Beta Dağılımı

Beta Olasılık yoğunluk fonksiyonu



Yığmalı dağılım fonksiyonu

Mod burada α > 1,β > 1

Varyans

Çarpıklık

Moment üreten fonksiyon (mf)


Karakteristik fonksiyon

Tipik karakteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Beta dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:





Burada Γ bir gamma fonksiyonudur. Beta fonksiyonu, B, toplam olasılık integralinin daima bire eşit olmasını sağlamak için gerekli normalleştirme sabitidir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:



Burada Bx(α,β) bir tamamlanmamış beta fonksiyonu and Ix(α,β) ise tanzim edilmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu olurlar.

Özellikler

Momentler

Bir α ve β parametreli beta dağılımlı rassal değişken olan X için beklenen değer ve varyans formülleri şöyle verilir:



Çarpıklık şöyle ifade edilir:



Fazladan basıklık şudur:



Enformasyon miktarları

İki beta dağılımı gösteren rassal değişken X ~ Beta(α, β) ve Y ~ Beta(α', β') olsun. X için enformasyon entropisi değeri şudur:



Burada ψ bir digamma fonksiyonu olur.

Çapraz entropi şudur:


Bundan çıkarılır ki bu iki beta dağılımı arasındaki Kullback-Leibler ayrılması şöyledir:


Şekiller

Beta olasılık yoğunluk fonksiyonu iki parametrenin aldığı değişik değere göre değişik şekiller gösterir.

• U-şekilli (kırmızı çizgi)

• veya kesinlikle düşüş gösterir(mavi çizgi)
  • kesinlikle konveks
  • bir doğrudur
  • kesinlike konkav
• tekdüze dağılım
• veya kesinlikle artış gösterir (yeşil çizgi)
  • kesinlikle konvekstir
  • bir doğrudur
  • kesinlikle konkavdır
• tek modludur (mor ve siyah çizgiler)

Bunların yanında, eğer α = β ise yoğunluk fonksiyonu 1/2 etrafında simetriktir (kırmızı ve mor çizgiler).

Parametre kestirimi



ifadesi örnek ortalamasi ve



ifadesi örnek varyansı olarak alınsın. Kestrim değeri bulmak için kullanılan momentler-yöntemi kurallarına göre bu parametrelerin kestirimleri sırasıyla şu ifadelerle gösterilir:



Eğer dağılım geçerliliği 0 ve 1 aralığından başka bir aralık için isteniyorsa, diyelim ile aralığında, o zaman terimi verilen denklemlerde

and with terimi ile değiştirlmesi gerekir. [1].

İlişkili dağılımlar

• Binom dağılımı ile ilişki aşağıda belirtilmiştir.

• Beta(1,1) standard bir sürekli tekdüze dağılım ile aynıdır.

• Eğer X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak Gamma dağılımı gösteriyorlarsa yani X Gamma(α, θ) ve Y Gamma(β, θ) ise, o zaman

X / (X + Y) ifadesinin dağılımı Beta(α,β) olur.

• Eğer X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak biri Beta dağılımı ve diğeri 2β ve 2α serbestlik dereceleri ile Snedor'un F-dağılımı gösteriyorlarsa, yani X Beta (α,β) ve Y 'F(2β,2α) ise; o halde

Pr(X ≤ α/(α+xβ)) = Pr(Y > x) butun x > 0 için.

• Beta dağılımı sadece iki paramatresi olan bir Dirichlet dağılıminin özel halidir.

• Kumaraswamy dağılımi beta dağılımına benzerlik gösterir.

• Eğer ifadesi bir tekdüze dağılım gösteriyorsa, o halde

veya Beta dağılımının özel bir hali olan 4 parametreli güç-fonksiyonu dağılımı için

olur.

• Subjektif mantik konusunda ele alınan binom kanıları matematiksel olarak Beta dağılımı ile aynıdırlar .

Uygulamalar

B(i, j) tamsayı değerli i ve j için, 0 ve 1 aralığında tekdüze dağılım gösteren i+j-1 sayıda bağımsız rassal değişkenden oluşan bir örneklem içindeki sayıların (en küçükten en büyüğe doğru) sıralanması sonucu elde edilen sıralama içinde (i-1)inci sırada olan değerin dağılımını gösterir. Bu halde 0 ve x aralığı içinde yığmalı olasılık (i)inci en küçük değerin xden daha küçük olmasının olasılığını gösterir. Diğer bir şekilde ifade ile, bu yığmalı olasılık ortada bulunan rassal değişkenlerden en aşağı i tanesinin xden daha küçük değer göstermesi olayının olasılığıdır. Bu olasılık p parametreli bir binom dağılımının x'e toplanması ile elde edilir. Bu beta dağılımı ile binom dağılımı arasındaki yakın ilişkiyi açıkca gösterir.
Beta dağılımları Bayes tipi istatistik içinde çok geniş uygulama göstermektedir. Beta dağılımları (Bernoulli dahil) binom ve geometrik dağılımlar için bir sıra eşlenik-önseller sağlamaktadır. Beta(0,0) dağılımı uygunsuz önsel olduğu için birçok kere parametre değerlerinin bilinmezliğini temsil için kullanılmaktadır.
Beta dağılımı, özellikte endüstriyel mühendislik ve yöneylem araştırması bilim alanlarında, belirli bir minimum değer ile belirli bir maksimum değer aralığı içinde sınırlanmş olayların ortaya çıkması şeklindeki pratik sorunların modellenmesi için kullanılır. Özellikle CPM tipi proje idaresi ve kontrolu kuramında, beta dağılımı ve üçgensel dağılım ile birlikte özellikle olasılık gösteren aktivite uzunluklarının tahmini için kullanılmaktadır. Proje idare ve kontrolu için çok kere kısa olarak yapılan hesaplarda, belli bir aktivite uzunluğu için Beta dağılımlarının ortalama ve varyans değerleri şu şekilde kullanılır:



Burada a minimum değer, c maksimum değer ve b en mümkün olabilir değerdir.