeşlikler ve Binom Açılımı
Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
Sponsorlu Bağlantılar
olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-
dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-
larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-
kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-
rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-
muştur. Dikdörtgenin alanının bulunmasıile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-
rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-
çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r
2
şeklinde ifade edebiliriz. Alan
formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin
"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne
kadar değişir?"
sorusuna kolayca cevap verebiliriz.

Kenar uzunluklarıx ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-
larının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-
lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdört-
genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,
bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-
sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer
kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.
Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.
Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Keli-
meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-
lay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-
ğiz.
Örneğin,
xy, πr
2
, 2x + 5 , 3x
2
- 4x +1,
şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-
ma, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi
işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-
lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken
veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp
gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x
2
- 4x +1 ifade-
sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)
2
- 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.
İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki
ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x
2
- 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci
ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,
(x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x
2
- 1
buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için
x
2
- 1 = (x - 1)(x + 1)
dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.
Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.
İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu
işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.

?
x
2
+ 1,
x + 1
x
2
+ 1
, 3x
2
- y
2
+ 2, x
2
+ y
3
3
,
1
2
gt
2

x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır.
Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.
(x + y)
2
= (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x
2
+ 2xy + y
2
olduğundan
dir.
x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-
rik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)
2
sayısını, bir kenar uzun-
luğu x + y olan bir karenin, x
2
ile y
2
yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y
olan karelerin alanlarıolarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-
daki şekilden kolayca görülebilir.
Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.
x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.
Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R
39
Her x , y IR için (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
2
y
x
x
y
x
y
y
x
xy
y
2
xy
x
2
Her x , y IR için (x - y)
2
= x
2
- 2xy + y
2
Page 6
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Bir diğer özdeşlik,
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-
terlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-
metrik olarak da görmek mümkündür.
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için
(x + y)
3
= (x + y)
2
(x + y) = (x
2
+ 2xy + y
2
)(x +y)

y
y
y
y
x
xy
xy
x - y
x - y
y
y
x
x
y
2
x
2
Şekil 2.1
Her x , y IR için x
2
- y
2
= (x - y) (x + y)
x
x - y
y
y
A
B
C
D
y
2
x - y
2
2
x
y
x - y
2
2
x + y
A
B
C
D
Şekil 2.2
Her x , y IR için (x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3

çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak
doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,
bulunur.
Her zaman karşımıza çıkan,
özdeşliklerini de unutmamalıyız.
Son iki eşitlikte sağtaraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-
nabilir. Bunlara benzer şekilde
(x + y)
4
= (x + y)( x + y)
3
= (x + y)(x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
)
= x
4
+3x
3
y +3x
2
y
2
+ xy
3
+ yx
3
+3x
2
y
2
+3xy
3
+ y
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
dır. O halde,
(x + y)
2
, (x + y)
3
, (x + y)
4
ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +
y)
n
nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,
şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.
Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denir
ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.
0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımınışöyle yazabi-
liriz.

Her x , y IR için (x - y)
3
= x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
Her x, y IR için (x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
x + y
n
= x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n n - 1
1.2
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
1.2.3
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
1.2.3...k
x
n-k
y
k
+ ... +
n n - 1 ...2.1
1.2.3...n
y
n
Her x , y IR için x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
- xy +y
2
)
Her x , y IR için x
3
- y
3
= (x - y)(x
2
+ xy +y
2
)

Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. For-
mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;
i) terim sayısı n + 1 dir,
ii) ilk terim x
n
dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer
birer artar ve son terim y
n
olur,
iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,
iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax
n-k
y
k
dır ve burada A kat-
sayısının payın den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-
dası ise k! dir.
Örnek:
= x
10
+ 10 x
9
y + 45 x
8
y
2
+ 120 x
7
y
3
+ 210 x
6
y
4
+ 252 x
5
y
5
+ 210 x
4
y
6
+ 120 x
3
y
7
+ 45 x
2
y
6
+10 x y
9
+ y
10
.
Örnek :
(2y)
2
= 2
2
y
2
= 4y
2
, (2y)
3
= 2
3
y
3
= 8y
3
, (2y)
4
=2
4
y
4
= 16y
4
olduğundan
(x + 2y)
4
= x
4
+ 8x
3
y + 24x
2
y
2
+ 32xy
3
+ 16y
4
dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-
kat ediniz.

