Fraktal nedir?
Ziyaretçi
ktal Matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından üretilmiş bir terim. Latince "kırıklı" anlamına da gelen fractus'dan türetilmiş. Aslında fraktaller matematiksel denklemlerin sonucunda bilgisayar tarafından çizilen muhteşem görüntülerdir. Fraktal geometri modern bilimini özellikle kaos biliminin önemli uğraş alanlarından birini oluşturur. Fraktal geometri ayrıca bu sayfalarda da görebileceğiniz gibi ancak bilgisayarlar yardımıyla gerçekleştirilebilen matematiksel tekrarlar (iterasyonlar) sayesindeoldukça zengin grafik görüntüler elde edilebilmesini de sağlamakta. Bu şekiller ayrıca doğadaki bir çok oluşumun izlediği kuralları da izlediğinden (örneğin kabuklu deniz canlılarının karmaşık biçimleriağaçların veya damarların dallanmaları yeryüzü şekilleri vb.) oldukça garip ve doğal bir güzellikleri var. Ayrıca fraktal boyutlar dediğimiz buçuklu veya kesirli boyutlara sahip olmaları açısından da alışılmadık özelliklere sahipler. Ayrıca bir fraktalin kenar uzunluğunu da hesaplayamiyorsunuz çünkü sonsuz! Bu şekillerin en önemli özelliği ne kadar büyütürseniz büyütün görüntünün her küçük ayrıntısının bütün ile tıpatıp aynı karakteristikleri taşımaları (tabii ürettiğiniz program içindeyken bunlar geçerli; yoksa jpg uzantılı resimler için değil). İlginç değil mi?..
Fraktal; matematiğe çoğunlukla kendine benzeme özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır.Fraktallar kla*** yani Eukleidesçi geometrideki kare daire küre gibi basit şekillerden çok farklıdır. Bunlar doğadaki Eukleidesçi geometri aracılığıyla tanımlanamayacak pek terimi “parçalanmış” yada “kırılmış” anl****a gelen Latince “fractus” sözcüğünden türetilmiştir. İlk olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramıyalnızca matematik değil fiziksel kimya fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasın yol açmıştır.
Tüm fraktalar kendine benzer yada en azından tümüyle kendine benzer olmakla birlikte çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar yada bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar yada desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesneler sonsuza değin sürebilir; öyle ki her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu kar tanesi be ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tm doğal fraltallar ile matematilsel olarak kendine benzer olan bazıları stokastik yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler düzensiz biçimli olduklarından ötürü Eukleidesçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cismi kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)
Fraktalların bir başka önemli özelliği de fraktal boyut olarak adlandırılan bir matemetiksel parametredir. Bu cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün yada bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin hep aynı kalan fraktaların bir özelliğidir. Eukleidesçi boyutun tersine fraktal boyutgenellikle tam sayı olmayan bir sayıyla yani bir kesir ile ifade edilir. Fraktal boyut bir fraktal eğri yardımıyla anlaşılabilir.
Oluşturulmasının her aşamasında bu tip bir eğrinin çevre uzunluğu 4/3 oranında büyür. Fraktal boyut (D)4’e eşit olabilmesi için alınması gereken kuvvetini gösterir yani;
3d=4 bu bakımdan fraktal eğriyi niteleyen boyut log4/log3 yada kabaca 126’dır. Fraktal boyutEukleidesçi olmayan belirli bir biçimin karmaşıklığını ve şekil nüanslarını açığa çıkarır.
Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri istatistiksel mekaniğe özellikle görünürde rasgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin gökada kümelerinin evredeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise engebeli dağlık araziler yada ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.
Her şey Benoit Mandelbrot’un kafasında oluşan ve basit gibi görünen bir soru ile başladı: İngiltere’nin kıyı uzunluğu ne kadardır? Yanıtı bulmak için yapılabilecek ilk şey ölçeği belli bir harita bulduktan sonra buradan kıyı şeridinin uzunluğunu sözgelimi bir iple ölçmek ve sonucu haritanın ölçeğiyle çarparak kıyı uzunluğunu hesaplamak olabilir. Peki kıyı şeridinin uzunluğu ‘gerçekte’ ne kadardır? Kıyı şeridinin uçaktan çekilmiş bir dizi fotoğrafı ile daha doğru bir ölçüm yapabilirsiniz; şüphesiz bu değer harita üzerinde hesaplanandan biraz daha büyük çıkacaktır. Biraz daha ileri gidip tüm kıyıyı adım adım ölçtüğünüzü düşünelim; bu durumda ne kadarlık bir uzunluk hesaplayabilirsiniz? Peki ya tüm uzunluğu milimetrik bir cetvelle ölçebildiğinizi düşünün; hatta moleküler boyulara kadar uzanan hassas bir uzunluk ölçümü yapabildiğinizi... Sonuçta ölçümlerinizi hassaslaştırdıkça kıyı uzunluğunun sonsuza gittiğini farkedeceksiniz. Sonlu bir kara parçasının sınırları aslında sonsuz uzunluktadır!
