Rasyonel ve irrasyonel sayılara örnekler verir misiniz? - Sayfa 2

Doğal sayılar kümesi : N = { 0,1,2,3,....}
Sayma sayılar kümesi : N+ = {1,2,3,...}
Tamsayılar kümesi : Z = { ...-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Rasyonel sayılar kümesi : Q = { a/b | a,b €Z ve b≠0 }
İrrasyonel sayılar kümesi : İki tamsayının oranı biçiminde yazılamayan sayılardan oluşur. π , √2 , e gibi. İrrasyonel sayılar kümesi I ile gösterilir.
Reel sayılar : Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların birleşimidir. R = Q U I
N C Z C Q C R

DOĞAL SAYILAR

Bir doğal sayının basamak değerlerinin açılımı : Sayının rakamlarının bulundukları basamakları ile çarpımlarının toplamıdır.(ab) iki basamaklı sayısının açılımı10a+b 'dir .(cba) üç basamaklı sayısının açılımı 100c+10b+a 'dır.
Örnek-1 :(ab) iki basamaklı sayısı ile bunun rakamlarının yer değiştirmesiyle elde edilen sayının toplamı 154 'tür. (ab) 'nin en büyük değeri nedir ?
Çözüm : 10a+b + 10b+a = 154 → 11a + 11b = 154 → 11(a+b) = 154 → a+b = 14 olur. a =9 ve b = 5 seçilirse (ab) 'nin en büyük değeri 95 olur.
Örnek-2 : abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc - cba = 693 olduğuna göre a . c 'nin alabileceği en büyük değer nedir ?
Çözüm : 100a + 10b + c - ( 100c + 10b + a ) = 99a - 99c olur. 99(a - c) =693 a-c = 7 olur. a = 9 ve c = 2 alınırsa a . c 'nin alabileceği en büyük değer 9 . 2 = 18 olur.
Bölünebilme kuralları :
2 ile bölünebilme : Sayının birler basamağındaki rakam çift ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ) olmalıdır.
3 ile bölünebilme : Sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 veya 3 'ün tam katı olmalıdır.
Örnek-1 : 5231a10872 sayısının 3 ile tam bölüne bilmesi için a yerine hangi rakamlar gelmelidir ?
Çözüm : 5+2+3+1+a+1+0+8+7+2 = 29+a a =1 , a = 4 veya a =7 olabilir.
Örnek-2 : 47 basamaklı 22222...2 sayısının 3 ile bölümünden kalan nedir ?
Çözüm : Rakamlar toplamı = 47 . 2 = 94 9+4 = 13 ( aynı kuralı tekrar tekrar uygulayabiliriz.) 1+3 = 4 4'ün 3 'e bölümünden kalan 1 dir O halde sonuç = 1
4 ile bölünebilme : Sayının son iki rakamının oluşturduğu sayı 4 ile tam bölünebilmelidir.
Örnek : 4557872 sayısı 4 ile tam bölünür. Çünkü 72 sayısı 4 ile tam bölünür.
5 ile bölünebilme : Sayının birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olmalıdır.
Örnek : 2254699 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4'tür. Çünkü 9 'un 5 ile bölümünden kalan 4'tür.
9 ile bölünebilme : Sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 veya 9 ' un tam katı olmalıdır.
Örnek : 155a977 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için a yerine hangi rakam gelmelidir ?
Çözüm : 1 + 5 + 5 + a + 9 +7 + 7 = 34 + a a = 2 olmalıdır.
11 ile bölünebilme : Sayının rakamları üzerine en küçük basamaktan itibaren sıra ile +,- işareti konur. + ile işaretlenenler kendi aralarında , - ile ,işaretlenenler kendi aralarında toplanır. Bulunan değerlerin farkı alınır. Sonuç 0 veya 11 'in tam katı ise sayı 11 ile tam bölünür.
Örnek : 8527963554 sayısı 11 ile bölünebilir. Çünkü 4+5+6+7+5 = 27 ve 5+3+9+2+8 = 27 olup 27 - 27 = 0
Farklı iki asal sayıya ayrı ayrı bölünebilen bir sayı bunların çarpımına da bölünür.
Örnek :66320789ab sayısı 45 ile tam bölünebilen bir tek sayıdır. Buna göre a = ? b = ?
Çözüm : Sayımız hem 9 ile hem 5 ile tam bölünebilir. 5 ile bölünebilme şartı , birler basamağındaki rakamın 0 veya 5 olmasıdır. Ancak sayımız tek olduğuna göre b =5 olmalıdır. Şimdi 9 ile bölünebilme kuralını uygulayalım. 6+6+3+2+0+7+8+9+a+5 = 46 +a Bu durumda a = 8 olmalıdır.

