Arama

Cauchy Dağılımı

Güncelleme: 15 Mart 2009 Gösterim: 2.682 Cevap: 0
HipHopRocK - avatarı
HipHopRocK
Ziyaretçi
15 Mart 2009       Mesaj #1
HipHopRocK - avatarı
Ziyaretçi
Cauchy Dağılımı

Sponsorlu Bağlantılar
Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Cauchy-Lorentz dağılımı bir sürekli olasılık dağılımı olup, bu dağılımı ilk ortaya atan Augustin Cauchy ve Hendrik Lorentz anısına adlandırılmıştır. Matematik istatistikçiler genel olarak Cauchy dağılımı adını tercih edip kullanmaktadırlar; ama fizikçiler arasında Lorentz dağılımı veya bir Lorentz(yen) fonksiyonveya Breit-Wigner dağılımı olarak bilinip kullanılmaktadır. Fizik biliminde Cauchy-Lorentz dağılımının onemle kullanıldığı alanların bazıları şöyle anılabilir: Zorlanan rezonans fenomenini açıklayan deferensiyel eşitliğine çözüm sağlaması; spektroskopi alanında bir doğruşekil ile ayırım gösteren frekans aralığında aynı şekilde tüm atomlar birbirleriyle karşılıklı etkilemekteyken homojen genişlemeye tabi olamaları sonucu ortaya çıkan spektral doğrularının şeklinin tanımlanması; ve birçok mekanizmanın (özellikle çarpışmadan genişlemede) homojen genişleme göstermesinin açıklanması.

Karakterizasyon

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Cauchy dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:

c963d5240e57e4b0a2f14e7c93b9a223

Burada x0 dağılımın doruğunu tanımlayan konum parametresi ve γ ise yarı-maksimumda yarı-genişliği tanımlayan ölçek parametresidir.
Lorentziyen fonksiyonun genliği şöyle verilir:

02743804abda7f69539a3438a2a1babd

Fizikte üç parametreli Lorentziyen fonksiyon çok kere şu türde verilir:

fb47fd14b6002cf097d3d99a9c49469e

Burada I doruktaki yüksekliktir.
x0 = 0 ve γ = 1 olduğu zamanki özel hale standart Cauchy dağılımı adı verilir ve bunun olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

3f633b544c30394c3315b0bcc8952a7c

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

d5a3a40f13d9d3c19b8e68d01988dc81

Cauchy dağılımı için ters yığmalı dağılım fonksiyonu şu olur:

c5b4a1412d33021a4bdff66d7beaa79f

Özellikleri

Cauchy dağılımı, tanımlanan hiçbir ortalaması, varyansı veya daha yüksek derecede momenti olmayan bir dağılıma örnektir. Mod değeri ve medyan değeri çok kesinlikle tanımlanmıştır ve her ikisi de x0a eşittirler.
Eğer U ve V iki tane bağımsız 0 beklenen değerli ve 1e eşit varyanslı normal dağılım gösteren rassal değişkenlerse, U/V oranı standart Cauchy dağılımı gösterir.
Eğer X1, …, Xn her biri bir standart Cauchy dağılımı gösteren bağımsız ama aynı dağılımlı rassal değişkenlerse, örneklem aritmetik ortalaması yani
(X1 + … + Xn)/n ifadesi de aynı dağılımı gösterir (Uçsal değerlerden etkilenmeyen örneklem medyani merkezsel konum ölçüsü olarak kullanılır.) Bunun doğru olduğunu isbatlamak için örneklem ortalamasının karakteristik fonksiyonu şöyle hesaplanabilir:

0475867fd7be8e35646ed92a78ef2d98

Burada a6e4e8639d2e624fd2d30a0829c27c5b örneklem ortalamasıdır. Bu örneğin göstermektedir ki merkezsel limit teoremini daha basitleştirmek için kabul edilmesi gereken sonlu varyans hipotezinin bir kenara birakilması uygun değildir . Bu sonuç, aynı zamanda Cauchy dağılımının özel bir hali olduğu Levy çarpık alfa-durağan dağılımları için de geçerli olan merkezsel limit teoreminin alışılmış olandan daha genelleştirilmiş bir şekline bir örnek sağlamaktadır.
Cauchy dağılımı bir sonsuza kadar bölünebilir olasılık dağılıma örnektir. Ayrıca kesinlikle dengelilik gösteren bir dağılımdir.
Standart Cauchy dağılımı 1 serbestlik derecesi bulunan Student'in t-dağılımı ile aynidir.
Cauchy dağılımının ait olduğu konum-ölçek ailesi tipte dağılımlara lineer kesirsel dönüşümler altında kapalı olma karekterini taşırlar.