Bu basit ve çarpıcı sonuç Benoit Mandelbrot gibi bir matematikçinin elinde ‘fraktal geometri’ dediğimiz yeni bir matematik dalının temellerinin atılmasını sağladı. Mandelbrot tabiattaki biçimlerin matematiğini keşfeden ve buna latince ‘kırıklı’ anl****a gelen ‘fractus’ sözünden türettiği ‘fractal’ adını veren kişidir. Kendisinin tanımladığı ünlü ‘Mandelbrot Kümesi’ belki de dünyanın en meşhur geometrik şekillerinden birisidir.
Fraktal geometri bildiğimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisiokullarda okuduğumuz üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır bir iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Mandelbrot’un fraktalleri ise kesirli boyutlara sahip olmaları açısından geleneksel geometriden kökten farklı bir yapı sergiler. Matematiğe çok girmeden bunu şöyle örneklendirebiliriz: Elinizde bir sayfa kağıt olduğunu ve bunun iki boyutlu olduğunu düşünün (aslında kağıt kalınlığı da olan üç boyultu bir nesnedir ama şimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz). Kağıdı elinizde o kadar çok buruşturup sıkıştırıyorsunuz ki artık son derece karmaşık hale gelmiş bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkansızlaşıyor. Üç boyutlu olduğunu da iddia edemiyorsunuz zira elinizdeki ne kadar buruşmuş olursa olsun iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla buruşma miktarı arttıkça 2.05 2.28 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey şekli elde etmeye başlarsınız. İşte fraktallerdeki kesirli boyut kavramı da buna benzer bir karmaşıklığın neticesinde ortaya çıkar. Aslında doğada hakim olan geometri de işte bu ‘fraktal geometri’dir...
Doğadaki biçimler gerçekten de geleneksel geometrinin bize öğrettiğinden çok farklıdır. Geleneksel (Euklid’çi) geometri daha ziyade idealize edilmiş soyutlamalardan oluşuruken tabiattaki biçimler çok daha karmaşıktırlar. Yerküreyi 6-7 kez dolaşabilecek kan damarlarını ve bir kaç tenis kortu kadar alan kaplayan akciğer hava keseciklerini bu küçücük vücudumuza; açıldığında 2 metreyi aşkın bir uzunluğa erişen DNA molekülümüzü 100 trilyon hücremizin her birindeki bir kaç mikrometrelik (milimetrenin binde biri) çekirdeğin içine paketlenmesinin ardında işte bu ‘fraktal’ kurallar yatmaktadır...
Fraktal özelliklere sahip bir geometrik şekli evinizde kendi başınıza elde etmenin bu gün için en kolay yolu internette rahatlıkla bulunabilen hazır bilgisayar programlarından birisini kullanmaktır (fractal explorer). Zira her ne kadar basit olursa olsun bir ‘fraktal’ ortaya çıkarmak matematiksel bir dizi işlem serisi (iterasyonlar) gerektirir ki bu tekrarlayan işlem serileri tam da bilgisayarlara göre bir iştir. Örneğin Mandelbrot Kümesi aslında ‘karmaşık sayılar’ı da içeren ve kendi sonucunu her tekrarda ‘giriş verisi’ olarak kullanan bir iterasyon yani tekrar tekrar hesaplama işlemidir. Bu hesaplama sonucu elde edilen kapalı noktalar kümesi alanı sonlu fakat kenar uzunluğu sonsuz bir küme olarak tüm fraktallerin –tabir yerindeyse- atasıdır.
