Karmaşık Sayı

Karmaşık Sayılar - Gerçel Kısım



Matematikte, bir z karmaşık sayısının gerçel kısmı, z 'yi temsil eden gerçel sayıların sıralı çiftindeki ilk elemandır; yani z = (x,y) ise veya denk bir şekilde z = x + iy ise, o zaman z 'nin gerçel kısmı x 'tir. İngilizce karşılığından esinlenerek, Re{z} ile veya Fraktür yazıtipindeki büyük R kullanılarak, yani {z} ile gösterilir. z 'yi, z'nin gerçel kısmına gönderen karmaşık fonksiyon holomorfik değildir.
Karmaşık eşlenik kullanıldığında, z'nin gerçel kısmı ifadesine eşit olur.
Kutupsal biçim deki bir karmaşık z = (r,θ) sayısı için, kartezyen (dikdörtgensel)koordinatlar z = (rcosθ,rsinθ) veya dengi bir ifadeyle z = r(cosθ + isinθ) 'dır. Euler formülünden z = reiθ olduğu ve bu yüzden reiθ 'ın gerçel kısmının rcosθ olduğu ortaya çıkar.
Değişmeli akımlar veya elektromanyetik alanlar gibi gerçel periyodik fonksiyonların hesaplamaları bu fonksiyonları karmaşık fonksiyonların gerçel kısmı gibi yazarak basitleştirilebilir.
Benzer bir şekilde, trigonometri de genellikle sinüsoidleri karmaşık bir ifadenin gerçel kısmı yaparak ve değişiklikleri karmaşık ifade üzerinde gerçekleştirerek sadeleştirilebilir. Mesela:

Karmaşık Sayılar - Karmaşık Düzlem



Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir.[1] Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.[2]
Karmaşık düzleme bazen de Argand düzlemi denmektedir çünkü Argand diagramlarında kullanılmaktadır. Bu terimler ilk defa Norveçli-Danimarkalı kadastrocu ve matematikçi Caspar Wessel (1745-1818) tarafından kullanılmış olmasına rağmen, Jean-Robert Argand'ın (1768-1822) adıyla anılmaktadır. [3] Argand diagramları karmaşık düzlemdeki bir matematiksel fonksiyonun kutuplarını ve sıfırlarını çizmek için sık sık kullanılır.
Karmaşık düzlem kavramı karmaşık sayıların geometrik bir yorumuna da izin verir. Toplama altında, vektörler gibi davranırlar. İki karmaşık sayının çarpımı en kolay şekilde kutupsal koordinatlarda açıklanabilir – çarpımın büyüklüğü (veya modülüsü) iki mutlak değerin çarpımlarına eşittir ve çarpımın açısı (veya argumenti) iki açının veya iki argumentin toplamına eşittir. Özelde, modülüsü 1 olan bir karmaşık sayıyla çarpım rotasyon gibi davranır.


