Arama

En Küçük Kareler Yöntemi

Güncelleme: 19 Haziran 2009 Gösterim: 9.386 Cevap: 1
ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
19 Haziran 2009       Mesaj #1
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
En Küçük Kareler Yöntemi
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Sponsorlu Bağlantılar

En küçük kareler yöntemi, birbirine bağlı olarak değişen iki fiziksel büyüklük arasındaki matematiksel bağlantıyı, mümkün olduğunca gerçeğe uygun bir denklem olarak yazmak için kullanılan, standart bir regresyon yöntemidir. Bir başka deyişle bu yöntem, ölçüm sonucu elde edilmiş veri noktalarına "mümkün olduğu kadar yakın" geçecek bir fonksiyon eğrisi bulmaya yarar. Gauss-Markov Teoremi'ne göre en küçük kareler yöntemi, regresyon için optimal yöntemdir.

Tarihi
Bilindiği kadarıyla, en küçük kareler yöntemi ilk olarak 1795'te Carl Friedrich Gauss tarafından geliştirilmiştir. Gauss 1801 yılında bu yöntemi kullanarak, keşfinden kısa süre sonra kaybedilen Ceres asteroidinin tekrar gözlemlenebileceği pozisyonu hesaplayabilmiş, bu başarısıyla büyük üne kavuşmuştur. Gauss bu yöntemi ilk olarak 1809'da yayımlamıştır. 1806'da Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre ve 1808'de Amerikalı matematikçi Robert Adrain, Gauss'tan (ve muhtemelen birbirlerinden) bağımsız olarak bu yöntemi geliştirip kullanmışlardır.
En küçük kareler yöntemi, bugün neredeyse tüm bilim dallarında ve mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır.


Çizgisel (Doğrusal) Örnek
Kırmızı noktalar ölçümle elde edilmiş veri noktalarını, mavi çizgi ise en küçük kareler yöntemi ile bulunmuş teorik bağlantıyı ifade eder.
Ad:  linearregressionsvg.png
Gösterim: 917
Boyut:  23.8 KB

Basit bir örnek vermek gerekirse, aralarında çizgisel (lineer) bir bağlantı olan, X ve Y adında iki fiziksel büyüklük düşünelim. (Mesela, X belli bir ağaç türünün yaşı, Y aynı tür ağacın gövde çapı olabilir.) Y 'yi X 'in fonksiyonu olarak yazmak istiyoruz. Bu iki büyüklük arasındaki bağlantı çizgisel olduğuna göre, şöyle bir denklem halinde ifade edilebilir:
Ad:  enk1.png
Gösterim: 505
Boyut:  513 Byte
Bizim aradığımız şey, bu denklemdeki a ve b sayıları için mümkün olan en doğru değerlerdir. Bu değerleri belirlemek için bir dizi ölçüm yaptığımızı düşünelim. (Ağaç örneğine dönersek, ilgilendiğimiz türden pek çok ağacın yaşını ve gövde çapını ölçelim.) Bu ölçümler bize bir dizi (Xi, Yi) çifti verecektir. Bir kartezyen düzlem üzerinde bu çiftlere karşılık gelen noktaları tek tek işaretlersek, kabaca düz bir çizgi üzerinde yayılmış bir "noktalar bulutu" elde ederiz. Noktalar, çeşitli sebeplerden dolayı (ölçüm hataları, istisnai durumlar, modele katılmayan dış etkiler, vs) kusursuz bir çizgi üzerinde çıkmayacaktır.
X ve Y arasındaki bağlantıyı tek bir çizgisel denklem olarak ifade etmek istiyorsak, bu noktalara mümkün olduğunca yakın geçecek bir çizgi bulmalıyız. Bir başka deyişle, yukarıdaki denklemde a ve b'yi öyle seçmeliyiz ki, ortaya çıkan çizgi veri noktalarına mümkün olduğunca yakın olsun.
En küçük kareler yöntemi, denklemin verdiği (teorik) Y değerleri ile ölçümlerin verdiği (gerçek) Y değerleri arasındaki farkların karelerinin toplamını küçültme fikrine dayanır. Bu yöntem, denklemdeki a ve b sayılarını, bahsedilen kareler toplamını en küçük yapacak şekilde seçer (ve adını da buradan alır).

Eğrisel (Doğrusal Olmayan) Örnek
Aralarında doğrusal olmayan (non-lineer) bir bağlantı olan, fiziksel büyüklükler için de benzer şekilde en küçük kareler (EKK) yöntemi kullanılabilir.
EKK yöntemi denklem formunun bilinmesini gerektir. Bu formda bağımsız değişkenin üsleri ile birlikte birden çok bağımsız değişkenin çeşitli biçimleri bulunabilir.
Ad:  enk2.png
Gösterim: 472
Boyut:  719 Byte
Ad:  enk3.png
Gösterim: 516
Boyut:  1.1 KB
EKK'nın işe yaraması için değişkenler arasındaki ilişkiyi gösteren formun katsayılardan bağımsız olarak biliniyor olması gerekir. Bunun için Ekonometri biliminde çok çeşitli yöntemler mevcuttur.
Formun nasıl olacağına karar verdikten sonra katsayılar bulunur. Tüm örnek sonuçlarına bakılarak hata terimlerinin karelerini en düşük yapan katsayılar türev yardımıyla bulunur. Burada türevin sıfır olduğu noktanın en küçük değer olması kuralından faydalanılır.

Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!
ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
19 Haziran 2009       Mesaj #2
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
Doğrusal EKK'nin Uygulanışı
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Sponsorlu Bağlantılar

Aşağıdaki ikinci dereceden polinomun denklem formu olarak belirlendiğini kabul edelim.
Ad:  ekk_1.png
Gösterim: 473
Boyut:  1.2 KB
Bu ifadedeki 2. dereceden terimler başka bir değişkenle değiştirilirse Ad:  ekk.PNG
Gösterim: 482
Boyut:  559 Byte ikinci dereceden polinom doğrusal bir ifadeye dönüşmüş olur. Bu durumda polinom daha genel bir ifadeyle yazılabilir:
Ad:  ekk_2.png
Gösterim: 412
Boyut:  1.2 KB
n adet veri ile regresyon yaptığımızı varsayarsak, elimizdeki veride n tane Q değeri ile beraber her Xi için n tane değer bulunmaktadır. Bu durumda regresyon işlemi aşağıdaki işlem ile ifade edilebilir:
Ad:  ekk_3.png
Gösterim: 492
Boyut:  532 Byte
Yukarıdaki ifadede bulunan dizey ve diziler aşağıdaki gibi açıklanabilir:

Ad:  ekk_4.png
Gösterim: 558
Boyut:  5.5 KB

Yukarıdaki ε dizisi hataları ifade eder.
β parametrelerinin tahmini için aşağıdaki ifade kullanılabilir:
Ad:  ekk_5.png
Gösterim: 422
Boyut:  885 Byte

Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!

Benzer Konular

8 Şubat 2022 / Jumong Genel Galeri
20 Mayıs 2014 / Misafir Cevaplanmış
22 Ocak 2010 / computerteacher Soru-Cevap
5 Şubat 2009 / Ziyaretçi Soru-Cevap