x + y
n
= x
n
+
n
1!
x
n-1
y +
n n - 1
2!
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
3!
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
k!
x
n-k
y
k
+ ... + y
n
x + y
10
= x
10
+
10
1
x
9
y +
10.9
1.2
x
8
y
2
+
10.9.8
1.2.3
x
7
y
3
+
10.9.8.7
1.2.3.4
x
6
y
4
+
10.9.8.7.6
1.2.3.4.5
x
5
y
5
+
10.9.8.7.6.5
1.2.3.4.5.6
x
4
y
6
+
10.9.8.7.6.5.4
1.2.3.4.5.6.7
x
3
y
7
+
10.9.8.7.6.5.4.3
1.2.3.4.5.6.7.8
x
2
y
8
+
10.9.8.7.6.5.4.3.2
1.2.3.4.5.6.7.8.9
xy
9
+ y
10
x + 2y
4
= x
4
+
4
1
x
3
2y +
4.3
1.2
x
2
2y
2
+
4.3.2
1.2.3
x 2y
3
+
4.3.2.1
1.2.3.4
2y
4
= x
4
+ 4x
3
2y + 6x
2
2y
2
+ 4x 2y
3
+ 2y
4
Page 10
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Örnek :
= 32x
5
– 80 x
4
y + 80x
3
y
2
- 40x
2
y
3
+ 10xy
4
– y
5
.
Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin
alındığına dikkat ediniz.
Örnek:
1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =1000
2
– 2
2
= 1000 000 – 4 = 999 996 .
Örnek :
47
2
= (50 – 3)
2
= 50
2
- 2.50.3 + 3
2
= 2500 - 300 + 9 =2209 ,
veya
47
2
= (40 + 7)
2
= 40
2
+ 2.40.7 +7
2
= 1600 + 560 + 49 = 2209 .
Örnek:
Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?
Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur.
Diğer taraftan (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
= (x
2
+ y
2
) + 2xy olduğundan
50
2
= (x
2
+ y
2
) + 2 . 481 olur. Buradan da x
2
+ y
2
= 50
2
- 962 = 2500 - 962 = 1538
bulunur.
Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının
olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca
şeklinde de gösterilir. Buna göre
dir. Özel olarak
alınır. Buna göre örneğin
dir.

2x - y
5
= 2x + -y
5
= 2x
5
+
5
1!
2x
4
-y +
5.4
2!
2x
3
-y
2
+
5.4.3
3!
2x
2
-y
3
+
5.4.3.2
4!
2x -y
4
+ -y
5
n n - 1 n - 2 ..... n - k + 1
1.2.3.4.....k
n
k
n
k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
1.2.3.4.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
k!
n
0
= 1
4
0
= 1,
4
1
=
4
1
= 4,
4
2
=
4.3
1.2
= 6,
4
3
=
4.3.2
1.2.3
= 4,
4
4
=
4.3.2.1
1.2.3.4
= 1

yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4..... n = n! , paydanın ise
(1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,
şu şekilde yazılabilir:
Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.
Örnek:
= x
7
+ 7x
6
y + 21x
5
y
2
+ 35x
4
y
3
+ 35x
3
y
4
+ 21x
2
y
5
+ 7xy
6
+ y
7
.
Örnek:
(x + y)
11
in Binom açılımında x
4
y
7
teriminin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Binom açılımında x
n-k
y
k
teriminin katsayısı
dır. Burada k nın y nin kuvveti
olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x
4
y
7
nin katsayısı
dır.
Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımlarıile bu açılımlardaki katsayılara
birlikte bir göz atalım.

n n - 1 ... n - k + 1
1.2.3.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k - 1
1.2.3.4.....k
.
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n
k
n
k
=
n !
k ! n - k !
, n ∈ IN , k ∈ IN
x + y
7
=
7
0
x
7
+
7
1
x
6
y +
7
2
x
5
y
2
+
7
3
x
4
y
3
+
7
4
x
3
y
4
+
7
5
x
2
y
5
+
7
6
xy
6
+
7
7
y
7
= x
7
+
7!
1!.6!
x
6
y +
7!
2!.5!
x
5
y
2
+
7!
3!.4!
x
4
y
3
+
7!
4!.3!
x
3
y
4
+
7!
5!.2!
x
2
y
5
+
7!
6!.1!
xy
6
+
7!
7!.0!
y
7
n
k
11
7
=
11!
7!.4!
= 330
x + y
n
=
n
0
x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n
2
x
n-2
y
2
+ .. +
n
k
x
n-k
y
k
+.. +
n
n
y
n
, n IN , k IN

(x + y) = x + y
1 1
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
1 2 1
(x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
1 3 3 1
(x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
1 4 6 4 1
(x + y)
5
= x
5
+ 5x
4
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
+ y
5
1 5 10 10 5
1
(x + y)
6
= x
6
+ 6x
5
y + 15x
4
y
2
+ 20x
3
y
3
+ 15x
2
y
4
+ 6xy
5
+ y
6
1 6 15 20 15 6 1
. . . . .
. . . . .
Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu
özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer
katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının
toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-
na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-
tir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan
kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-
daki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncısatırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-
tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu
katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-
dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci
kuvvetinin açılımındaki katsayılarıPascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-
vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi
gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir
özelliktir

Son düzenleyen fadedliver; 25 Aralık 2008 15:59
Benzer Konular:
Diğer Konular:
22 Aralık 2008 19:23   |   Mesaj #2   |   
Keten Prenses - avatarı
Üye
Bu mesaj 'en iyi cevap' seçilmiştir.
Özdeşlikler ve Binom Açılımı
Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-
dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-
larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-
kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-
rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-
muştur. Dikdörtgenin alanının bulunmasıile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-
rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-
çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r
2
şeklinde ifade edebiliriz. Alan
formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin
"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne
kadar değişir?"
sorusuna kolayca cevap verebiliriz.

