Arama

Navier-Stokes Denklemleri

Güncelleme: 22 Mayıs 2012 Gösterim: 3.920 Cevap: 0
ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
22 Mayıs 2012       Mesaj #1
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
Navier-Stokes Denklemleri
MsXLabs.org & Vikipedi, özgür ansiklopedi
Sponsorlu Bağlantılar

Navier-Stokes denklemleri, ismini Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes'tan almış olan, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır.
Bu denklemler; akışkan içerisindeki birim kütleye etki eden momentum (ivmelenme) değişimlerinin, basınç değişimleri ve sürtünme kayıplarına neden olan viskoz kuvvetlerin (sürtünmeye benzer) toplamına eşit olduğunun doğruluğunu ortaya koymaktadır. Bu viskoz kuvvetler moleküller arası etkileşimlerden meydana gelmekte ve akışkanın akmaya ne kadar dirençli (viskoz) olduğunu göstermektedir. Böylece, Navier-Stokes denklemlerinin, verilen akışkanın herhangi bir bölgesindeki kuvvetler dengesinin dinamik ifadesi olduğu söylenebilir.
Bu denklemler en kullanışlı denklemlerin başında gelmektedirler. Çünkü, gerek akademik gerekse ekonomik birçok fenomenin fiziğini açıklamaktadır. Hava akımları ve okyanus akıntılarının, boru içindeki su akışının, galaksideki yıldız hareketlerinin, kanat etrafındaki hava akımlarının modellenmesinde ve hesaplarında sıkça kullanılırlar.

1. Temel kabuller

Navier-Stokes denklemlerinin detayına girmeden önce, akışkanlar hakkında bazı kabuller yapılması gereklidir. Öncelikle akışkanın sürekli olduğu kabul edilir. Yani akışkanın tamamının aynı özellikte olduğu içinde farklı biçimler (formlar) bulunmadığı kabul edilir. Bir başka gerekli kabulde konu ile ilgili tüm alanların basınç, hız, yoğunluk, sıcaklık vs., diferansiyel olduğudur (faz değişimleri olmadan).
Denklemler, momentum ve enerji ve kütle korunumunun temel prensiplerinden elde edilir. Bunun için, bazı hallerde kontrol hacmi adı verilen, rastgele seçilmiş sonlu bir hacim belirlemek gereklidir, bu hacim üzerinde bu prensipler kolayca uygulanabilir. Bu sonlu hacim ile gösterilir ve yüzeyi sınırlandırılır ∂Ω. Kontrol hacmi, sabit kalabilir veya akışkan ile hareket edebilir. Temel kabuller bunlardır, bununla beraber, farklı uygulamalarda özel kabuller de yapılabilir.


2. Gerçek türev
Hareket eden akışkanın özelliklerinin değişiminin ölçülebilmesi için iki yol vardır. Örneğin dünya atmosferindeki rüzgar hızının değişimleri ele alınacak olursa; bu değişiklikler bir meteoroloji istasyonu ölçüm cihazı (anemometre) veya bir hava balonu yolu ile ölçülebilir. Şüphesiz, ilk durumdaki anemometre boşlukta sabit bir nokta boyunca geçiş yapan tüm hareketli parçacıkların hızını ölçerken, ikinci durumda bahsedilen aygıt akışkan ile beraber hareket ederken hızdaki değişimi ölçer.
Aynı durumda, yoğunluk, sıcaklık vb. değişimler de ölçümü etkileyecektir. Bu nedenle, bu iki hal için bir ayırım yapılmalıdır. Bir alanın boşluktaki sabit bir pozisyona göre türevi uzaysal (spatial) veya Euleryen türev (Eulerian derivative) olarak adlandırılır. Hareketli bir parçacığın izlenmesi türevi gerçek (substantive), Lagrangyan (Lagrangian) veya maddi (material) türev olarak adlandırılır.
Gerçek türev şu şekilde tanımlanır:
Ad:  ca05d26eef69b211191119b726641deb.png
Gösterim: 521
Boyut:  1.2 KB
Burada v akışkanın hızıdır. Denklemin sağ tarafındaki ilk terim alışılmış Euleryen türevi (sabit bir referans üzerindeki türev) iken, ikinci terim akışkan hareketi ile oluşan değişiklikleri ifade eder. Bu etki adveksiyon olarak adlandırılır.