Karakteristik fonksiyon

X Cauchy dağılım gösteren bir rassal değişken olsun. Cauchy dağılımı için karakteristik fonksiyon şöyle verilir:

41a7bbc43e1b3810d75b0a9f2deaa8c8

Neden ortalama tanımlanmaz?

Eger bir olasılık dağılımı f(x) ile ifade edilen bir olasilik yogunluk fonksiyonu] gosteriyorsa, ortalama veya beklenen değeri sudur:

6b6f2e99b9a22b837bddb3c419a77c91

Burada sorun bunun su ifade ile ayni olup olmadigidir:

1bcd951fc857dcc193aea35df54e4ec9

Verilen (2) ifadesinin en çok bir terimi sonsuz ise bu iki ifade birbirine aynıdır. Fakat Cauchy dağılımı halinde (2) ifadesi için (sırayla pozitif ve negatif olan) her iki terim de sonsuzdur. Bu demektir ki (2) tanımlanamamaktadır. Ayrıca eğer (1) bir Lebesque entegrali olarak kabul edilirse, bu halde (1) de tanımlanamamaktdır; çünkü o zaman (1) ifadesinin (")nin pozitif ve negatif terimleri arasındaki fark olduğu görülür. Buna karşılık (1) ifadesi bir bir Lebesque entegrali olacak yerde bir has olmayan entegral olarak kabul edilirse, o halde (1)'in mutlaka her zaman iyi-tanımlanma karekteri bulunmayacaktır ama zaten (2) tanımlanamaktadır. O zaman (1) ifadesi şöyle yazilabilir:

64d4ec62d2f7cf8bc05b0298ac9b9556

ve bu sıfıra eşit olan Cauchy ana değeridir. Fakat (1) ifadesi değişik şekilde şöyle de yazılabilir:

4b62c768106f2faf36b36b5bcb395b07

Bu integral hesaplanınca açıkca görülür ki bu sıfır değerde değildir.
Beklenen değer için olasılık kuramında ortaya çıkarılan çeşitli sonuçlar (örneğin güçlü büyük sayılar yasası), beklenen değeri bulunmayan Cauchy dağılımı için uygun olmamaktadır.

Neden ikinci moment sonsuzdur?

Ortalama anlamsiz oldugu icin bir standart Cauchy dagilimi icin varyans veya [standart sapma]] kavramlari da anlamsizdir. Ancak ortalam etrafinda ikinic momentin ele alinmasi imkân dahilindedir. Su ifadeye gore

3662186990b95038f00f020bb5982041

gorulmektededir ki Cauchy dagilim icin ortalama etrafindaki ikinci moment sonsuzdur.

İlişkili dağılımlar
  • İki bağımsız standart normal dağılım gösteren rassal değişşkenin birbirine oranı bir standart Cauchy dağılımı gösterir. Cauchy dağılımının bir oran dağılımı olduğu böylece açığa çıkar.
  • Standart Cauchy dağılımı, yani Cauchy(0,1) 1 serbestlik derecesi gösteren Student'in t dağılımına eşit olup Student'in t-dağılımınınn bir özel halidir.
  • Levy çarpık alfa-durağan dağılım ile ilişki şöyle verilir: Eğer X˜Levy − SαS(1,0,γ,μ) ise, o halde X˜Cauchy(μ,γ). olur.
Relativistik Breit-Wigner dağılımı

Nukleer fizikte ve parçacık fiziğinde, bir rezonansin enerji profili relativistik Breit-Wigner dağılımı ile belirtilir.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu


325px Cauchy distribution pdf

Yeşil çizgi standart Cauchy fonksiyonunu gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

325px Cauchy distribution cdf

Renkler yukarıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu eğrilerinin aynıdır




Benzer Konular

14 Ekim 2015 / Mystic@L Bilim ww
17 Mart 2009 / HipHopRocK Matematik
15 Mart 2009 / HipHopRocK Matematik
14 Mart 2009 / HipHopRocK Matematik
27 Mart 2010 / _KleopatrA_ Matematik