Çember ve Daire

Çember

Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesi.

Sabit noktaya "merkez", eşit uzaklığı ifade eden ve negatif olmayan gerçek sayıya "yarıçap" denir. Çember, düzgün kapalı bir eğridir. Çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru parçası "kiriş", merkezden geçen kiriş ise "çap" adını alır. Çemberin düzleminde bulunup da çemberle arakesiti yalnızca bir noktadan oluşan doğruya "teğet", ortak noktaya "teğetin değme noktası" denir. Bir çemberin herhangi bir teğetinin değme noktasıyla merkezinin belirttiği doğru, teğete diktir. Düzlemde bir doğruya aynı noktada teğet çemberlere, doğrunun aynı ya da ayrı tarafında bulunmalarına göre, içten ya da dıştan teğet çemberler denir. Köşesi bir çemberin merkezinde olan açı, "merkez açı" adını alır. Çemberin bir küçük yayının ölçüsü, bu yayı gören merkez açının ölçüsüne eşittir. Çemberin analitik incelenmesinde merkezinin koordinatlarıyla (a,b) yarıçapını (r) bilmek yeterlidir. Bu durumda çemberin denklemi (x-a)2+(y-b)2=r2 biçimindedir. Genel olarak, A2+B2-4C> O oldukça x2+y2 + Ax+By+C = O denklemi bir çemberi gösterir. Çemberin merkezi, koordinat sisteminin başlangıcıyla çakışsa (merkezil çember), denklem x2+y2=r2 biçimini alır. Bu durumda, çembere, üzerindeki bir (xo,yo) noktasından çizilen teğetin denklemi xxo+yyo=r2'dir. Teğete değme noktasında dik doğrunun (normalin) denklemiyse xyo-yxo=O biçimindedir. Örneğin x2+y2=1 birim çemberinde (1,1) noktasındaki teğetin denklemi x+y=1, normalin denklemiyse x-y=O'dur.

Bir çember

• m = merkez
• d = çap
• r = yarıçap

Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir ve düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerini bir çember belirtir. Bu sabit noktaya çemberin merkezi, eşit uzaklıkların her birine de yarıçap denir.

Düzlemde sabit bir "O" noktasından, sabit bir "r" uzaklığında bulunan noktaların tümünün kümesine çember denir.

• "O" noktasına merkez,
• "O" noktasını çemberin herhangi bir noktasına birleştiren doğru parçasına yarıçap,
• Çemberin herhangi iki noktasını birlerştiren doğru parçasına kiriş,
• Merkezden geçen kirişe çap,
• Çemberi farklı iki noktadan kesen doğruya kesen,
• Bir noktada kesen doğruya teğet denir.

Analitik geometride çemberin denklemi x-y koordinat sisteminde şu biçimde yazılabilir:

Eğer çemberin merkezi koordinat sistemi içinde (0,0) noktası olursa, yukarıdaki ifade;

şeklinde de yazılabilir ve bu çembere birim çember denir.
Çemberin çevresi formülü:

Daire

Daire, çemberin içinde kalan alana verilen addır. Burada alandan kasıt, bir çemberin çevrelediği noktaların kümesi olmasıdır. Bir dairenin açık daire ya da kapalı daire olmasını dairenin sınırlarını oluşturan çemberin daireye dahil olup olmadığı belirler; çember daireye dahilse kapalı daire, değilse açık dairedir.
Daireler genelde D harfiyle gösterilirler. Bir çemberi tanımlayan merkezi ve yarıçapı olduğu için, dairenin gösteriminde daireyi tanımlayan çemberin merkezi ve yarıçapı kullanılır. Bu nedenle, dairenin merkezi ve dairenin yarıçapı terimleri doğal olarak kullanılmaktadır. Mesela 'deki birim çemberin tanımladığı daireye birim daire adı verilir ve D(0,1) ile gösterilir. Burada 0 'dan kasıt 'deki orijindir.