3. Korunum kanunları
Navier-Stokes denklemleri, aşağıdaki korunum kanunlarından türetilir:
  • Kütle
  • Enerji
  • Momentum
  • Açısal momentum
Ek olarak, akışkan için bir durum denklemi bağıntısı kabulu yapılması gereklidir
En genel biçimde, bir korunum kanunu şunu ifade eder, bir kontrol hacmi üzerinde tanımlanmış hacim özelliği (bulk property) değişiminin oranı L hacim sınırları boyunca hareket eden akışkanın dışarı taşıdığı kayıp ve artı kontrol hacminin iç tarafındaki kazançlar ve kayıplara eşit kabul edilir. Bu, aşağıdaki integral denklemi ile ifade edilir:

Ad:  5b0a2a47dcf2f353e4fb91956620ebfa.png
Gösterim: 523
Boyut:  1.8 KB
Bu denklemde v akışkanın hızı ve Q akışkan içindeki kazançlar ve kayıplar olarak ifade edilir.
Eğer kontrol hacmi boşluk içinde sabitlenmiş ise bu integral denkleminden aşağıdaki şekilde bir ifade yazılabilir:

Ad:  bcd621e4a520f09e13a64d79b9858034.png
Gösterim: 530
Boyut:  1.8 KB
Ayrıca, kontrol hacminin içinde, bu son denklemde elde edilmiş olan sağ taraftaki ilk terimin ifade edilmesi için diverjans teoremi kullanılmıştır. Böylece:
Ad:  4a5575e0af51e1a697c834788879b6d3.png
Gösterim: 507
Boyut:  1.6 KB
Yukarıdaki ifade boşlukta sabit kalan bir kontrol hacminde için geçerlidir. Çünküzaman içinde sabittir, değişmez. Bu sayede "Ad:  89f074357e01c5d501c32eefb0e7444a.png
Gösterim: 516
Boyut:  322 Byte" ve "Ad:  92bbee21d7813f2f43a83186cb10e06b.png
Gösterim: 450
Boyut:  495 Byte" ifadeleri birbirinin yerine yazılabilir. Böylece ifade tüm alanlar için geçerli olur, ve integral çıkartılabilir.
Gerçek türev, Ad:  cd79ae9b3d9d9b6e92619593f504a922.png
Gösterim: 435
Boyut:  361 Byte olduğunda (kazanç ve kayıp yokken) elde edilir:
Ad:  b0bc2f687518076075eed893d604accc.png
Gösterim: 442
Boyut:  1.5 KB
3.1. Süreklilik denklemi
Kütlenin korunumu şu şekilde yazılır:
Ad:  b7818a1a1e8f52c078bcff5f5c0914e0.png
Gösterim: 467
Boyut:  932 Byte
Ad:  045136830c5bd764b7789ea8d26ebef8.png
Gösterim: 365
Boyut:  933 Byte
Ad:  7baf729c8656d4be40f9d671c9a10ad8.png
Gösterim: 474
Boyut:  816 Byte
Burada ρ kütle yoğunluğu (birim hacim başına kütle), v akışkanın hızıdır.
Sıkıştırılamaz bir akışkan için
ρ akış hattı boyunca değişmez ve denklem şu hale indirgenir:
Ad:  3830682162796d99cc20dfe137677691.png
Gösterim: 412
Boyut:  371 Byte
3.2. Momentumun korunumu
Momentumun korunumu, yoğunluk yerine momentumun vektör bileşenleri ve akışkan üzerine etkiyen kuvvetler ile, süreklilik denklemine benzer bir yaklaşım yapılarak ifade edilir. Süreklilik denkleminde
ρ yerine belirli bir yönde birim hacim başına net momentum yazılır. Ad:  5af6665e5142ab3e4f32cda9a85f6197.png
Gösterim: 464
Boyut:  278 Byte, burada Ad:  f0e66f55342ef85ba8be3415dd92d8e2.png
Gösterim: 451
Boyut:  219 Byte hızın Ad:  21479f1e549e1fcbde3442f4a1a4db21.png
Gösterim: 446
Boyut:  260 Byte bileşenidir (hız x, y veya z yönleri boyunca olmak üzere):
Ad:  9b661a1110fb967eeef0f9559b3d5d59.png
Gösterim: 438
Boyut:  1.2 KB
Ad:  32bc098db9b7e01b0a380637cd02ce71.png
Gösterim: 333
Boyut:  305 Byte, akışkan üzerine etkiyen kuvvetin Ad:  21479f1e549e1fcbde3442f4a1a4db21.png
Gösterim: 446
Boyut:  260 Byte bileşenidir (her birim hacim başına gerçek kuvvet). Genel kuvvetler yerçekimi ve basınç gradyenlerini kapsar. Bu şu şekilde de ifade edilebilir:
Ad:  945be497087089e4f24a8dc8621e59e1.png
Gösterim: 430
Boyut:  1.2 KB
Ayrıca, Ad:  800c7f2728c7a5d59f8bb680269173bb.png
Gösterim: 405
Boyut:  347 Byte bir tensor'dür, Ad:  e9dd9013ec300ceba41484dfc2c9a876.png
Gösterim: 432
Boyut:  217 Byte tensor çarpımını ifade eder.
Süreklilik denkleminin kullanımı daha da basitleştirilebilir ve şu hale gelir:
Ad:  624a1668b5873b88c6beb532fc9e5ef0.png
Gösterim: 418
Boyut:  653 Byte
Genel kullanımda aşağıdaki gibi de yazılabilir:
Ad:  89da89f8b4702fa7ffc4aae8f47d71b0.png
Gösterim: 454
Boyut:  588 Byte
Bu bağlamda F=ma ifadesi doğrulanmış olur.