Gösterimsel uzlaşmalar

Karmaşık analizde karmaşık sayılar geleneksel olarak z ile gösterilirler. z 'nin kullanıldığı durumlarda ise w veya ω kullanılır. z sayısı, x ve y 'nin gerçel sayılar olduğu gerçel(x) ve sanal(y) kısımlarına
gibi ayrılabilir. Burada i sayısı sanal birimdir. Bu geleneksel gösterimde z karmaşık sayısı, kartezyen düzlemindeki (x, y) sayısına karşılık gelmektedir. Kartezyen düzleminde (x, y) ayrıca kutupsal koordinatlar kulllanılarak
olarak ifade edilebilir.
Kartezyen düzlemde arctanjant fonksiyonunun −π ile π (radyan cinsinden) arasında değer aldığı varsayılabilir ve x ≤ 0 olduğunda (x, y) noktaları için gerçel arctanjant fonksiyonunu tanımlamada dikkat edilmelidir. Karmaşık düzlemde bu kutupsal koordinatlar şu formu alırlar:
Bu denklemde,
eşitlikleri alınmıştır.[4]
|z| burada z 'nin mutlak değeri veya modülüsüdür; θ ise z 'nin argumentidir ve genelde 0 ≤ θ < 2π olacak şekilde alınır. Son eşitlik (|z|eiθ) ise Euler formülünden alınmıştır. z 'nin argumenti çok değişkenlidir çünkü karmaşık üstel fonksiyon periyodiktir (periyodu 2πi dir ). Bu yüzden, θ, arg(z) 'nin bir değeriyse, diğer değerler n 'nin sıfırdan farklı herhangi bir tamsayı olduğu arg(z) = θ + 2nπ ile verilir.[5]
Kontür integrali alma kuramı karmaşık analizin büyük bir kısmını oluşturur. Bu bağlamda kapalı eğri boyunca gidişin yönü önemlidir – integralin alındığı yönü tersi yöne çevirmek integrali −1 ile çarpmak demektir. Uzlaşma ise pozitif yönün saat yönünün tersi olduğudur. Mesela, birim çember üzerinde z = 1 noktasından başlayıp pozitif yönde gitmek şöyle olur: Başlangıçtaki z = 1 noktasından yukarıya ve sola z = i noktasına gidilir, sonra aşağıya ve sola −1 noktasına gidilir. Sonra aşağıya ve sağa gidilerek −i noktasından geçilerek en sonunda yukarıya ve sağa doğru yol takip edilir ve başlangıç noktası olan z = 1 noktasına ulaşılır.
Karmaşık analizin hemen hemen hepsi karmaşık fonksiyonlarla ilgilidir – yani karmaşık düzlemin bir altkümesini yine başka bir altkümesine (üstüste gelebilir veya aynı küme olabilir) gönderen fonksiyonlar. Burada f(z) fonksiyonunun tanım kümesinden bahsederken bir diğer uzlaşım ise tanım kümesinin olduğu düzlemi z-düzlemi olarak, görüntü kümesinin olduğu düzlemi ise w-düzlemi olarak anmaktır. Sembollere dökülürse,
olarak yazılır ve f, z-düzleminin ((x, y) koordinatlarıyla) w-düzlemine ((u, v) koordinatlarıyla) dönüşümü olarak düşünülür.

Stereografik izdüşümler

Bazen karmaşık düzlemi birim kürenin yüzeyini işgal ediyormuş gibi düşünmek de faydalıdır. Birim yarıçaplı küreyi ele alalım ve karmaşık düzlemi bu kürenin tam ortasına koyalım. Böylece, kürenin merkezi ile orijin yani z=0 noktası aynı olsun. Küre ile karmaşık düzlemin bu haldeki kesişimi düzlemdeki birim çember olacaktır.
Küre üzerindeki noktalarla karmaşık düzlemin noktaları arasında birebir örten bir ilişki kurulabilir. Düzlemde verilen bir nokta için, noktayı kürenin kuzey kutbuna bağlayan bir doğru çizelim. Bu doğru küreyi kesinlikle başka bir noktada daha kesecektir. z =0 noktası ise güney kutbuna izdüşürülsün. Birim çemberin içi kürenin içinde yer aldığı için (|z| < 1) tam bölgesi kürenin güney yarımküresine gönderilecektir. Birim çemberin (|z| = 1) kendi ise ekvatora ve birim çemberin dışı (|z| > 1) ise kuzey yarımküreye gönderilecektir. Bu prosedür tersine de çevrilebilir – küre yüzeyinde bir nokta verilmiş olsun ve bu nokta kuzey kutbundan hariç bir nokta olsun. O zaman, bu noktayı kuzey kutbuna bağlayan bir doğru çizebiliriz ve bu doğru da düzlemi kesinlikle bir kez keser.
Bu stereografik izdüşüm esnasında bir nokta – kuzey kutup noktası – karmaşık düzlemin bir noktasıyla eşlenmemiştir. Birebir örten ilişkiyi mükemmelleştirmek için küre yüzeyindeki kutup noktasına karşılık karmaşık düzleme sonsuzdaki nokta eklenir ve bu kutup noktası ile sonsuzdaki nokta birbirlerine eşlenir. Bu topolojik uzay, yani karmaşık düzlem artı sonsuzdaki nokta, genişletilmiş karmaşık düzlem olarak da bilinir. Bu da matematikçilerin karmaşık düzlem hakkında konuşurken neden tek bir "sonsuzdaki nokta" aldıklarını açıklar. Gerçel sayı doğrusunda negatif ve pozitif olmak üzere iki adet sonsuz varken, genişletilmiş karmaşık düzlemde sadece bir tane sonsuz vardır.[6]
Küredeki enlem ve boylam çizgilerinin küreden düzleme izdüşürüldüğünde neler olabileceğini düşünelim. Enlem doğrularının hepsi ekvatora paraleldir. Böylece hepsi z = 0 merkezli mükemmel birer çember olurlar. Boylam doğruları ise orijinden geçen (aynı zamanda sonsuzdan da geçen doğrular; çünkü güney ve kuzey kutuplarının her ikisinden geçerler) doğrular olacaktır.
Bu, bir kürenin bir düzlem üzerine olan tek stereografik izdüşümü değildir. Mesela, kürenin güney kutbu orijinin üstüne gelecek ve düzlem küreye teğet olacak şekilde koyulabilir. Detaylar çok da önemli değildir. Kürenin düzleme olan herhangi bir izdüşümü bir "sonsuzdaki nokta" yaratacaktır ve bu izdüşüm enlem ve boylam doğrularını düzlemde sırasıyla çemberlere ve doğrulara gönderecektir.