Fraktallerin bir başka çarpıcı özelliği doğada çokça rastladığımız ‘kendine benzeme’ (selfsimilarity) özelliğidir. Herhangi bir iterasyon dizgesi ile oluşturulan bir fraktal biçim aynı matematiksel formül çekirdeğinin defalarca üst üste tekrarlanması ile ortaya çıktığından ana kümenin şekli küme kenarlarının mikroskobik detaylarında dahi benzer görünüm ve biçimlerde tekrarlanır.Tabiatta da bu durumla sık sık karşılaşırız: Örneğin ağaçların bir çok tipinde dal ve köklerdeki saçaklanma biçimleriyle; dalların yan dallara ayrılma biçimlerinin yaprakların çıkış noktalarının ve yapraklar üzerindeki damarların dallanış biçimlerinin hep birbirine benzer bir kalıp izlediğine belki de daha önce dikkat etmişsinizdir. Daha çarpıcı bir örnek olarak atom-altı düzeyi de düşünebiliriz. Bu düzeyde ulaştığımız mikro-alem aynen uzay boşluğu gibi karanlık nisbi olarak korkunç mesafelerle birbirlerinden ayrılmış bileşenlerden (elektronlar - protonlar vb.) oluşan bir boşluktur ve atomun ardında yeni bir ‘uzay boşluğu’ farklı ölçeklerle de olsa bizi bekler gibidir! İşte bu özellikler fraktal geometrinin sadece ağlenceli bir oyun olmaktan ziyade hayatın kendisini daha iyi anlamamızda yardımcı bir araç olarak kullanılması konusunda bizi defaatle ikaz ediyor...
Sponsorlu Bağlantılar
Tüm fraktalar kendine benzer yada en azından tümüyle kendine benzer olmakla birlikte çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar yada bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar yada desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesneler sonsuza değin sürebilir; öyle ki her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu kar tanesi be ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tm doğal fraltallar ile matematilsel olarak kendine benzer olan bazıları stokastik yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler düzensiz biçimli olduklarından ötürü Eukleidesçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cismi kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)
Fraktalların bir başka önemli özelliği de fraktal boyut olarak adlandırılan bir matemetiksel parametredir. Bu cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün yada bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin hep aynı kalan fraktaların bir özelliğidir. Eukleidesçi boyutun tersine fraktal boyutgenellikle tam sayı olmayan bir sayıyla yani bir kesir ile ifade edilir. Fraktal boyut bir fraktal eğri yardımıyla anlaşılabilir.
Oluşturulmasının her aşamasında bu tip bir eğrinin çevre uzunluğu 4/3 oranında büyür. Fraktal boyut (D)4’e eşit olabilmesi için alınması gereken kuvvetini gösterir yani;
3d=4 bu bakımdan fraktal eğriyi niteleyen boyut log4/log3 yada kabaca 126’dır. Fraktal boyutEukleidesçi olmayan belirli bir biçimin karmaşıklığını ve şekil nüanslarını açığa çıkarır.
Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri istatistiksel mekaniğe özellikle görünürde rasgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin gökada kümelerinin evredeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise engebeli dağlık araziler yada ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.
Her şey Benoit Mandelbrot’un kafasında oluşan ve basit gibi görünen bir soru ile başladı: İngiltere’nin kıyı uzunluğu ne kadardır? Yanıtı bulmak için yapılabilecek ilk şey ölçeği belli bir harita bulduktan sonra buradan kıyı şeridinin uzunluğunu sözgelimi bir iple ölçmek ve sonucu haritanın ölçeğiyle çarparak kıyı uzunluğunu hesaplamak olabilir. Peki kıyı şeridinin uzunluğu ‘gerçekte’ ne kadardır? Kıyı şeridinin uçaktan çekilmiş bir dizi fotoğrafı ile daha doğru bir ölçüm yapabilirsiniz; şüphesiz bu değer harita üzerinde hesaplanandan biraz daha büyük çıkacaktır. Biraz daha ileri gidip tüm kıyıyı adım adım ölçtüğünüzü düşünelim; bu durumda ne kadarlık bir uzunluk hesaplayabilirsiniz? Peki ya tüm uzunluğu milimetrik bir cetvelle ölçebildiğinizi düşünün; hatta moleküler boyulara kadar uzanan hassas bir uzunluk ölçümü yapabildiğinizi... Sonuçta ölçümlerinizi hassaslaştırdıkça kıyı uzunluğunun sonsuza gittiğini farkedeceksiniz. Sonlu bir kara parçasının sınırları aslında sonsuz uzunluktadır!
Bu basit ve çarpıcı sonuç Benoit Mandelbrot gibi bir matematikçinin elinde ‘fraktal geometri’ dediğimiz yeni bir matematik dalının temellerinin atılmasını sağladı. Mandelbrot tabiattaki biçimlerin matematiğini keşfeden ve buna latince ‘kırıklı’ anl****a gelen ‘fractus’ sözünden türettiği ‘fractal’ adını veren kişidir. Kendisinin tanımladığı ünlü ‘Mandelbrot Kümesi’ belki de dünyanın en meşhur geometrik şekillerinden birisidir.