Kenar uzunluklarıx ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-
larının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-
lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdört-
genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,
bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-
sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer
kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.
Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.
Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Keli-
meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-
lay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-
ğiz.
Örneğin,
xy, πr
2
, 2x + 5 , 3x
2
- 4x +1,
şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-
ma, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi
işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-
lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken
veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp
gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x
2
- 4x +1 ifade-
sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)
2
- 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.
İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki
ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x
2
- 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci
ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,
(x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x
2
- 1
buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için
x
2
- 1 = (x - 1)(x + 1)
dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.
Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.
İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu
işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.

?
x
2
+ 1,
x + 1
x
2
+ 1
, 3x
2
- y
2
+ 2, x
2
+ y
3
3
,
1
2
gt
2

x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır.
Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.
(x + y)
2
= (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x
2
+ 2xy + y
2
olduğundan
dir.
x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-
rik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)
2
sayısını, bir kenar uzun-
luğu x + y olan bir karenin, x
2
ile y
2
yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y
olan karelerin alanlarıolarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-
daki şekilden kolayca görülebilir.
Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.
x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.
Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R
39
Her x , y IR için (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
2
y
x
x
y
x
y
y
x
xy
y
2
xy
x
2
Her x , y IR için (x - y)
2
= x
2
- 2xy + y
2
Page 6
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Bir diğer özdeşlik,
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-
terlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-
metrik olarak da görmek mümkündür.
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için
(x + y)
3
= (x + y)
2
(x + y) = (x
2
+ 2xy + y
2
)(x +y)

y
y
y
y
x
xy
xy
x - y
x - y
y
y
x
x
y
2
x
2
Şekil 2.1
Her x , y IR için x
2
- y
2
= (x - y) (x + y)
x
x - y
y
y
A
B
C
D
y
2
x - y
2
2
x
y
x - y
2
2
x + y
A
B
C
D
Şekil 2.2
Her x , y IR için (x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3

çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak
doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,
bulunur.
Her zaman karşımıza çıkan,
özdeşliklerini de unutmamalıyız.
Son iki eşitlikte sağtaraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-
nabilir. Bunlara benzer şekilde
(x + y)
4
= (x + y)( x + y)
3
= (x + y)(x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
)
= x
4
+3x
3
y +3x
2
y
2
+ xy
3
+ yx
3
+3x
2
y
2
+3xy
3
+ y
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
dır. O halde,
(x + y)
2
, (x + y)
3
, (x + y)
4
ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +
y)
n
nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,
şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.
Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denir
ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.
0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımınışöyle yazabi-
liriz.

Her x , y IR için (x - y)
3
= x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
Her x, y IR için (x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
x + y
n
= x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n n - 1
1.2
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
1.2.3
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
1.2.3...k
x
n-k
y
k
+ ... +
n n - 1 ...2.1
1.2.3...n
y
n
Her x , y IR için x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
- xy +y
2
)
Her x , y IR için x
3
- y
3
= (x - y)(x
2
+ xy +y
2
)

Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. For-
mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;
i) terim sayısı n + 1 dir,
ii) ilk terim x
n
dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer
birer artar ve son terim y
n
olur,
iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,
iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax
n-k
y
k
dır ve burada A kat-
sayısının payın den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-
dası ise k! dir.
Örnek:
= x
10
+ 10 x
9
y + 45 x
8
y
2
+ 120 x
7
y
3
+ 210 x
6
y
4
+ 252 x
5
y
5
+ 210 x
4
y
6
+ 120 x
3
y
7
+ 45 x
2
y
6
+10 x y
9
+ y
10
.
Örnek :
(2y)
2
= 2
2
y
2
= 4y
2
, (2y)
3
= 2
3
y
3
= 8y
3
, (2y)
4
=2
4
y
4
= 16y
4
olduğundan
(x + 2y)
4
= x
4
+ 8x
3
y + 24x
2
y
2
+ 32xy
3
+ 16y
4
dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-
kat ediniz.

