Boolean (Boole) Cebiri

Boole Cebiri

, önermeler ya da nesneler arasındaki ilişkileri betimleyen simgesel matematiksel mantık sistemi. Temel kuralları 1847’de İngiliz matematikçi George Boole tarafından ortaya konan bu sistem, daha sonra başka matematikçiler tarafından daha da geliştirildi ve kümeler kuramına uygulandı. Boole cebri günümüzde olasılık VE ve YA DA (V ) bağlaçları için doğruluk çizelgesi kuramı, kümeler geometrisi ve bilişim kuramı için son derecede değerlidir. Ayrıca elektronik sayısal (dijital) bilgisayarlarda kullanılan devrelerin tasarımı için gerekli olan temeli oluşturmaktadır.

Bir Boole cebiri, çeşitli postüla sistemleriyle tanımlanabilen ve değişmelilik özelliğine sahip iki tane ikili işleme göre kapalı bir kümede kurulur. Söz konusu postüla sistemlerinin tümü de üç temel postülaya dayanır. Bu temel postülaların birincisi, her işlemin bir birim öğesinin varlığı; İkincisi, işlemlerin birbirleri üzerine dağılma özelliğine sahip olmaları; üçüncüsü de, kümedeki her a öğesi için, o öğeyle arasındaki işlemin sonucu öteki işlemin birim öğesine eşit olan bir öğenin varlığıdır (bu öğeye, a öğesinin tümleyeni adı verilir).

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı olan ve toplama ve çarpma işlemlerine dayanan adi cebir, bir Boole cebirinin tüm koşullarını karşılamaz. Toplama ve çarpma işlemleri değişmelidir (her a ve b gerçek sayılan için, a+b=b+a ve axb=bxa). Gerçek sayılar kümesi bu işlemlere göre kapalıdır (iki gerçek sayının toplamı ya da çarpımı gene bir gerçek sayıdır. Kümede her iki işleme göre de birim öğe vardır (toplama için birim öğe 0, çarpma için 1; yani her a gerçek sayısı için a+0=a ve aA=a). Çarpma işlemi, toplama üzerine dağılır (yani a»[b+c\ = [axb] + [axc]) y ama toplama işlemi çarpma üzerine dağılmaz (yani a+[bxc], her zaman [a +b] x [a+c\ ye eşit değildir). Ayrıca adi cebirde üçüncü temel postüla da sağlanmaz, yani öğelerin tümleyenleri yoktur.

Boole cebiri, değişken olarak adi cebirdeki gibi sayısal niceliklerin değil, doğruluk değerlerinin (bir mantıksal önermenin doğruluk ya da yanlışlığı) kullanıldığı durumda geçerlidir. Boole cebirinin önemli bir üstünlüğü olan bu özellik, doğru (doğruluk değeri = 1) ya da yanlış (doğruluk değeri=0) olabilen önermelerle işlem yapılmasına olanak sağlar. İki mantıksal önerme, VE (simgesi: A) ya da YA DA (simgesi:V ) mantıksal bağlaçlarından biri ile bağlanarak bir bileşik önerme oluşturulabilir. Böylece elde edilen bileşik önfermenin doğruluk değeri, birbirine bağlanmış olan iki önermenin ayrı ayrı doğruluk değerleri ile kullanılan bağlacın türüne bağlıdır.

Çizelgede görüldüğü gibi, birbirinden bağımsız olarak doğru ya da yanlış olabilen a ve b önermeleri VE bağlacıyla bağlandığında elde edilen a Ab önermesi, yalnızca a ve b önermelerinin ikisi de doğruyken doğru, öteki durumlarda ise yanlış olan bir önermedir. Bu iki önermenin YA DA bağlacıyla bağlanmasıyla oluşturulan a V b önermesi ise, a ya da b önermelerinden en az biri doğru iken doğru, ikisi de yanlış iken yanlış olan bir önermedir. Önermeler üzerinde tanımlı VE ve YA DA bağlaçlarından oluşan böyle bir sistemin temel postülalara uyduğu, böylece de bir Boole cebiri oluşturduğu gösterilebilir.