Fraktal geometri bildiğimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisiokullarda okuduğumuz üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır bir iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Mandelbrot’un fraktalleri ise kesirli boyutlara sahip olmaları açısından geleneksel geometriden kökten farklı bir yapı sergiler. Matematiğe çok girmeden bunu şöyle örneklendirebiliriz: Elinizde bir sayfa kağıt olduğunu ve bunun iki boyutlu olduğunu düşünün (aslında kağıt kalınlığı da olan üç boyultu bir nesnedir ama şimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz). Kağıdı elinizde o kadar çok buruşturup sıkıştırıyorsunuz ki artık son derece karmaşık hale gelmiş bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkansızlaşıyor. Üç boyutlu olduğunu da iddia edemiyorsunuz zira elinizdeki ne kadar buruşmuş olursa olsun iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla buruşma miktarı arttıkça 2.05 2.28 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey şekli elde etmeye başlarsınız. İşte fraktallerdeki kesirli boyut kavramı da buna benzer bir karmaşıklığın neticesinde ortaya çıkar. Aslında doğada hakim olan geometri de işte bu ‘fraktal geometri’dir...
Doğadaki biçimler gerçekten de geleneksel geometrinin bize öğrettiğinden çok farklıdır. Geleneksel (Euklid’çi) geometri daha ziyade idealize edilmiş soyutlamalardan oluşuruken tabiattaki biçimler çok daha karmaşıktırlar. Yerküreyi 6-7 kez dolaşabilecek kan damarlarını ve bir kaç tenis kortu kadar alan kaplayan akciğer hava keseciklerini bu küçücük vücudumuza; açıldığında 2 metreyi aşkın bir uzunluğa erişen DNA molekülümüzü 100 trilyon hücremizin her birindeki bir kaç mikrometrelik (milimetrenin binde biri) çekirdeğin içine paketlenmesinin ardında işte bu ‘fraktal’ kurallar yatmaktadır...
Fraktal özelliklere sahip bir geometrik şekli evinizde kendi başınıza elde etmenin bu gün için en kolay yolu internette rahatlıkla bulunabilen hazır bilgisayar programlarından birisini kullanmaktır (fractal explorer). Zira her ne kadar basit olursa olsun bir ‘fraktal’ ortaya çıkarmak matematiksel bir dizi işlem serisi (iterasyonlar) gerektirir ki bu tekrarlayan işlem serileri tam da bilgisayarlara göre bir iştir. Örneğin Mandelbrot Kümesi aslında ‘karmaşık sayılar’ı da içeren ve kendi sonucunu her tekrarda ‘giriş verisi’ olarak kullanan bir iterasyon yani tekrar tekrar hesaplama işlemidir. Bu hesaplama sonucu elde edilen kapalı noktalar kümesi alanı sonlu fakat kenar uzunluğu sonsuz bir küme olarak tüm fraktallerin –tabir yerindeyse- atasıdır.
Fraktallerin bir başka çarpıcı özelliği doğada çokça rastladığımız ‘kendine benzeme’ (selfsimilarity) özelliğidir. Herhangi bir iterasyon dizgesi ile oluşturulan bir fraktal biçim aynı matematiksel formül çekirdeğinin defalarca üst üste tekrarlanması ile ortaya çıktığından ana kümenin şekli küme kenarlarının mikroskobik detaylarında dahi benzer görünüm ve biçimlerde tekrarlanır.Tabiatta da bu durumla sık sık karşılaşırız: Örneğin ağaçların bir çok tipinde dal ve köklerdeki saçaklanma biçimleriyle; dalların yan dallara ayrılma biçimlerinin yaprakların çıkış noktalarının ve yapraklar üzerindeki damarların dallanış biçimlerinin hep birbirine benzer bir kalıp izlediğine belki de daha önce dikkat etmişsinizdir. Daha çarpıcı bir örnek olarak atom-altı düzeyi de düşünebiliriz. Bu düzeyde ulaştığımız mikro-alem aynen uzay boşluğu gibi karanlık nisbi olarak korkunç mesafelerle birbirlerinden ayrılmış bileşenlerden (elektronlar - protonlar vb.) oluşan bir boşluktur ve atomun ardında yeni bir ‘uzay boşluğu’ farklı ölçeklerle de olsa bizi bekler gibidir! İşte bu özellikler fraktal geometrinin sadece ağlenceli bir oyun olmaktan ziyade hayatın kendisini daha iyi anlamamızda yardımcı bir araç olarak kullanılması konusunda bizi defaatle ikaz ediyor...