x + y
n
= x
n
+
n
1!
x
n-1
y +
n n - 1
2!
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
3!
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
k!
x
n-k
y
k
+ ... + y
n
x + y
10
= x
10
+
10
1
x
9
y +
10.9
1.2
x
8
y
2
+
10.9.8
1.2.3
x
7
y
3
+
10.9.8.7
1.2.3.4
x
6
y
4
+
10.9.8.7.6
1.2.3.4.5
x
5
y
5
+
10.9.8.7.6.5
1.2.3.4.5.6
x
4
y
6
+
10.9.8.7.6.5.4
1.2.3.4.5.6.7
x
3
y
7
+
10.9.8.7.6.5.4.3
1.2.3.4.5.6.7.8
x
2
y
8
+
10.9.8.7.6.5.4.3.2
1.2.3.4.5.6.7.8.9
xy
9
+ y
10
x + 2y
4
= x
4
+
4
1
x
3
2y +
4.3
1.2
x
2
2y
2
+
4.3.2
1.2.3
x 2y
3
+
4.3.2.1
1.2.3.4
2y
4
= x
4
+ 4x
3
2y + 6x
2
2y
2
+ 4x 2y
3
+ 2y
4
Page 10
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Örnek :
= 32x
5
– 80 x
4
y + 80x
3
y
2
- 40x
2
y
3
+ 10xy
4
– y
5
.
Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin
alındığına dikkat ediniz.
Örnek:
1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =1000
2
– 2
2
= 1000 000 – 4 = 999 996 .
Örnek :
47
2
= (50 – 3)
2
= 50
2
- 2.50.3 + 3
2
= 2500 - 300 + 9 =2209 ,
veya
47
2
= (40 + 7)
2
= 40
2
+ 2.40.7 +7
2
= 1600 + 560 + 49 = 2209 .
Örnek:
Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?
Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur.
Diğer taraftan (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
= (x
2
+ y
2
) + 2xy olduğundan
50
2
= (x
2
+ y
2
) + 2 . 481 olur. Buradan da x
2
+ y
2
= 50
2
- 962 = 2500 - 962 = 1538
bulunur.
Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının
olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca
şeklinde de gösterilir. Buna göre
dir. Özel olarak
alınır. Buna göre örneğin
dir.

2x - y
5
= 2x + -y
5
= 2x
5
+
5
1!
2x
4
-y +
5.4
2!
2x
3
-y
2
+
5.4.3
3!
2x
2
-y
3
+
5.4.3.2
4!
2x -y
4
+ -y
5
n n - 1 n - 2 ..... n - k + 1
1.2.3.4.....k
n
k
n
k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
1.2.3.4.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
k!
n
0
= 1
4
0
= 1,
4
1
=
4
1
= 4,
4
2
=
4.3
1.2
= 6,
4
3
=
4.3.2
1.2.3
= 4,
4
4
=
4.3.2.1
1.2.3.4
= 1

yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4..... n = n! , paydanın ise
(1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,
şu şekilde yazılabilir:
Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.
Örnek:
= x
7
+ 7x
6
y + 21x
5
y
2
+ 35x
4
y
3
+ 35x
3
y
4
+ 21x
2
y
5
+ 7xy
6
+ y
7
.
Örnek:
(x + y)
11
in Binom açılımında x
4
y
7
teriminin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Binom açılımında x
n-k
y
k
teriminin katsayısı
dır. Burada k nın y nin kuvveti
olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x
4
y
7
nin katsayısı
dır.
Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımlarıile bu açılımlardaki katsayılara
birlikte bir göz atalım.

n n - 1 ... n - k + 1
1.2.3.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k - 1
1.2.3.4.....k
.
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n
k
n
k
=
n !
k ! n - k !
, n ∈ IN , k ∈ IN
x + y
7
=
7
0
x
7
+
7
1
x
6
y +
7
2
x
5
y
2
+
7
3
x
4
y
3
+
7
4
x
3
y
4
+
7
5
x
2
y
5
+
7
6
xy
6
+
7
7
y
7
= x
7
+
7!
1!.6!
x
6
y +
7!
2!.5!
x
5
y
2
+
7!
3!.4!
x
4
y
3
+
7!
4!.3!
x
3
y
4
+
7!
5!.2!
x
2
y
5
+
7!
6!.1!
xy
6
+
7!
7!.0!
y
7
n
k
11
7
=
11!
7!.4!
= 330
x + y
n
=
n
0
x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n
2
x
n-2
y
2
+ .. +
n
k
x
n-k
y
k
+.. +
n
n
y
n
, n IN , k IN

(x + y) = x + y
1 1
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
1 2 1
(x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
1 3 3 1
(x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
1 4 6 4 1
(x + y)
5
= x
5
+ 5x
4
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
+ y
5
1 5 10 10 5
1
(x + y)
6
= x
6
+ 6x
5
y + 15x
4
y
2
+ 20x
3
y
3
+ 15x
2
y
4
+ 6xy
5
+ y
6
1 6 15 20 15 6 1
. . . . .
. . . . .
Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu
özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer
katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının
toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-
na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-
tir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan
kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-
daki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncısatırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-
tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu
katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-
dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci
kuvvetinin açılımındaki katsayılarıPascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-
vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi
gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir
özelliktir
9 Nisan 2010 20:34   |   Mesaj #3   |   
The Unique - avatarı
Üye
.
Alıntı
Keten Prenses adlı kullanıcıdan alıntı

Özdeşlikler ve Binom Açılımı
Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-
dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-
larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-
kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-
rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-
muştur. Dikdörtgenin alanının bulunmasıile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-
rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-
çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r
2
şeklinde ifade edebiliriz. Alan
formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin
"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne
kadar değişir?"
sorusuna kolayca cevap verebiliriz.