4. Denklemler


4.1. Genel biçim

4.1.1. Denklemlerin elde edilişi

Momentumun korunumu için Navier-Stokes denklemlerinin genel biçimi:
Ad:  52d22ac3ad438a73b1b6f7b8fa0e2212.png
Gösterim: 471
Boyut:  822 Byte
Burada ρ akışkan yoğunluğu, v hız vektörü ve f kitle kuvvet vektörüdür.
Ad:  d1a5e9de4b79e82031748a012c72f55f.png
Gösterim: 444
Boyut:  192 Byte tensörü, akışkan parçacığı üzerine uygulanmış yüzey kuvvetleri olarak tanımlanır (gerilme tensörü). Akışkan girdap gibi bağımsız bir eğme bükme hareketi yapmadıkça, Ad:  d1a5e9de4b79e82031748a012c72f55f.png
Gösterim: 444
Boyut:  192 Byte simetrik bir tensördür. Genel olarak, biçim:

Ad:  9c392c6fd038341a730bf689b94a9864.png
Gösterim: 465
Boyut:  3.9 KB
Burada σ normal gerilmeler, τ teğetsel gerilmeler (kesme gerilmeleri) ve p gerilme tensörünün izotropik parçası ile birleştirilmiş statik basınçtır.
Ad:  551a2115bf2c5281e14ec0f3ec5e1b6b.png
Gösterim: 473
Boyut:  517 Byte
matris izi (İng. trace) akışkanın dengede olup, olmadığı mutlaka tanımlanması (hacim vizkozitesi (bulk viscosity) olmadıkça) ile daima -3p'dir.
Sonuç olarak:
Ad:  d07be42fe8696c6c6da4831575aefb0a.png
Gösterim: 439
Boyut:  991 Byte
Burada Ad:  836ed520aad5fa589d5a698dafbd40f7.png
Gösterim: 446
Boyut:  181 Byte, Ad:  d1a5e9de4b79e82031748a012c72f55f.png
Gösterim: 444
Boyut:  192 Byte'nin izsiz (traceless) parçasıdır.
Bu denklemler hala tamamlanmamıştır. Tamamlamak için, Ad:  d1a5e9de4b79e82031748a012c72f55f.png
Gösterim: 444
Boyut:  192 Byte'nin şekli üzerinde bir varsayım yapılmalıdır. Şöyle ki, gerilme tensörü için aşağıda gösterildiği gibi bir süreklilik kanununa ihtiyaç vardır.
Akış, sürekli ve diferansiyel kabul edilmiş ve korunum kanunları çerçevesinde kısmi diferansiyel denklemler ile ifade edilmiştir. Akışın sıkıştırılamaz (sabit yoğunluk) olduğu durumda, değişkenler, basınç ve hız bileşenleri için çözülmüştür. Bu değişkenler, Navier-Stokes denklemlerinin üç bileşeni, kütlenin korunumu (süreklilik denklemi) ilave edilerek, kapalı bir sistem için kısmi diferansiyel denklemler ile , sınır şartlarına uygun olarak çözülebilir. Sıkıştırılamaz akış durumunda, yoğunluk sistem için diğer bir bilinmeyen haline gelir, sistem için bir durum denklemi ilavesi ile saptanır. Durum denkleminde genelde akışkanın sıcaklığı işin içine girer, o yüzden denklem enerjinin korunumu için de mutlaka çözülmelidir. Bu denklemler non-lineer'dir (yani lineer değildir) ve kapalı formdaki analitik çözümleri sadece çok basit sınır şartları için bilinir.
Denklemler, akım ve girdap fonksiyonu ikinci değişkenleri için Wilkinson denklemlerine dönüştürülebilirdir. Çözüm akışkan özelliklerine (viskozite, özgül ısı ve ısıl iletkenlik gibi) ve çalışma alanındaki sınır şartlarına bağlıdır.