Düzlemi kesmek

Karmaşık değişkenli fonksiyonları tartışırken karmaşık düzlemin bir kesiğini düşünmek de genelde uygundur. Bu fikir doğal bir şekilde farklı bağlamlarda ortaya çıkmaktadır.

Çok değerli ilişkiler ve dallanma noktaları

İki değerli basit
ilişkisini göz önüne alalım. Bu ilişkiyi tek değerli bir fonksiyon olarak incelemeden önce, sonuç değerinin görüntüsü bir şekilde sınırlandırılmış olmalıdır. Gerçel sayıların karekökleriyle uğraşırken bu yapılan çok kolaydır. Mesela, y2 = x olacak şekilde
ifadesinde negatif olmayan bir y sayısı tanımlanabilir. Ancak, bu fikir iki boyutlu karmaşık düzlemde iyi bir fikir değildir. Neden olduğunu görmek için, z değeri birim çember üzerinde hareket ettikçe f(z)'nin değerinin nasıl değiştiğine bakalım.
ifadesini yazabiliriz.
Açık bir şekilde, z çemberin tümünü turladıkça, w sadece çemberin yarısını turlar. Böylelikle, karmaşık düzlemdeki sürekli bir hareket e0 = 1 pozitif karekökünü eiπ = −1 negatif kareköküne dönüştürmüştür.
Bu problemin çıkış nedeni z ≠ 0 olan her karmaşık sayının iki karekökü varken z = 0 'ın sadece bir karekökünün olmasıdır. Gerçel sayı doğrusu üzerinde bu problemden x = 0 noktasında bir bariyer dikerek kaçınabiliriz. Herhangi kapalı bir kontürü dallanma noktası z = 0'ı çevrelemekten korumak için, karmaşık düzlemde daha büyük bir bariyere ihtiyaç duyulur. Bu bariyer bir dallanma kesimi veya başka bir deyişle dallanma kesiği ile yapılır ve bu durumda "kesik" z = 0 noktasından pozitif gerçel eksen boyunca sonsuz noktasına kadar uzanır. Böylece, z 'nin kesik düzlemdeki argumenti 0 ≤ arg(z) < 2π aralığına sınırlandırılmış olur.
Şimdi w = z½ 'nin tam bir tanımını verebiliriz. Bunu yapmak içinse, her ikisi de gerçel eksen boyunca kesilmiş z-düzleminin iki kopyasına ihtiyaç duyulur. Bir kopya üzerinde, 1'in karekökünü e0 = 1 olarak tanımlarız ve diğerinde ise 1'in karekökünü eiπ = −1 olarak tanımlarız. Bu iki tam düzlem kesiğine ise yaprak denmektedir. Süreklilik tartışmasıyla, bu (şimdi tek değerli olan) w = z½ fonksiyonunun ilk yaprağı 0 ≤ arg(w) < π olacak şekilde w-düzleminin yukarı düzlemine gönderdiğini, ikinci yaprağı ise π ≤ arg(w) < 2π olacak şekilde w-düzleminin aşağı düzlemine gönderdiğini gözlemleyebiliriz.[7]
Bu örnekteki dallanma kesiği gerçel eksen boyunca uzanmak ve hatta doğru olmak zorunda bile değildir. z = 0 noktasını sonsuz noktasına bağlayan herhangi bir sürekli eğri işimizi görecektir. Bazı durumlarda, dallanma kesiği sonsuz noktasından geçmek zorunda bile değildir. Mesela,
ilişkisini ele alalım. Burada z2 − 1 polinomu z = ±1 değerlerinde 0 değerini alır ve böylece g 'nin açıkça iki dallanma noktası olur. Düzlemi gerçel eksen boyunca, −1 'den 1 'e kadar, "kesebiliriz" ve g(z) 'nin tekdeğerli olduğu bir yaprak elde edebiliriz. Alternatif bir kesim ise z = 1 noktasından sonsuz noktasına kadar pozitif gerçel eksen boyunca gidilip sonra bu sonsuz noktasından z = −1 noktasına negatif gerçel eksen boyunca gidilerek yapılabilir.
Bu durum en kolay biçimde yukarıda açıklanmış stereografik izdüşüm kullanılarak görülebilir. Küre üzerinde, bu kesiklerden birisi ekvatordaki bir noktayı (z = −1) ekvatordaki başka bir noktaya (z = 1) bağlayacak şekilde boylam boyunca güney yarımkürede yolunun üstündeki güney kutbundan (z = 0) geçecek şekilde hareket eder. Kesiğin ikincisi ise kuzey yarımkürede yine boylam şeklinde gider ve yine aynı ekvator noktasını kuzey kutbundan (yani sonsuzdaki noktadan) geçecek şekilde birleştirir.