Kenar uzunluklarıx ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-
larının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-
lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdört-
genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,
bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-
sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer
kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.
Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.
Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Keli-
meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-
lay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-
ğiz.
Örneğin,
xy, πr
2
, 2x + 5 , 3x
2
- 4x +1,
şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-
ma, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi
işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-
lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken
veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp
gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x
2
- 4x +1 ifade-
sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)
2
- 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.
İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki
ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x
2
- 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci
ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,
(x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x
2
- 1
buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için
x
2
- 1 = (x - 1)(x + 1)
dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.
Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.
İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu
işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.

?
x
2
+ 1,
x + 1
x
2
+ 1
, 3x
2
- y
2
+ 2, x
2
+ y
3
3
,
1
2
gt
2

x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır.
Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.
(x + y)
2
= (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x
2
+ 2xy + y
2
olduğundan
dir.
x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-
rik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)
2
sayısını, bir kenar uzun-
luğu x + y olan bir karenin, x
2
ile y
2
yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y
olan karelerin alanlarıolarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-
daki şekilden kolayca görülebilir.
Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.
x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.
Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R
39
Her x , y IR için (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
2
y
x
x
y
x
y
y
x
xy
y
2
xy
x
2
Her x , y IR için (x - y)
2
= x
2
- 2xy + y
2
Page 6
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Bir diğer özdeşlik,
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-
terlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-
metrik olarak da görmek mümkündür.
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için
(x + y)
3
= (x + y)
2
(x + y) = (x
2
+ 2xy + y
2
)(x +y)

y
y
y
y
x
xy
xy
x - y
x - y
y
y
x
x
y
2
x
2
Şekil 2.1
Her x , y IR için x
2
- y
2
= (x - y) (x + y)
x
x - y
y
y
A
B
C
D
y
2
x - y
2
2
x
y
x - y
2
2
x + y
A
B
C
D
Şekil 2.2
Her x , y IR için (x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3

çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak
doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,
bulunur.
Her zaman karşımıza çıkan,
özdeşliklerini de unutmamalıyız.
Son iki eşitlikte sağtaraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-
nabilir. Bunlara benzer şekilde
(x + y)
4
= (x + y)( x + y)
3
= (x + y)(x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
)
= x
4
+3x
3
y +3x
2
y
2
+ xy
3
+ yx
3
+3x
2
y
2
+3xy
3
+ y
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
dır. O halde,
(x + y)
2
, (x + y)
3
, (x + y)
4
ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +
y)
n
nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,
şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.
Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denir
ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.
0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımınışöyle yazabi-
liriz.

Her x , y IR için (x - y)
3
= x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
Her x, y IR için (x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
x + y
n
= x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n n - 1
1.2
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
1.2.3
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
1.2.3...k
x
n-k
y
k
+ ... +
n n - 1 ...2.1
1.2.3...n
y
n
Her x , y IR için x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
- xy +y
2
)
Her x , y IR için x
3
- y
3
= (x - y)(x
2
+ xy +y
2
)

Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. For-
mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;
i) terim sayısı n + 1 dir,
ii) ilk terim x
n
dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer
birer artar ve son terim y
n
olur,
iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,
iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax
n-k
y
k
dır ve burada A kat-
sayısının payın den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-
dası ise k! dir.
Örnek:
= x
10
+ 10 x
9
y + 45 x
8
y
2
+ 120 x
7
y
3
+ 210 x
6
y
4
+ 252 x
5
y
5
+ 210 x
4
y
6
+ 120 x
3
y
7
+ 45 x
2
y
6
+10 x y
9
+ y
10
.
Örnek :
(2y)
2
= 2
2
y
2
= 4y
2
, (2y)
3
= 2
3
y
3
= 8y
3
, (2y)
4
=2
4
y
4
= 16y
4
olduğundan
(x + 2y)
4
= x
4
+ 8x
3
y + 24x
2
y
2
+ 32xy
3
+ 16y
4
dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-
kat ediniz.