5. Denklemlerin özel formları

Denklem akışkanlarla ilgili problemlerin çözümü için, genel bazı durumlar için sadeleştirilip, genelleştirilerek kullanılabilir.

5.1. Newtonyen (Newtonian) akışkanlar

Burada ;
  • μ, akışkanın vizkozitesidir.
  • δij, ise Kronecker delta olarak adlandırılan matematik işlemini ifade eder (1 için i=j; 0 için i ≠ j).
Buradan denklemi türetebilmek için, öncelikle denge hali ifade edilir:
pij=-ij
Newtonyen bir akışkan için, bu denge değerinden gerilim tensörünün sapması, hızın gradyeni içinde lineerdir. Galile sabiti (Galilean covariance) nedeni ile açık şekilde hız üzerinde bağımlı değildir. Diğer bir ifade ile pij=-ij, ivj de lineerdir. Akışkanların dönme sabiti belirlenir (sıvı kristal (liquid crystal) olmayanlar). pij+ij izli ve izsiz simetrik tensörlerine ayrılır. Benzer olarak ivj izli, izsiz simetrik ve antisimetrik tensorlere ayrılır. Antisimetrik parça sıfıra gider, izli parça ve izsiz simetrik parçaya uygun iki katsayı vardır. ivj'nin izsiz simetrik parçası,
Ad:  a186b0fd6d58b919c638e88cd17bd724.png
Gösterim: 437
Boyut:  1.000 Byte'dir.
Burada d uzaysal ölçü sayısıdır ve izli parça δij∂kvk'dır. Bu nedenle, en genel lineer dönme sabiti şu şekilde verilir:
Ad:  57ae414bb3e79d9df7250faf543baaf7.png
Gösterim: 459
Boyut:  2.0 KB
μ ve μB bazı katsayılardır. μ kesme vizkozitesi (shear viscosity) ve μB hacim vizkozitesi (bulk viscosity) olarak adlandırılır. Bu ampirik (deneysel) bir incelemedir, hacim vizkozitesi çoğu akışkan için ihmal edilebilirdir, bu nedenle çoğu zaman ihmal edilir.
Denklem içinde −2/3 ile çarpım görünmesi bununla açıklanır. Bu çarpım, 1 veya 2 uzaysal boyut içinde değiştirilebilir:
Ad:  ba07a77d8c113a2f6459bad36e2aa112.png
Gösterim: 481
Boyut:  2.4 KB
Ad:  5b2acaff660d3cfc1a8ab8c57b44ffe4.png
Gösterim: 425
Boyut:  2.8 KB
Burada, Einstein notasyonu kullanılmıştır.
Tamamı için yazıldığında, bu karmaşık denklem şu hali alır:


Momentumun korunumu:

Navier-Stokes Denklemleri

Navier-Stokes Denklemleri

Navier-Stokes Denklemleri



Kütlenin korunumu:

Ad:  5d3b9cbdf6012b76d8cfe5390d02fe50.png
Gösterim: 457
Boyut:  1.6 KB
Yoğunluk bilinmediği zaman, diğer bir denklem gereklidir.

Enerjinin korunumu:


Navier-Stokes Denklemleri


Burada:

Navier-Stokes Denklemleri


Ф yüksek süpersonik ve hipersonik uçuşlar gibi sıradışı örnekler hariç, çoğunlukla ihmal edilebilirdir.
İdeal gaz kabul edilir:
Ad:  0762cb3b71e13e4560f45ff197492e7c.png
Gösterim: 422
Boyut:  628 Byte
Altı bilinmeyen (u, v, w, T, e ve ρ) ve altı denklemden oluşan yukarıdaki gibi bir çözüm sistemi elde edilmiş olur.


5.2. Bingham akışkanları

Bingham akışkanlarında, bazı yerlerde durum biraz daha farklıdır:
Ad:  3024030c97fbd681af1784b7ccb5d278.png
Gösterim: 477
Boyut:  1.1 KB
Bunlar, akış başlamadan önce bir miktar kesme dayanım kabiliyetleri olan akışkanlardır. Örnek olarak, diş macunu verilebilir.