Meromorfik fonksiyonların tanım kümelerinin sınırlandırılması

Bir meromorfik fonksiyon tanım kümesindeki sonlu veya sayılabilir sonsuz sayıdaki nokta dışında holomorfik ve bu yüzden de analitik olan karmaşık bir fonksiyondur.[8] Böyle bir fonksiyonun tanımlanamadığı noktalara meromorfik fonsiyonun kutupları denilir. Bazen bütün bu kutuplar bir doğru üzerinde yer alırlar. Bu durumda, matematikçiler fonksiyona "kesik düzlem üzerinde holomorfik" derler. Burada basit bir örneği var.
şeklinde tanımlanan gama fonksiyonunun (burada, γ, Euler-Mascheroni sabitidir) 0, −1, −2, −3, ... noktalarında basit kutupları vardır çünkü z sıfır olduğunda veya negatif bir tamsayı olduğunda, sonsuz çarpımdaki paydalardan kesinlikle birisi 0 olmaktadır.[9] Tüm kutupları negatif gerçel eksen üzerinde z = 0 'dan sonsuza kadar sıralandığı için, bu fonksiyon
"kesiği negatif gerçel eksen üzerinde z = 0 'dan sonsuza kadar uzanan kesik düzlem üzerinde holomorfik"
olarak tanımlanabilir.
Aynı zamanda, Γ(z) başka bir şekilde
"−π < arg(z) < π olan ve z = 0 'ı hariç tutan kesik düzlemde holomorfiktir."
şeklinde tanımlanabilir.
Bu kesik karşılaştığımız dallanma kesiğinden hafifçe farklıdır çünkü aslında kesik düzlemden negatif gerçel ekseni "hariç tutmaktadır". Dallanma kesiği gerçel ekseni bir tarafta (0 ≤ θ) kesik düzlemle bağlı tutarken, diğer tarafta (θ < 2π) kesik düzlemden ayırmıştır.

Aslında Γ(z)'nin holomorfik olduğu bir bölge yaratmak için, z = 0 'dan −∞ 'a uzanan tüm doğruyu kesmek gerekli değildir. Yapılması gereken tek şey, {0, −1, −2, −3, ...} sayılabilir sonsuz kümesini düzlemde delmektir. Ancak delikli bir düzlemde, kapalı bir kontür Γ(z)'nin kutup noktalarından birini ya da daha fazlasını çevreleyebilir ve bu da kalıntı teoremi ile sıfır olmayan bir kontür integrali verir. Karmaşık düzlem kesilerek Γ(z) 'nin holomorfik olduğu sınırlı bir bölge yaratılmakla kalınmaz aynı zamanda Γ 'nın kesik düzlemdeki herhangi bir kapalı kontür integrali de 0'a eşit yapılır. Bu, bazı matematik argümalarında önemli olabilir.