x + y
n
= x
n
+
n
1!
x
n-1
y +
n n - 1
2!
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
3!
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
k!
x
n-k
y
k
+ ... + y
n
x + y
10
= x
10
+
10
1
x
9
y +
10.9
1.2
x
8
y
2
+
10.9.8
1.2.3
x
7
y
3
+
10.9.8.7
1.2.3.4
x
6
y
4
+
10.9.8.7.6
1.2.3.4.5
x
5
y
5
+
10.9.8.7.6.5
1.2.3.4.5.6
x
4
y
6
+
10.9.8.7.6.5.4
1.2.3.4.5.6.7
x
3
y
7
+
10.9.8.7.6.5.4.3
1.2.3.4.5.6.7.8
x
2
y
8
+
10.9.8.7.6.5.4.3.2
1.2.3.4.5.6.7.8.9
xy
9
+ y
10
x + 2y
4
= x
4
+
4
1
x
3
2y +
4.3
1.2
x
2
2y
2
+
4.3.2
1.2.3
x 2y
3
+
4.3.2.1
1.2.3.4
2y
4
= x
4
+ 4x
3
2y + 6x
2
2y
2
+ 4x 2y
3
+ 2y
4
Page 10
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Örnek :
= 32x
5
– 80 x
4
y + 80x
3
y
2
- 40x
2
y
3
+ 10xy
4
– y
5
.
Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin
alındığına dikkat ediniz.
Örnek:
1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =1000
2
– 2
2
= 1000 000 – 4 = 999 996 .
Örnek :
47
2
= (50 – 3)
2
= 50
2
- 2.50.3 + 3
2
= 2500 - 300 + 9 =2209 ,
veya
47
2
= (40 + 7)
2
= 40
2
+ 2.40.7 +7
2
= 1600 + 560 + 49 = 2209 .
Örnek:
Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?
Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur.
Diğer taraftan (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
= (x
2
+ y
2
) + 2xy olduğundan
50
2
= (x
2
+ y
2
) + 2 . 481 olur. Buradan da x
2
+ y
2
= 50
2
- 962 = 2500 - 962 = 1538
bulunur.
Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının
olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca
şeklinde de gösterilir. Buna göre
dir. Özel olarak
alınır. Buna göre örneğin
dir.

2x - y
5
= 2x + -y
5
= 2x
5
+
5
1!
2x
4
-y +
5.4
2!
2x
3
-y
2
+
5.4.3
3!
2x
2
-y
3
+
5.4.3.2
4!
2x -y
4
+ -y
5
n n - 1 n - 2 ..... n - k + 1
1.2.3.4.....k
n
k
n
k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
1.2.3.4.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
k!
n
0
= 1
4
0
= 1,
4
1
=
4
1
= 4,
4
2
=
4.3
1.2
= 6,
4
3
=
4.3.2
1.2.3
= 4,
4
4
=
4.3.2.1
1.2.3.4
= 1

yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4..... n = n! , paydanın ise
(1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,
şu şekilde yazılabilir:
Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.
Örnek:
= x
7
+ 7x
6
y + 21x
5
y
2
+ 35x
4
y
3
+ 35x
3
y
4
+ 21x
2
y
5
+ 7xy
6
+ y
7
.
Örnek:
(x + y)
11
in Binom açılımında x
4
y
7
teriminin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Binom açılımında x
n-k
y
k
teriminin katsayısı
dır. Burada k nın y nin kuvveti
olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x
4
y
7
nin katsayısı
dır.
Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımlarıile bu açılımlardaki katsayılara
birlikte bir göz atalım.

n n - 1 ... n - k + 1
1.2.3.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k - 1
1.2.3.4.....k
.
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n
k
n
k
=
n !
k ! n - k !
, n ∈ IN , k ∈ IN
x + y
7
=
7
0
x
7
+
7
1
x
6
y +
7
2
x
5
y
2
+
7
3
x
4
y
3
+
7
4
x
3
y
4
+
7
5
x
2
y
5
+
7
6
xy
6
+
7
7
y
7
= x
7
+
7!
1!.6!
x
6
y +
7!
2!.5!
x
5
y
2
+
7!
3!.4!
x
4
y
3
+
7!
4!.3!
x
3
y
4
+
7!
5!.2!
x
2
y
5
+
7!
6!.1!
xy
6
+
7!
7!.0!
y
7
n
k
11
7
=
11!
7!.4!
= 330
x + y
n
=
n
0
x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n
2
x
n-2
y
2
+ .. +
n
k
x
n-k
y
k
+.. +
n
n
y
n
, n IN , k IN

(x + y) = x + y
1 1
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
1 2 1
(x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
1 3 3 1
(x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
1 4 6 4 1
(x + y)
5
= x
5
+ 5x
4
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
+ y
5
1 5 10 10 5
1
(x + y)
6
= x
6
+ 6x
5
y + 15x
4
y
2
+ 20x
3
y
3
+ 15x
2
y
4
+ 6xy
5
+ y
6
1 6 15 20 15 6 1
. . . . .
. . . . .
Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu
özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer
katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının
toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-
na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-
tir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan
kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-
daki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncısatırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-
tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu
katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-
dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci
kuvvetinin açılımındaki katsayılarıPascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-
vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi
gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir
özelliktir

