Markov Zinciri ;
Bir olasılık uzayı ve olmak üzere, fonksiyonu her Borel kümesi için özelliğine sahip olduğunda fonksiyonuna bir stokastik süreç denir ( kümesi reel sayılardaki Borel cebirinin T kümesine kısıtlaması ve kümesi yi kapsayan en küçük sigma cebirdir). T kümesine stokastik sürecin indis kümesi denir. İndis kümesi olarak, herhangi bir küme (üzerinde sigma cebir tanımlı bir küme, ölçülebilir bir uzay) alınabilir. T kümesi genellikle zamanı (sürekli veya kesikli olarak) indislemektedir ve veya dır.
stokastik süreci her değerinde,şeklinde bir rasgele değişkendir. Belli her için fonksiyonu t ‘nin reel değerli bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonun grafiğine stokastik sürecin bir yörüngesi denir. Bir stokastik süreç kısaca biçiminde gösterilir.
olduğunda stokastik sürecini, gösterimi altında, rasgele değişkenlerin bir dizisi olarak ele alabiliriz.
Tanım
: dizisindeki rasgele değişkenlerin değerler aldığı küme sonlu veya sayılabilir sonsuz ve her için oluyorsa sürecine Markov zinciri denir.
E kümesi dizisindeki rasgele değişkenlerin alabileceği değerlerin kümesi, yani olup, stokastik sürecin durum uzayıdır. Rasgele değişkenler, olgular üzerinde “ölçme” ‘yi anlatmada kullanılan birer matematiksel araçtır. Ölçme sınıflama düzeyinde yapıldığında, rasgele değişken kategorilerin basit bir sayısal kodlamasıdır. Örneğin, bir torbada kâğıt parçalarına yazılı A,C,G,T harfleri bulunsun. Rasgele bir kâğıt parçası çekilmesi ve üzerindeki harfin gözlenmesi (kategorik düzeyde bir ölçme yapılması) deneyinde örnek uzay dır. olarak tanımlanan rasgele değişkeni deney sonuçlarının basit bir kodlamasıdır. Kümesi rasgele değişkeninin aldığı değerlerin kümesi olmak üzere, karışıklığa yol açmadığı takdirde ile kümelerini birbirinin yerine kullanacağız. Torbadan arda arda çekilişler yapıldığında,ile
1 , 1 , 1 , 4 , 4 , 4 , 2 , 3 , 3 , 3 , 2 , 2
gösterimleri birbirinin yerini tutacaktır. Bazen “ rasgele değişkeninin aldığı değer 1” yerine “ rasgele değişkeninin aldığı değer A” da diyeceğiz. Kısaca, karışıklığa yol açmadığı takdirde durum uzayı ( E ) olarak örnek uzayın kendisini alacağız.
Bir Markov zinciri için, olasılıklarına bir adım geçiş olasılıkları ve için matrislerine bir adım geçiş olasılıkları matrisleri denir. ‘ın dağılımı ve için matrisleri bilindiğinde süreç ile ilgili olasılık hesapları yapılabilir. geçiş olasılıkları zamandan bağımsız, yani zamana göre değişmiyorsa Markov zincirine homojen Markov zinciri denir. Durum uzayı sonlu, elemanlı olan homojen Markov zincirinin bir adım geçiş olasılıkları matrisi,olmak üzere, ‘ın olasılık dağılımı (aldığı değerlerin olasılıkları),vektörü olduğunda, ‘nin olasılık dağılımı (vektörü)dır. ‘nin olasılık vektörü, ise ‘nin olasılık vektörüdür.
Aşağıdaki Markov zincirlerinde indis olarak t yerine n harfini kullanacağız. Durum uzayı, E={A,C,G,T} olan bir Markov zincirinin bir adım geçiş olasılıkları matrisi,olsun. Bu Markov zincirindeki geçiş olasılıkları şematik olarak aşağıdaki gibi gösterilir.
Durum uzayı, E={A,C,G,T} olan bir Markov zincirinde A’dan sonra A %32, C %18, G %23, T %27 olasılıkları, C den sonra A %37, C %23, G %05, T %35 olasılıkları, G den sonra A %30, C %21, G %25, T %24 olasılıkları ve T den sonra A %23, C %19, G %25, T %33 olasılıkları ile gelsin. Bu Markov zincirinin bir adım geçiş olasılıkları matrisi,
P=[.32 .18 .23 .27
.37 .23 .05 .35
.30 .21 .25 .24
.23 .19 .25 .33]dır.
Durumlar 1,2,3,4 rakamlari ile kodlansın. Aşağıdaki Matlab programı ile bu geçiş olasılıklarına dayalı Markov zincirinin simülasyonu yapılabilir.
clear all;close all
P=[.32 .18 .23 .27
.37 .23 .05 .35
.30 .21 .25 .24
.23 .19 .25 .33]
nn=size(P,1); Durum=1
for n=1:50
i=Durum; a=rand(1,1); Durum=1;
for j=1: (nn-1)
if a>sum(P(i,1:j))
Durum=j+1;
end; end
zincir(n)=Durum;end zincir
Bu program ile üretilen bir dizi parçası aşağıdaki gibidir.
1 1 3 3 4 2 2 4 1 1 3 3 1 2 1 2 4 3 4 4 3 1 3 2 4
4 4 2 1 4 2 3 3 4 2 1 4 4 4 3 1 3 4 2 2 4 3 1 1 2
Bu Markov zinciri gözlendiğinde hep 1 ile, yani A ile başlamaktadır. Simülasyon yaptıkça, yani yukarıdaki dizi parçası gibi dizi parçaları üretildiğinde farklı dizilimler ortaya çıkacaktır. Son rakamın 2 çıkması olasılığı nedir? Son rakam, 1 durumu ile başlayan Markov zincirinin 49. adımında ortaya çıkmaktadır. ‘un olasılık dağılımı (vektörü),dır.
Matlab’da
>>P=[.32 .18 .23 .27
.37 .23 .05 .35
.30 .21 .25 .24
.23 .19 .25 .33]
>> P^49
ans =
0.29908 0.19906 0.20421 0.29766
0.29908 0.19906 0.20421 0.29766
0.29908 0.19906 0.20421 0.29766
0.29908 0.19906 0.20421 0.29766
olup, ‘un olasılık dağılımı,
A C G T
0.29908 0.19906 0.20421 0.29766
dır.
Markov Zinciri