Yakınsaklık bölgelerinin ayrıntılı olarak belirlenmesi

Çoğu karmaşık fonksiyon sonsuz seriler veya sürekli kesirler ile tanımlanır. Bu sonsuz ifadelerin analizinin temelinde yatan düşünce, bu serilerin karmaşık düzlemde sonlu bir sayıya yakınsamaları için gerekli olan bölgeyi tanımlamaktır. Düzlemdeki bir kesik aşağıdaki örneklerde de görüldüğü gibi bu süreci kolaylaştırabilir:
sonsuz serisi tarafından tanımlanan fonksiyonu göz önüne alalım. Her karmaşık z sayısı için z2 = (−z)2 olduğu için, f(z), z 'nin çift fonksiyonu olacaktır. Böylece, analiz karmaşık düzlemin bir yarısında yeterli olacaktır. Seri
olduğunda tanımsız olduğu için, düzlem sanal eksen boyunca kesilir ve z 'nin gerçel kısmının 0 olmadığı yerde serinin yakınsaklığı kurulur. [10]
Bu örnekte, kesik sadece uygunluk içindir çünkü sonsuz toplamın tanımsız olduğu noktalar korunmuştur ve kesik düzlem daha uygun delikli bir düzlemle değiştirilebilir. Bazı bağlamlarda, kesik gereklidir ve sadece uygun değildir. Mesela, sonsuz periyodik sürekli kesir olarak tanımlı
ele alınsın. f(z) ancak ve ancak z, z < −¼ 'ü sağlayan negatif bir gerçel sayı olmadıkça sonlu bir sayıya yakınsar. Başka bir deyişle, bu sürekli kesir için yakınsaklık bölgesi kesiğin negatif gerçel eksen boyunca −¼ 'ten sonsuza kadar uzandığı kesik düzlemdir.[11]