Yarıçapı r olan bir dairenin alanı formülüyle bulunur.
Çevre uzunluğu ise C = 2πr formülüyle bulunur.

Kartezyen koordinatlarda merkezi (a, b) ve yarıçapı R olan açık bir D dairesinin tanımı şu şekilde yapılmaktadır:

Benzer bir şekilde, aynı merkez ve yarıçapa sahip kapalı bir dairenin tanımı ise şu şekilde yapılmaktadır:

ÇEMBERDE MERKEZ AÇI VE ÇEMBER YAYI

• Çemberde köşesi çemberin merkezinde olan açılara merkez açılar denir. Yandaki şekilde AOB açısının köşesi çemberin merkezinde olduğundan bu açı merkez açıdır ve bu açı şeklinde gösterilir.
• Çember üzerindeki iki nokta arasında kalan parçaya yay adı verilir.
• Yandaki şekilde çemberin üzerindeki A ve B noktaları arasında kalan yaya AB yayı denir ve şeklinde gösterilir.

Açıların olduğu gibi yayların da ölçüsü vardır ve dereceyle ölçülür. Çemberin tamamı 360°'dir. Yarım çember yayının ölçüsü 180° , çeyrek çember yayının ölçüsü ise 90°'dir.

ÇEMBERDE MERKEZ AÇININ GÖRDÜĞÜ YAYIN ÖLÇÜSÜ
Bir çemberde merkez açının ölçüsü ile gördüğü yayın ölçüsü birbirine eşittir.
Yukarıdaki çemberde AOB açısının ölçüsünü olarak gösteririz ve AB yayının ölçüsünü olarak gösteririz.
Buna göre bu eşitliği: şeklinde gösterebiliriz.

ÖRNEK:

Yandaki şekilde AOB merkez açısının ölçüsü 70° ve AB yayının ölçüsü 10x ise x kaç derecedir?
Merkez açı ve gördüğü yayın ölçüsü birbirine eşittir.
Bu yüzden: 10x = 70° denkleminden
x = 7° bulunur.

ÖRNEK:
Bir çemberde bir merkez açının ölçüsü 2x + 30°'dir ve bu merkez açının gördüğü yayın ölçüsü 5x − 60° ise x kaçtır?
Merkez açı ve gördüğü yayın ölçüsü birbirine eşittir.
Bu yüzden: 5x − 60° = 2x + 30° denkleminden
3x = 90°
x = 30° bulunur.

ÇEMBERİN VE ÇEMBER PARÇASININ UZUNLUĞU
Çemberin yarıçapı r ise çevresinin uzunluğunun 2.π.r formülünden hesaplandığını biliyoruz. Aynı zamanda çemberin tamamının 360° olduğunu da biliyoruz. Bu bilgileri kullanarak çemberin uzunluğunu ve çember parçasının uzunluğunu bulabiliriz.

ÖRNEK:
Yarıçapının uzunluğu 10 cm olan bir çemberin uzunluğunu bulalım. (π = 3 alınız.)
Çemberin çevre uzunluğu = 2.π.r = 2.3.10 = 60 cm'dir.
Şimdi ise çember parçalarının uzunluklarını bulalım. Bunun için çemberin tamamının uzunluğunu buluruz ve parçaya göre oranlarız.

ÖRNEK:
Yarıçapının uzunluğu 12 cm olan çeyrek çemberin uzunluğunu bulalım. (π = 3 alınız.)
Çemberin çevre uzunluğu = 2.π.r = 2.12.10 = 240 cm'dir.
Soruda bize çeyrek çemberi sorduğu için 4'e böleriz ve 60 cm buluruz.


ÖRNEK:

Yandaki şekilde verilen O merkezli çemberin yarıçapının uzunluğu 16 cm ve YOL açısının ölçüsü 60° olduğuna göre YL yayının uzunluğu kaç cm'dir? (π = 3 alınız.)