Alıntı
Ziyaretçi adlı kullanıcıdan alıntı

Özdeşlik kavramı nedir

Alıntı
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı

arkadaşlar özdeşlik hakkında hiç birşey bulamıyorum nedir ve örneklerle elinde tez olan varmı

Alıntı
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı

özdeşlik kavramı hakkında açıklama ve örneklerin verilmesi

Alıntı
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı

özdeşlik kavramı hakkında bilgi

Misafir
25 Nisan 2010 18:57   |   Mesaj #4   |   
Avatarı yok
Ziyaretçi
1-Özdeşlik nedir?
2-Bir ifadenin özdeşlik olup olmadıgına dair ornekler verınız.
3-önemli özdeşlikleri sırasıyla yazıp gunluk hayatta kullanımı ile ilgili ornekler verınız.

yardımcı olursanız sevınırım
Misafir
5 Nisan 2011 09:53   |   Mesaj #5   |   
Avatarı yok
Ziyaretçi
Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-
Sponsorlu Bağlantılar
dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-
larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-
kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-
rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-
muştur. Dikdörtgenin alanının bulunmasıile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-
rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-
çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r
2
şeklinde ifade edebiliriz. Alan
formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
yapma imkanı da sağlamaktadır.
Misafir
2 Aralık 2011 20:20   |   Mesaj #6   |   
Avatarı yok
Ziyaretçi
Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için doğrudur.Denklemler ise bazı gerçek sayı veya sayılar için doğrudur.
11 Aralık 2015 22:11   |   Mesaj #7   |   
Safi - avatarı
SMD MiSiM
ÖZDEŞLİK a Birbirine tıpatıp benzeyen iki ya da daha çok şey arasındaki ilişki.

—Ceb. ilginç özdeşlikler, ortaöğretimde kimi cebirsel formüllere verilen ad:
Sponsorlu Bağlantılar
(a + b)2 = a2+2ab + b2\
(a-b)2 = a2-2ab+b2,
(a2-id2) = (a-b)(a + b):
(a + b)3 = a3 +3a2b +3ab2 + b3,
(a-b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3; a3-b3 = (a-b)(a2 + ab+b2): a3 + td3 = (a + b)(a2-ai> + i>2).

—Küm. kur. Bir E kümesinin özdeşliği, E den E içine tanımlanmış her x elemanına, x elemanının kendisini eşlik ettiren uygulama. (Bu uygulama lE ile gösterilir.)

—Mant. ve Fels. Belirtme biçimi ve herhangi bir uzaysal-zamansal belirlenim bakımından farklı olmakla birlikte, tastamam aynı özellikleri gösteren iki ya da daha çok düşünce nesnesinin ayırtedici niteliği. (Bk. ansikl. böl.) || Özdeşlik ilkesi, bir şeyin tümüyle ve yalnız kendi kendisine eşit olduğunu olumlayan ilke ("A=A”).

—Psikan. Özdeşlik duygusu, D. Meltzer tarafından önerilen ve özdeşleşim kavramıyla kendinin duygusu kavramını kapsayan kavram. (Bk. ansikl. böl.)

—Topruhbil. Toplumsal özdeşlik, bireyin bir ya da birçok toplumsal gruba ve bir toprağa (ülke, kent, bölge, sokak, vb.) bağlılık bilinci ve bunun yol açtığı heyecansal ve değerlendirici anlam. (Bk. ansikl. böl.)

—Verg. huk. Özdeşlik kuramı, geçici bir süre için, gümrüksüz olarak dışalımı yapılan yabancı malların aynen ve yeniden dışsatımının yapılması gerektiğini ileri sûren kuram. (Özdeşlik kuramının karşıtı eşdeğerlilik kuramıdır. Buna göre, aynı maldan eşit bir miktarın dışalımı yeterlidir.)