Kesik düzlemi geri yapıştırmak

fonksiyonunun f 'nin tanım kümesini iki bağlantısız yaprağa bölerek nasıl tek değerli hale getirilebildiği yukarıda anlatılmıştı. Aynı zamanda, bu iki yaprağı tekrar "yapıştırıp", üzerinde f(z) = z½ fonksiyonun holomorfik olduğu ve fonksiyonun görüntüsünün (w = 0 noktası dışında) tüm w-düzlemi olduğu bir Riemann yüzeyi oluşturulabilir. Bu, şu şekilde yapılmaktadır:
Kesik karmaşık düzlemin iki kopyasını düşünelim. Kesikler ise gerçel sayı ekseninde z = 0 'dan sonsuz noktasına uzansın. Bir yaprağın üzerinde 0 ≤ arg(z) < 2π tanımlayalım; böylece tanım gereği 1½ = e0 = 1 olsun. İkinci yaprak üzerinde 2π ≤ arg(z) < 4π tanımlayalım; böylece yine tanım gereği 1½ = eiπ = −1 olsun. Şimdi ikinci yaprağı yukarıdan aşağıya çevirelim böylece sanal eksen ilk yaprağın sanal eksenin tersini göstersin ve gerçel eksenler de aynı yönü göstersin. Şimdi iki yaprağı "yapıştıralım" (böylece "θ = 0" etiketli birinci yaprağın üzerindeki kenar, ikinci yaprağın "θ < 4π" etiketli kenarına bağlı olsun ve ikinci yaprağın üzerindeki "θ = 2π" etiketli kenar birinci yaprağın üzerindeki "θ < 2π" etiketli kenara bağlı olsun. Sonuçta, üzerinde f(z)= z½ 'nin tek değerli ve holomorfik olduğu (z = 0 hariç) Riemann yüzey bölgesi elde edilir. [7]
f 'nin bu bölge üzerinde neden tek değerli olduğunu anlamak için, birim çember etrafında ilk yaprak üzerinde z = 1 'den başlayan bir döngü ele alalım. 0 ≤ θ < 2π olduğunda hala ilk yaprakta oluruz. θ = 2π olduğunda ikinci yaprağa geçeriz ve iki yaprağı birleştirdiğimiz ve bu yüzden başlangıç noktasında θ = 4π θ = 0 'a denk olduğu, z = 0 dallanma noktası etrafında ikinci bir döngü yapmak zorundayız. Başka bir deyişle, dallanma noktası etrafında z iki tam tur yaptıkça, z 'nin w-düzlemindeki görüntüsü sadece bir tur çemberi dolaşır.
Türevin formel tanımı
olduğunu gösterir. Bundan, f 'nin türevinin var olduğunu ve türevin Riemann yüzeyi üzerindeki z = 0 dışında her yerde sonlu olduğunu çıkarabiliriz (yani, f, z = 0 dışında holomorfiktir).
Yukarıda tartışılan
fonksiyonu Riemann yüzeyi için oluşturulabilir? Yeniden, z-düzleminin iki kopyasıyla başlarız; ancak bu sefer her birisi gerçel doğru parçası boyunca, z = −1 'den z = 1 'e, kesilir – bunlar g(z) 'nin iki dallanma noktası olur. Bunlardan birisini yine yukarıdan aşağıya çeviririz ve böylece sanal eksenler ters yönlü olurlar. İki yaprağın karşılık gelen kenarları tekrar birleştirilir. g 'nin bu yüzey üzerinde tek değerli olduğu z = 1 merkezli birim yarıçaplı bir çember üzerinde döngü yapılarak doğrulanabilir. Birinci yapraktaki z = 2 noktasından başlanır ve z = 0 'daki kesikle karşılaşmadan çember etrafında yarım dönülür. Bu kesik bizi ikinci yaprağa gitmeye zorlar böylece z, z = 1 dallanma noktası etrafında bir tam döngü, w ise bir yarım döngü yapmıştır. w 'nun işareti terse döndürülmüştür (eiπ = −1 olduğundan) ve yolumuz bizi yüzeyin ikinci yaprağındaki z = 2 noktasına götürmüştür. Başka bir yarım tur daha yaptığımızda, z = 0 olduğu kesiğin diğer tarafıyla karşılaşırız ve son olarak başlangıç noktamıza ( birinci yapraktaki z = 2 noktasına) dallanma noktasının etrafında iki tam döngü yaptıktan sonra ulaşırız.
Bu örnekte θ = arg(z) 'yi etiketlemenin doğal bir yolu birinci yaprakta −π < θ ≤ π, ikinci yaprakta π < θ ≤ 3π almaktır. İki yapraktaki sanal eksenler ters yönde hareket ederler böylece saat yönünün tersi anlamındaki pozitif rotasyon, kapalı bir kontür bir yapraktan diğerine geçerken, korunur (ikinci yaprak yukarıdan aşağıyadır). Bu yüzey üç boyutlu uzayda yaprakları xy-düzlemine paralel olacak şekilde gömülsün. O zaman yüzey içinde iki kesiğin birleştiği dikey bir delik oluşacaktır. Peki kesikler negatif eksen boyunca z = −1 'den sonsuza ve pozitif eksen boyunca z = 1 'den sonsuza ta ki kesikler birleşinceye kadar yapılırsa ne olur? Yine bir Riemann yüzeyi elde edilir ancak bu sefer "delik" yatay olur. Topolojik olarak bu iki Riemann yüzeyi birbirine denktir – ikisi de cinsi 1 olan yönlendirilebilir iki boyutlu yüzeylerdir.

Karmaşık düzlemin kontrol teorisinde kullanımı

Kontrol teorisinde, karmaşık düzlemin bir kullanımı ise 's-düzlemi'dir. Bir sistemin davranışını açıklayan denklemin (karakter denklemi) köklerini grafiksel olarak görüntülemek için kullanılır. Denklem normalde Laplace dönüşümünün parametresi olan 's' değişkenli bir polinom olarak ifade edilir. 's'-düzlemi denmesinin nedeni de budur.
Karmaşık düzlemin bir başka kullanımı ise Nyquizt durağanlık kriteriyle olmaktadır.
'z-düzlemi', s-düzleminin Laplace dönüşümü yerine z-dönüşümünün kullanıldığı bir ayrık-zaman versiyonudur.