TEK SAYI VE ÇİFT SAYI İLE İLGİLİ KURALLAR

T + T = Ç T +Ç = Ç + T = T Ç + Ç = Ç Ç.T = T.Ç = Ç Ç - Ç = Ç T - Ç = T Ç - T = T T - T = Ç T / T = T Ç / T = Ç Tek sayının bütün doğal sayı kuvvetleri tektir. Çift sayıların sıfır hariç bütün doğal sayı kuvvetleri çifttir.

EN KÜÇÜK ORTAK KAT ( EKOK VEYA OKEK )

İki ya da daha fazla sayının hepsine bölünebilen en küçük doğal sayıya bu sayıların en küçük ortak katı denir EKOK veya OKEK sembolü ile gösterilir.
İki ya da daha fazla sayının EKOK ' unu bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpanların en büyük üslüsü ile ortak olmayan çarpanların hepsi alınarak çarpılır. Bulunan sonuç EKOK 'tur.
Örnek : Bir gemi İzmir limanına 15 günde bir , başka bir gemi 42 günde bir , diğer başka bir gemi ise 45 günde bir uğramaktadır. Bu üç gemi İzmir limanında biraraya geldikten en az kaç gün sonra tekrar biraraya gelirler ?
Çözüm : 15 = 3.5 42 = 2.3.7 ve 45 = 32.5 olup EKOK ( 15,42,45 ) = 32.5.2.7 = 630 gün sonra biraraya gelirler.

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN ( EBOB VEYA OBEB )

İki ya da daha fazla sayıyı bölebilen en küçük doğal sayıya bu doğal sayıların en küçük ortak böleni denir. EBOB veya OBEB sembolü ile gösterilir.
İki ya da daha fazla sayının EBOB'unu bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır.Ortak çarpanların en küçük üslüleri alınarak çarpılır. Bulunan sonuç EBOB'dur.
Örnek : Boyutları 24cm , 36cm , 48cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutunun içi , küp şeklindeki kutucuklarla doldurulacaktır. En az kaç kutucuk gerekir ?
Çözüm : Küpün bir kenarı = EBOB ( 24 , 36 , 48 ) 24 = 23 . 3 36 = 22 . 32 48 = 24 .3 EBOB = 22 . 3 = 12 Küp sayısı = Kutunun hacmi / küpün hacmi = 24 . 36 .48 / 12 . 12 . 12 = 24

DOĞAL SAYI PROBLEMLERİ

Örnek : a,b,c ardışık tek sayılar olmak şartıyla 2b-c /a = ?
Çözüm : a =5 , b = 7 , c =9 olsun 2.7 - 9 /5 = 1 olur.
Örnek : x bir doğal sayı olmak üzere 7x + 4 çift ise aşağıdakilerden hangisi tektir ?
a-) x +2 b-) x3 + 2 c-) 3x + 3 d-) x3 - x e-) x3 + x
Çözüm : 7x + 4 = Ç ise 7x = Ç - 4 7x = Ç olur. Bu durumda x çift olmak zorundadır.
a-) x + 2 = Ç + Ç = Ç
b-) x3 + 2 = Ç3 + Ç = Ç + Ç = Ç
c-) 3x + 3 = T.Ç + T = Ç + T = T
d-) x3 - x = Ç3 - Ç = Ç - Ç = Ç
e-) x3 + x = Ç3 + Ç = Ç + Ç = Ç
Cevap : c
Örnek :Her biri en az 6 basamaklı olan 5 tane sayının onlar basamakları 4 er artırılır , yüzler basamakları 5er artırılır , binler basamakları 1 er ve onbinler basamakları 1 er azaltılırsa bu sayıların toplamları kaç azalır ?
Çözüm : Her bir sayıda , büyük basamakta azalma olmasından dolayı azalma olur. Değişimleri bulmak için azalmalardan artmaları çıkaralım 1.10000 + 1.1000 - 5.100 - 4.10 = 10460 Her bir sayı 10460 azaldığına göre sayıların toplamı 5.10460 = 52300 azalma olur.
Örnek : Her biri üç basamaklı ve birbirinden farklı üç tek doğal sayının toplamı 1135 'tir. Bu sayıların en büyüğü en fazla kaç olabilir ?
Çözüm : Diğer iki sayıyı mümkün olduğunca küçük seçmemiz gerekir. 101 + 103 = 204 1135 - 204 = 831 olur.
Örnek : x ve y doğal sayılar olmak şartıyla x 2 - y 2 = 19 ise x 2 + y 2 kaçtır ?
Çözüm : x 2 - y 2 = ( x + y ) . ( x - y ) 19 asal olduğuna göre x + y = 19 ve x - y = 1 olur. Bu denklemlerden x = 10 ve y = 9 olur. x 2 + y 2 = 181 olur.

