Eşit vektörel nedir?

Vektör




Vektör veya yöney, sayısal büyüklüğü ve birimi yanında doğrultu ve yönü de olan cebirsel yapılardır. Hız, kuvvet, ivme, ağırlık ve benzerleri birer vektörel büyüklüktür. Vektörler bir sayı ile çarpılabilir ve bölünebilir. Vektörler yönü değiştirilmemek şartı ile ötelenebilir.



Tanım

Soyut olarak vektörler, bir F cisminin üzerine tanımlı bir vektör uzayının öğeleridir. Vektörler bu cisim üzerine tanımlanmış bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlanabilir. (n tane) olsun. a öğesi ile b öğesi, ancak bileşenlerin toplamı olarak a+d=b+c ise bağıntılıdır. Daha biçimsel olmak gerekirse
şeklinde tanımlanır ki burada 'ler a noktasının koordinatlarıdır ve + işlemi F cismine aittir.
Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde vektör, denklik sınıflarıdır. Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir vektör
olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir vektör,
şeklinde düşünülebilir.
Gösterim

Bir vektör çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti () ya da koyu harf () gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir.
Vektörün bileşenleriyle gösteriminde ise genellikle sıralı n-li kullanılır.
Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak) satır ya da sütun dizey gösterimi de yeğlenir.
ya da Yine yaygın gösterimlerden biri birim vektör gösterimidir.
ki burada
alınabilir.
Bir vektör
şeklinde düşünüldüğünde Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak
şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim, toplam simgesinden kurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.
Köken [değiştir]

İngilizce'de bu yapı için kullanılan sözcük vector dür. Kökeni, "taşımak"/"bir yöne aktarmak"/"göndermek" anlamına gelen "vehere" Latince fiil gövdesidir[1]. Sözcüğün anlamı "taşıyıcı"/"yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir ki Türkçe'de (büyük ihtimalle Fransızca'dan devşirilmiş olan) vektör karşılığından sonra yöney karşılığı kullanılmaktadır[2].
Vektör işlemleri

Eşitlik

Ancak vektörlerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki vektör eşittir.
Daha cebirsel olarak, iki vektör aynı denklik sınıfına aitse eşittir.
Vektör toplamı [değiştir]


İki vektörün toplamı üçüncü bir vektöre eşittir.
Skaler (sayıl) ile çarpma

Bir vektör uzayında, skaler ve vektörler arasında bir çarpma ve dağılma olması gerekir. r,s sayılları F cismine ait olsun. O halde , vektörleri için,

• Sayıl ile birleşme:
• Sayıl toplaması üzerine dağılma:
• Vektör toplamı üzerine dağılma:
• Sayıl birim öğe ile çarpma:

özellikleri sağlanır.
Genel olarak vektörle skalerle çarpması, vektörün her bileşeninin skaler ile çarpılmasıdır.
Nokta (sayıl) çarpım

İki vektör skaler çarpımla çarpılırsa bir vektör değil bir skaler (sayıl) elde edilir.
Vektörleri birim vektörlerle ifade edip, çarpımı birim vektörlerin çarpımından tanımlamak da mümkündür.
Eğer birim vektörler (i = 1, 2, ..., n) olarak gösterilirse (örneğin üç boyutta vs.),
Burada δij ifadesi, Kronecker delta fonksiyonudur ve i ile j eşitse 1, değilse 0 değerini alır. Örneğin;
olur. Bu durumda bir vektörün nokta çarpımı birim vektörlerin çarpımına indirgenmiş olur:
Ayrıca bu çarpımı dizeylerle de tanımlayabiliriz:
Çapraz (yönel) çarpım [değiştir]

Üç boyutlu iki vektörün çapraz çarpımı, bu iki vektörün tanımladığı düzleme dik üçüncü bir vektöre eşittir.

ki burada her iki vektöre dik olan birim vektördür. Ayrıca vektörler satır ya da sütün dizeyler (matris) olarak düşünüldüğünde bu çarpım aşağıdaki gibi tanımlanabiir:
Yönel çarpım determinant ile de tanımlanabilir:
Dikkat edilirse eğer vektörler paralelse olacağından çarpımın sonucu sıfır vektörüdür.
Doğrudan çarpım (tensör çarpımı)

İki vektörün doğrudan çarpımının sonucu ne bir vektördür ne bir skalerdir, bir ikiçtir (dyad).
Bu çarpıma, eğer vektörler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer vektöreri birim vektörlerle ifade edersek
şeklinde tanımlanan iki vektör için doğrudan çarpım
==++olarak elde edilir. Buradaki gibi birimler yeni birer birimdir, yâni başka bir cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden olarak tanımlandığında
=++elde edilir ki bu da dizey gösterimine tekâbül eder.


kaynak:tr.wikipedia.org