Modüler aritmetik hakkında bilgi ve örnekler verir misiniz?

MODÜLER ARİTMETİK

Denklik Kavramı :
β ={(x, y) : m | (x – y) ; x, y, mZ ve m >1 }
yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığından β bir denklik bağıntısıdır.
Bu durumda, (x, y)β için x y (mod m) yazılabilir.

SONUÇ :
x, y, m Z ve m >1 olmak üzere,
(mod m) dir.
Örnek :
17 2 (mod 3) – 5 1 (mod 6) 7 – 13 (mod 4)

Örnek :

22 – 2 (mod m)
denkliğini sağlayan kaç tane m değeri vardır?

2002 ÖSS

1< a ≤ 10 olmak üzere,
12 – a 0 (mod a)
denkliğini sağlayan kaç tane a tam sayısı vardır?

Denklik Sınıfı :
β ={(x, y) : m | (x – y) ; x, y, mZ ve m >1 } bağıntısında x elemanına β ile bağlı tüm y elemanlarının oluşturduğu kümeye x in denklik sınıfı denir. x ile gösterilir.

Örnek :

β ={(x, y) : 4 | (x – y) ; x, y, Z }

bağıntısına göre 0 ın denklik sınıfı, bağıntıda bulunan (0,y) ikililerindeki y değerlerinin oluşturduğu kümedir. Yani 4 ile tam bölünen (bölündüğünde 0 kalanını veren) elemanların oluşturduğu kümedir. Bu küme,

= { ... -8, -4, 0, 4, 8, ... } olur. Benzer şekilde,
= { ... -7, -3, 1, 5, 9, ... }
= { ... -6, -2, 2, 6, 10, ... }
= { ... -5, -1, 3, 7, 11, ... } yazılabilir.

Tam sayılarda 4 modülüne göre elde edilen tüm denklik sınıflarının oluşturduğu kümeye kalan sınıflarının kümesi denir

= { ,, ,} şeklinde gösterilir.

Özellikler

Z / m de x, y, a, b Z olmak üzere
xa (mod m)
yb (mod m) ise

1) x y a b (mod m)

3) x . y a . b (mod m) , (bölme yapılamaz)

3) x + k a + k (mod m), k Z

4) k . x k . a (mod m) , k Z , (bölme yapılamaz)

5) xn an (mod m) , n N

90 ÖYS

5 – x 4 (mod 7)
olduğuna göre x in alabileceği pozitif en küçük iki değerin toplamı kaçtır?
Örnek :

8 – 3x x (mod 12)
denkliğini sağlayan en küçük iki doğal sayının toplamı kaçtır?

Örnek :

4x – 4 x – 3 (mod 5)
denkliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?

ab (mod m) denkliğinde 0 ≤ b < m ise tam sayılarda bölme işlemi yapılabilir (a nın m ile bölümünde kalan b).

96 ÖYS

(96)10 + (97)2 toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

2001 ÖSS

x iki basamaklı bir doğal sayı,
x2 (mod 3)
x2 (mod 5)
olduğuna göre, x in en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?

2000 ÖSS

373 ün 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

98 ÖYS

327 95 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

93 ÖYS

(1993) x 2 (mod 5) denkliğinde en küçük x değeri kaçtır?

Örnek :

2424 ün 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

SONUÇ :

x ile m aralarında asal sayılar ve m asal sayı olmak üzere x m – 1 1 (mod m) dir.

Örnek :
a pozitif tam sayı ve
836a+2 x (mod 13)
olduğuna göre x kaçtır?

x ile m aralarında asal değilse x in hiçbir kuvveti 1 e denk olmaz (ama yine tekrarlı devam eder.)

95 ÖYS

19951995 in 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Örnek :

20022004 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

Örnek :

41998 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

Örnek :

2192004 ün 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

Örnek :

155 + 175 +195 + 215
toplamının 18 ile bölümünden kalan kaçtır?

Örnek :

1! + 2! + 3! + ... + 99! x (mod 35)
denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayı kaçtır?


Örnek :

Bir dersanede 10 günde bir deneme sınavı yapılmaktadır. İlk sınav salı günü yapıldığına göre, 12. sınav hangi gün yapılır?

Örnek :

5 günde bir nöbet tutan bir doktor 20. nöbetini çarşamba günü tuttuğuna göre 6. nöbetini hangi gün tutmuştur?

Örnek :

18 Mart 2004 günü perşembedir. Buna göre 18 Mart 2005 hangi güne denk gelir?

2001 ÖSS

365 günlük bir yıldaki cumartesi ve pazar günleri sayısının toplamı en çok kaçtır?

2000 ÖSS

Tam 12 yi gösteriyorken çalıştırılan bir saatin akrebi, 1999 saatlik süre dolduğu anda kaçı gösterir?

Örnek :

5 -1 x (mod 7)
denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayı kaçtır?

Örnek :

Z / 6 da denkliğinin çözüm kümesi nedir?

Örnek :

Z / 5 da f ve g olduğuna göre, (fog)() nedir?

Not :

m ile K aralarında asal sayılar olmak üzere, m den küçük, m ile aralarında asal olan sayı adedi n ise,
1 (mod m) dir.

Bir hatırlatma :
a, b, c farklı asal sayılar ve x, y, z pozitif tamsayı olmak üzere
şeklinde asal çarpanlarına ayrılan m sayısı için m den küçük ve m ile aralarında asal olan sayı adedi n ise
n = dir.
Örnek :

8 den küçük ve 8 ile aralarında asal olan sayılar : {1, 3, 5, 7} olduğuna göre 34 1 (mod 8) dir.

Örnek :

100 den küçük ve 100 ile aralarında asal olan sayılar
tane
olduğuna göre a40 1 (mod 100) dür.

m asal sayı ise, (m – 1)! – 1 (mod m) dir.

Örnek :

12! – 1 (mod 13)

m asal olmayan 4 ten büyük bir doğal sayı ise,
(m – 1)! 0 (mod m) dir.