TAMSAYILAR

Tamsayılarda toplama ile ilgili kurallar :
1-) Pozitif iki tamsayıyı toplarken normal toplama yapılır. 5 + 3 = 8
2-) Negatif iki tamsayıyı toplarken sayı değerleri toplanır , sonucun önüne - işareti konur. -6 +( -9 ) = -15 -7 - 2 = -7 + ( -2 ) = -9
3-) Zıt işaretli iki tamsayıyı toplarken , sayı değeri büyük olandan küçük olanı çıkarıp , büyüğün işaretini veririz. -7 + 4 = -3 5 + ( -2 ) = -3
Pozitif ve negatif ikiden fazla tamsayının toplama işleminde , pozitifler kendi aralarında , negatifler kendi aralarında toplanır. Sonra , bulunan bu değerlere , zıt işaretli tam sayıları toplama kuralı uygulanır. -4 + 6 + (-2 ) +9 = 9
0 sayısı toplamanın etkisiz elemanıdır. Toplamları 0 olan iki sayı , birbirlerinin toplamaya göre tersidir. Sayı değeri aynı olup zıt işaretli olan sayılar birbirlerinin toplamaya göre tersidir. -8 ve 8 gibi -8 + 8 = 0
Tamsayılarda çıkarma ile ilgili kurallar : Eksilen aynen yazılır , çıkanın işareti değiştirilir ve işlem toplamaya dönüştürülür. Pozitif iki sayının çıkarmasında , büyükten küçük çıkarsa sonuç pozitif , küçükten büyük çıkarsa sonuç negatiftir.
Örnekler : 8 - ( -2 ) = 8 + 2 = 10 - 9 - 3 = -9 + (-3 ) = -12 -2 - ( -16 ) = -2 + 16 = 14 7 - 3 = 4 4 - 7 = -3
Tamsayılarda çarpma ve bölme ile ilgili kurallar : + . + = + +. - = -. + = - -.- = + + : + = + - : - = +
+ :- = - : + = - Sıfırın her sayıyla çarpımı sıfırdır(yutan eleman) 1 sayısı çarpmanın etkisiz elemanıdır. Sıfırın sıfır hariç herhangi bir sayıya bölümü sıfırdır. Herhangi bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Herhangi bir sayının1 'e bölümü , o sayının kendisidir.
(-3) .( -5) = 15 28 / (-4 ) = -7 2 . 3 = 6 (-3) . 9 = -27
Tamsayılarda dört işlem kuralları : Tamsayılarda ve bütün sayı kümelerinde dört işlemden bazılarını içeren bir ifadeyi hesaplarken , önce varsa köşeli parantez ve normal parantezlerdeki işlemler ; sonra çarpma ve bölmeler ; daha sonra toplama ve çıkarmalar yapılır.
Örnek : -8 . 5 + 9:3 = -40 + 3 = -37
Örnek : [14 - (2 + 10 : 2 ) : 7] . 3 = [ 14 - ( 2 + 5 ) : 7 ] . 3 = [ 14 - 7 : 7 ] . 3 = [ 14 - 1 ] . 3 = 13 . 3 = 39