"Karmaşık düzlem"in diğer anlamları

Bu maddenin önceki bölümleri karmaşık düzleme karmaşık sayıların geometrik bir analoğu olarak davranmıştır. "Karmaşık düzlem"in bu tür kullanımı uzun ve matematiksel olarak zengin bir tarihe sahipse de, "karmaşık düzlem"in matematiksel kavram olarak kullanıldığı tek alan bu değildir. İhtimal dahilinde en az üç farklı anlam daha var:

1. Ayrılmış-karmaşık düzlem olarak da bilinen 1+1 boyutlu Minkowski uzayı da, kartezyen düzlemdeki (x, y) noktasıyla kolaylıkla bağdaştırılabilen iki gerçel bileşene sahip cebirsel ayrılmış-karmaşık sayılar bağlamında bir "karmaşık düzlem"dir.
2. Gerçeller üzerindeki dual sayılar kümesi de kartezyen düzlemin (x, y) noktaları ile birebir ve örten olarak değiştirilebilir ve "karmaşık düzlem"in bir diğer örneğini temsil eder.
3. Karmaşık sayıların kendileriyle kartezyen çarpımı olan C×C vektör uzayı da koordinatları karmaşık sayılar olan iki boyutlu vektör uzayı bağlamında bir "karmaşık düzlem"dir.

Karmaşık Sayılar - Sanal Kısım



Matematikte, bir z karmaşık sayısının sanal kısmı, z 'yi temsil eden gerçel sayıların sıralı çiftindeki ikinci elemandır; yani z = (x,y) ise veya denk bir şekilde z = x + iy ise, o zaman z 'nin sanal kısmı y 'dir. İngilizce karşılığından esinlenerek, Im{z} ile veya Fraktür yazıtipindeki büyük I kullanılarak, yani {z} ile gösterilir. z 'yi, z'nin sanal kısmına gönderen karmaşık fonksiyon holomorfik değildir.
Karmaşık eşlenik kullanıldığında, z'nin gerçel kısmı ifadesine eşit olur.
Kutupsal biçim deki bir karmaşık z = (r,θ) sayısı için, kartezyen (dikdörtgensel)koordinatlar z = (rcosθ,rsinθ) veya dengi bir ifadeyle z = r(cosθ + isinθ) 'dır. Euler formülünden z = reiθ olduğu ve bu yüzden reiθ 'ın sanal kısmının rsinθ olduğu ortaya çıkar.
Elektrik gücünde, sinüs dalgası voltajı bir "doğrusal" yük (başka bir deyişle, akımı da bir sinüs dalgası yapan yük) taşıdığında , güç tellerindeki I akımı I = x + jy ile temsil edilir (mühendisler aynı zamanda elektrik akımını da simgeleyen i yerine sanal birim olarak j harfini kullanırlar). "Gerçel akım" x, voltaj maksimum olduğundaki akım ile ilişkindir. Gerçel akım ile voltajın çarpımı yük tarafından tüketilen esas gücü verir (genelde çoğu güç ısı olarak harcanır). "Sanal akım" y ise voltaj sıfır olduğundaki akım ile ilişkindir. Tamamen sanal akıma sahip (kapasitör veya indüktör gibi) bir yük hiç güç harcamaz, sadece gücü geçici bir şekilde kabul eder ve daha sonra gücü güç tellerine iter.

ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 Þ x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

A. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi Cile gösterilir.
C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.
( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.


B. İ ‘NİN KUVVETLERİ

iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i,i4 = 1, i5 = i, ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Buna göre , n Î N olmak üzere,

i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.

Örnek:


( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,

(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }





Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.

Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 Þ a = 5
2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir.

Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.


Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a – 2 = 0 Þ a =2,
a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.

D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
_
2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.

Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

Çözüm:
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

3a – 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve
-3b = -2 Þ b = 2/3 tür.

O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.

E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

1) Toplama - Çıkarma

Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).

Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
Þ
Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )


Örnek:

Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,

Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 – 7i

Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
= ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
= -6 – 13i

2) Çarpma:

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.


= a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )

= ac – bd + ( ad + bc )i

Z1 . Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 . Z1 = ( a + bi).( a – bi ) Þ Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.