5.3. Power-law Akışkanı (Power-law fluid)

Bu akışkan, kesme gerilimi için, ideal hal almış akışkandır,
τ şu şekilde verilir:
Ad:  33fc927f38c875439d414d4060f10ad7.png
Gösterim: 346
Boyut:  986 Byte
Bu form, hemen hemen genel akışkanların tüm çeşitlerine uygulanır.


5.4. Sıkıştırılamaz akışkanlar

Navier-Stokes denklemleri,
Ad:  b9dfd88c74532452f346f89f85825819.png
Gösterim: 453
Boyut:  2.3 KB
momentumun korunumu ve
Ad:  3830682162796d99cc20dfe137677691.png
Gösterim: 412
Boyut:  371 Byte
kütlenin korunumu için
Burada
  • ρ=yoğunluk,
  • ui= (i =1, 2, 3) hızın üç bileşeni,
  • fi= gövde kuvvetleri (yerçekimi gibi),
  • p= basınç,
  • μ= akışkanın o noktadaki dinamik vizkozitesi;
Ad:  eda875cc02660c8ca90262d96802bbc9.png
Gösterim: 463
Boyut:  1.4 KB
  • ∆= eii; diverjans
  • δij; Kronecker delta
Eğer, μ akışkan üzerinde eşit dağılmış ise, momentum denklemi üzerinde şu basitleştirmeler yapılır:
Ad:  422dbf953b934c0127317fe069215d90.png
Gösterim: 475
Boyut:  2.2 KB
(Eğer μ=0 fakat akışkan sıkıştırılabilir ise sonuçta Euler denklemleri olarak bilinen denklemler elde edilir; burada , önemli olan sıkıştırılabilir akış ve akış içindeki şok dalgalarıdır.)
Ek olarak, eğer
ρ sabit farzedilirse şu sistem elde edilir:
Ad:  c2f9904dfee1f919ab309d501faa0aeb.png
Gösterim: 420
Boyut:  3.0 KB
Ad:  d607f67c92fd292cfeb3837d49ccff4f.png
Gösterim: 444
Boyut:  3.1 KB
Ad:  9bcdb06f9f8ce8ae56920854a06a8928.png
Gösterim: 414
Boyut:  3.1 KB
Süreklilik denklemi (sıkıştırılamazlık kabulu ile):
Ad:  6c36c7f27234223d7e6ea7cc83d8f1bc.png
Gösterim: 448
Boyut:  1.1 KB


5.5. Silindirik koordinatlar

Navier-Stokes Süreklilik denklemi silindirik koordinatlar için şöyledir:
Ad:  84d829b5de4004946a10936525626c02.png
Gösterim: 453
Boyut:  1.1 KB=0
Silindirik koordinatlar için Navier-Stokes denklemleri de şu şekilde yazılır:

r momentum:
Ad:  93b2e81319edb5163cab8c18858cfb9e.png
Gösterim: 487
Boyut:  1.9 KB
Ad:  64bbcb98e003e806ff39a6757cc319a4.png
Gösterim: 425
Boyut:  2.6 KB
θ momentum:
Ad:  2f047ed7997a7816533a3dba8ee25fe5.png
Gösterim: 432
Boyut:  1.9 KB
Ad:  5203f42e42c05ab664b30421c5c25599.png
Gösterim: 441
Boyut:  2.8 KB
z momentum:
Ad:  ccff1006c0ac8805c26360ed077926a2.png
Gösterim: 455
Boyut:  1.8 KB
Ad:  d14d9e5f04e640c17867009ed7e68bba.png
Gösterim: 461
Boyut:  2.1 KB
Şunu ifade etmek gerekir ki, Navier-Stokes denklemleri akışkan akışını sadece yaklaşık olarak tanımlayabilir ve çok küçük ölçeklerde veya sıradışı şartlarda, gerçek akışkanlar diğer maddeleri ve molekülleri içeren karışımlardır, Navier-Stokes denklemleri ile homojen ve sürekli akışlar modellenmiş ve bunun üzerinden sonuçlar elde edilmiştir. Bununla beraber Navier-Stokes denklemleri pratikteki problemlerin çözümü için, geniş bir aralıkta faydalı olur.
Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!

Benzer Konular

27 Ekim 2018 / ThinkerBeLL Fizik
11 Ekim 2008 / Gabriella Taslak Konular
15 Ekim 2015 / ThinkerBeLL Bilim ww
14 Ekim 2015 / ThinkerBeLL Bilim ww
13 Kasım 2006 / kamyon Taslak Konular