REEL SAYILAR

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların birleşimine reel sayılar denir. Her reel sayının bir ondalık açılımı vardır.
Örnekler : √2 = 1 , 414213562... π = 3 , 14159.... 1/2 = 0 , 5 1/3 = 0 , 333...
Devirli olmayan ondalık açılımlar irrasyonel sayılara aittir. Devirli ondalık açılımlar ise rasyoneldir. √2 , π , doğal logaritma tabanı olan e gibi sayılar irrasyoneldir. Herhangi bir rasyonel sayının ondalık açılımı sonluysa , devreden rakamı sıfır kabul ederiz. Mesela 1/2 = 0 , 5 = 0 ,50000... gibi.
Herhangi bir rasyonel sayının ondalık açılımını bulmak için payı paydaya böleriz.
Örnekler : 21/4 = 5 , 25 8/7 = 1 , 142857142857..... = 1, 142857 Devreden rakam veya rakamların üzerine çizgi çizeriz.
1/3 = 0 ,3
Verilen devirli ondalık açılımları rasyonel sayıya çevirmek için :
1-) Varsa ondalık sayının tam kısmı , rasyonel sayıya tam kısım olarak yazılır
2-) Virgülden sonra bütün rakamlar devrediyorsa bu rakamlar paya yazılır. Paydaya ise devreden rakam sayısı kadar 9 yazılır.
Örnek : 8,6666.. = 8,6 = 8 6/9 = 78/9 0,32 = 32/99
3-) Virgülden sonra devretmeyen rakamlar varsa , bunların tamamının oluşturduğu sayıdan devretmeyen rakamların oluşturduğu sayı çıkarılarak paya yazılır. Paydaya ise devreden rakam sayısı kadar 9 , devretmeyen rakam sayısı kadar 0 yazılır.
Örnek : 0 , 1563 = 1563 - 15 / 9900 = 1548/9900 = 399/2475
Reel sayıların bazı alt kümeleri ( sayı aralıkları ):
1-) a , b , x € R ve a<b olmak üzere a<x<b şartını sağlayan x reel sayılarının kümesi ( a , b ) biçiminde yazılır ve a , b açık aralığı biçiminde okunur. Örneğin {x│ -2<x<9 ve x€R} sayı kümesi (-2 , 9 ) biçiminde yazılır.
2-) a , b , x € R ve a<b olmak üzere a≤x<b şartını sağlayan x reel sayılarının kümesi [ a , b ) biçiminde yazılır ve a kapalı b açık aralığı biçiminde okunur. Örneğin {x│ -2≤x<9 ve x€R} sayı kümesi [-2 , 9 ) biçiminde yazılır.
3-) a , b , x € R ve a<b olmak üzere a<x≤ b şartını sağlayan x reel sayılarının kümesi ( a , b ] biçiminde yazılır ve a açık , b kapalı aralığı biçiminde okunur. Örneğin {x│ -2<x≤9 ve x€R} sayı kümesi (-2 , 9 ] biçiminde yazılır.
4-) a , b , x € R ve a<b olmak üzere a≤x≤b şartını sağlayan x reel sayılarının kümesi [ a , b ] biçiminde yazılır ve a , b kapalı aralığı biçiminde okunur. Örneğin {x│ -2≤x≤9 ve x€R} sayı kümesi [ -2 , 9 ] biçiminde yazılır.

SAYILARDA SIRALAMA

1-) Negatif reel sayılar , pozitif reel sayılardan daima küçüktür
2-) Negatif sayıların çift kuvvetleri daima pozitif , tek kuvvetleri ise daima negatiftir. Pozitif sayıların ise bütün kuvvetleri daima pozitiftir.
3-) Herhangi bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitsizlik bozulmaz. a , b , c €R olmak üzere a<b ise a+c< b+c
4-) Herhangi bir eşitsizliğin her iki yanı aynı pozitif ayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizlik bozulmaz. a , b , €R ve c € R+ olmak üzere a<b ise a.c < b.c ve a/c < b/c
5-) Herhangi bir eşitsizliğin her iki yanı aynı negatif sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. a , b , €R ve c € R- olmak üzere a<b ise a.c > b.c ve a/c > b/c
6-) Herhangi iki eşitsizlik taraf tarafa toplanabilir veya çarpılabilir. Ancak taraf tarafa çarpmalarda , negatif sayılarla çarpmadan meydana gelecek yön değiştirmelere dikkat etmek gerekir.
7-) 0<x<1 ise x in pozitif tam kuvvetleri , x ten küçüktür ve kuvvet büyüdükçe değer küçülür 0,125<0,25<0,5 yani 0,53 <0,52 <0,5
-1<x<0 olmak üzere x'in tek kuvvetleri , x'in kendisinden büyüktür. -0,03125 > -0,125 > -0,5 yani (-0,5)5 >( -0,5)3 > -0,5
9-) x < -1 ise x in tek kuvvetleri x ten küçüktür. -8 < -2 yani (-2) 3 < -2

Örnek : a3 . b . │c│ <0 a. c >0 ve b2 . a < 0 ise a,b,c'nin işaretleri nedir?
Çözüm : b2 . a < 0 ifadesinde b2 daima pozitif olacağından a negatiftir. a.c>0 olduğuna göre c de negatiftir. a3 negatif , │c│ pozitif olduğundan b pozitiftir.
Örnek : a , b , c negatif sayılar ve 2a = 5b = 10c ise bu sayıların sıralaması nedir ?
Çözüm : a= -5 b = -2 ve c= -1 alırsak a<b<c olur.




King OF the Ring



elim acıdı bee.