DAİRENİN VE DAİRE DİLİMİNİN ALANI
Dairenin yarıçapı r ise alanı π.r2 formülü ile hesaplanır. Daire diliminin alanı ise merkez açısının 360° ile oranıyla dairenin alanının çarpımıyla bulunabilir.

ÖRNEK:
Yarıçapının uzunluğu 10 cm olan bir dairenin alanını bulalım. (π = 3 alınız.)
Dairenin alanı = π.r2 = 3.102 = 3.100 = 300 cm2'dir.
Şimdi ise daire diliminin alanını bulalım. Bunun için dairenin tamamının alanını buluruz ve parçaya göre oranlarız.

ÖRNEK:
Yarıçapının uzunluğu 12 cm olan yarım dairenin alanını bulalım. (π = 3 alınız.)
Dairenin alanı = π.r2 = 3.122 = 3.144 = 432 cm2'dir.
Soruda bize yarım dairenin alanını sorduğu için 2'ye böleriz ve 216 cm2 buluruz.


ÖRNEK:

Yandaki şekilde verilen O merkezli dairenin yarıçapının uzunluğu 9 cm ve BOL açısının ölçüsü 80° olduğuna göre verilen daire diliminin alanı kaç cm2'dir? (π = 3 alınız.)

ÇEMBER VE DAİRE NE DEMEKTİR?
Çemberin içi boş halka gibidir. (yüzük,simit)
Dairenin içi dolu taralıdır. (madeni para,gazoz kapağı)

ÇEMBERDE AÇILAR:

• Merkez açı: Köşesi merkez üzerinde olan açıya merkez açı denir.Merkez açı gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
• Çember açı (çevre açı): Köşesi çember üzerinde olan açıya çember açı yada çevre açı denir.Çevre açı gördüğü yayın yarısına eşittir.
• Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü, merkez açının ölçüsünün yarısıdır.
• Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir.
• Çemberde çapı gören çevre açıları 90 derecedir.

ÇEMBERDE YAYLAR:

• Majör çember yayı: Merkez açının kenarlarının çemberi veya daireyi kestiği noktaların arasındaki yaylardan büyük olana majör (büyük) çember yayı denir.
• Minör çember yayı: Merkez açının kenarlarının çemberi veya daireyi kestiği noktaların arasındaki yaylardan küçük olana minör (küçük) çember yayı denir.
• Merkez açının gördüğü yay minör yaydır.

ÇEMBER’İN VE DAİRE’NİN ÇEVRESİ:

Ç = 2.π.r
(π=3,14 alırız r daire veya çemberin yarıçapı)

örnek:
Yarıçapı 5cm olan çemberin çevresini bulunuz.
Ç = 2.π.r
Ç = 2.3.5 = 30cm (π=3 aldık)

DAİRE’NİN ALANI:
A = π.r.r
(π=3,14 alırız r dairenin yarıçapı)

örnek:
Yarıçapı 4cm olan dairenin alanını bulunuz.
A = π.r.r
A = 3.4.4 = 48cm2(cmkare)

DAİRE DİLİMİNİN ALANI:
A = π.r.r.x / 360º
(π=3,14 alırız r dairenin yarıçapı, x açısı daire diliminin arasında kalan merkez açı)

örnek:
Merkezde oluşan 60º lik açının taradığı ve yarıçapı 10cm olan daire diliminin alanını bulunuz.
A = π.r.r.x / 360º
A = 3.10.10.60º / 360º
A = 300 / 6 = 50cm2

ÇEMBER YAYININ UZUNLUĞU:
Ç = 2.π.r.x / 360º
(π=3,14 alırız r çemberin yarıçapı, x açısı çember parçasının arasında kalan merkez açı)

örnek:
Merkezde oluşan 90º lik açının gördüğü ve yarıçapı 6cm olan çember yayının uzunluğunu bulunuz.
Ç = 2.π.r.x / 360º
Ç = 2.3.6.90º / 360º
Ç = 36 / 4 = 9cm