—ANSİKL. Fels. Özdeşlik, aristotelesçi felsefenin bir kavramıdır. Özdeşliğin biçimsel koşullarının belirtilmesine dayanan mantıksal-matematiksel kullanımı dışında bu kavram, varlığın ve varoluşun felsefi bir tanımını ortaya koymaya da yarat Bu bakımdan Hegel, özdeşliği felsefenin önemli bir kavramı durumuna getiren son filozoflardan biridir. Ondan sonra Nietzsche, her türlü metafiziği reddettiği gibi, bu kavramı da reddetmiştir.
Hegel'de özdeşlik (identitât), farklılık ve çelişmeden önce, "özsellikler"in ya da "yansıma belirlenimleri"nin ilkini adlandırır. Hegel şöyle yazar: "Öz, kendinde görünür ya da salt yansımadır; aynı zamanda kendisiyle özdeşlik, yani yansımış bağıntı olarak [...] kendiyle bağıntıdır da” (Enzyklopâdie der Philosophischen Wis- senschaften im Grundrisse [Felsefi bilimler ansiklopedisi], 66). Bu "biçimsel özdeşlik” (ya da "anlık özdeşliği"), kendinde özdeşliktir; henüz belirlenmemiş bütünselliktir; bununla birlikte, "kendine yönelen olumsuzluk" olarak, “kendinden uzaklaşma edimi”dir de; "dolayısıyla özünde, farklılığın belirlenimini taşımaktadır" (ay. ypt., 67).
Özdeşlik, geleneksel metafizik kategorilerinden biridir. Nietzsche bu kategorilere, örneğin maddenin iki özdeş durumundan değil, ama yalnız iki "benzer" durumundan söz etmek gerektiğini ileri sürerek şiddetle karşı çıktı; ona göre özdeşlik liçbir zaman salt ve apaçık bir biçimde saptanmamış, ama her zaman basitleştir ne amacıyla kurulmuştu. Nietzsche şöyle der: “Bu durumların “özdeşliği”ni kulan biziz; gerçek olan onların özdeşliği değil, onları özdeşlik içine sokmamız, onları düzenlememiz olgusudur (aslında onların özdeşliğini yadsımak daha doğru olurdu)” [VVİlle zur Macht] (Güçlülük istenci).

—Mant. Özdeşlik, bir eşdeğerlik bağıntısıdır; çünkü yansımalı, geçişli ve bakışımlı bir nitelik taşır. Bu üç özellikten birincisi, özdeşliğin birinci belitinin içeriğini dile getirir: Vx(x = x) [her şey kendisiyle özdeştir]. Bazen özdeşlik ilkesi olarak da adlandırılan bu belit, daha çok “her A, A'dır" biçiminde dile getirilir Özdeşliği belirtmek için sık sık kullanılan ve özdeşlerin yerine konabilirliği ilkesi olarak adlandırılan öteki belit, VxVy(x=y -* y>(x)=y<y)) biçimindedir ve eğer iki şey özdeşseler, bunlardan biri için doğru olan, öteki için de doğru olur anlamına gelir. Bu iki belit göz önü ne alındığında, özdeşlik kavramının eşitlik kavramından güçlükle ayırt edilebileceği besbellidir.

—Psikan. D. Meltzer, özdeşlik duygusunun oluşumunu betimler. Bebek, bir noktaya, bir dış uyartıya takıldığı zaman, kendini, toparlamasını sağlayan duyum ve dış nesneyle birleşme, o nesneye yapışma, o nesne tarafından sımsıkı sarılma olanağı, bebeğe özdeşliğini duyuran ilk yaşantılardır. Daha sonra, ağırlık merkezi her zaman yer değiştiren özdeşlik duygusunun yansıtmalı ve içeatımlı biçimleri ortaya çıkar. Bir nesneyle içeatma yoluyla özdeşleşim yaşantısı, nesneye doğru bir atılımla birlikte bir kaygıya ve kendinden kuşkulanmalara da yol açar, bir nesneyle yansıtma yoluyla özdeşleşim deneyimiyse, nesneyle bir ve aynı şey olma izlenimini uyandırmakla birlikte, özdeşlik duygusundan ayrı tutulan klostrofobin ve kıyıcı boğuntularla birlikte ortaya çıkabilir.

—Topruhbil. Toplumsal özdeşlik. Toplumsal özdeşlik, genellikle kendi grubuna bağlılığı belirgin bir duruma getiren ve bireyde özdeşleşim süreçlerine doğrudan yol açan ilişki, yani bir başka grupla kurulan ilişki sırasında oluşur. Örneğin, çoğunluk grubunun kalıplarını benimseyerek kendilerini onlara göre tanımlayan azınlık gruplarının durumu, bu konuda, aşırı bir örnek olarak gösterilebilir.
Bir gruba bağlılık duygusu, bireyi genellikle öteki grupların bireylerine göre olan farklılıkları abartmaya ve aynı gruptan bireyler arasındaki farklılıkları küçültmeye yöneltir. Bu da grubun içinde (grup- içi) ve gruplar arasında (gruplararası), özgül bir dayranışa yol açar. Öyle ki, toplumsal bir kategoriye bağlılık duygusu, bireyde bu kategorinin kendine özgü bir davranışını yaratmaya yeter.


Kaynak: Büyük Larousse

Benzer Konular:

Daha fazla sonuç:
Özdeşlik nedir?

Hızlı Cevap
Mesaj:



Bu sayfalarımıza baktınız mı
Pixabay Resimleri:
paneli aç