Örnek:
Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
a) Z1 . Z2
_
b) Z1 . Z1

a) Z1 . Z2 =( 2 – i ) .( 3 + 2i)


= 6 + 4i – 3i – 2i2
= 6 – 2.( -1 ) + ( 4 – 3)i
= 8 + i dir.

b) Z1 . Z1 = ( 2 – i ).( 2 + i )
= 22 – i2
= 4 – ( -1)
= 5 tir.

c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 2.3.2i + (2i)2
= 9 + 12i – 4
=5 + 12i dir.

Örnek:

( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,
( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,
( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210

3) Bölme:

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.

Z1 a + bi ( a + bi ).( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i
¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
Z2 c + di ( c + di ).( c – di ) c2 + d2


Örnek:

Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun.

Z1 4 – 3i ( 4 – 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
¾¾ = ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = 2 + i dir.
Z2 1 – 2i ( 1 – 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5

Not:

1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,
çarpma işlemine göre tersi,

1 1 a – bi
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ dir.
Z a + bi a2 + b2

_ _
2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
¾¾¾¾ = ¾¾¾¾
Z3 z3

Örnek:

3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.

Çözüm:

3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,

1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25




Örnek:

1 + 2i 1 – 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 – i 1 + i

Çözüm:

1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 – 2i ).( 1 – i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 – i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2

( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0.i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
2 2


Örnek:

1 – i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 + i


Çözüm:

1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
1 + i 12 + 12 2 1 + i



F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ GÖRÜNTÜSÜ


1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.

2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.

3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.

Örnek:

Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,

1) Karmaşık düzlemde
2) Vektör uzayında gösterelim.

Çözüm:

G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y


noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
½z½
mutlak değeri ( modülü ) denir ve ½Z½ şeklinde gösterilir. x
a



Z = a + bi Þ ½Z½= Ö a2 + b2 dir.

Örnek:

Z = 5 + 12i
karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.

/01/clip_image029.gif[/IMG]Çözüm:
12 Z = 5 + 12i
Z = 5 + 12i Þ ½Z½


½Z½ = Ö 52 + 122
= 13 tür. 0
5
Örnek:

Z = ( a + 2 ) + 3i
½Z½ = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:
­­­­­­­­­­____________
½Z½= 5 Þ Ö( a + 2 )2 + 32 = 5 Þ ( a + 2 )2 + 32 = 52 Þ ( a + 2 )2 = 16

olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.

]a + 2 = 4 Þ a = 2 veya
a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
a + 2 = -4 Þ a = -6 dır.



H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

_ _ _

1) ½Z½= ½-Z½=½ Z½=½-Z½=½i.Z½=½-i.Z½=...


2) ½Z1.Z2½= ½Z1½.½Z2½

3) Z1 ½Z1½
¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)
Z2 ½Z2½


4) ½Zn½ = ½Z½n
_
5) Z . Z = ½Z½2

6) ½½Z1½ - ½Z2½½ < ½Z1 ± Z2½ < ½Z1½ + ½Z2½

Örnek:
3 – 3i
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ½Z½ = ?
1 + i


Çözüm:


1 + i sayısının mutlak değeri, Ö12 + 12 = Ö2 dir. O halde,

½3 – 3i½ 3Ö2
½Z½ = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.

½1 + i½ Ö2


Örnek:

i2 = -1 olmak üzere,

Z1 = 2 + ni

Z2 = 1 + 2i
_______
½Z1 + Z2½ = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?

Çözüm:

Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
______
Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir.

½Z1 + Z2½ = 5 Þ Ö 32 + (n + 2)2 = 5 Þ 32 + (n + 2)2 = 52 Þ (n + 2)2 = 42 olduğundan,

n + 2 = 4 Þ n = 2 veya
n + 2 = -4 Þ n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.
Örnek:

i2 = -1 olmak üzere ,

1 - xi
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ½Z10½=?
1 + xi
Çözüm:

½Z10½ = ½Z½10 dur.

1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan ½1 - xi½ = ½1 + xi½ dir. Buna göre,

½1 - xi½
½Z½ = ¾¾¾ = 1 ve ½Z½10 =110 = 1 dir.
½1 + xi½


1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,

2) ½Z – Z0½ = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.


Örnek:

A = Z : ½Z – 4 – 3i½ = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.

Çözüm:


Z = x + yi olsun, y


3
½ x + yi – 4 – 3i½= 2
Ö (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x
4
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur.

Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir.