Bağımlı ve bağımsız olayla ilgili soru cevap örnekleri verir misiniz?

Bağımlı Olay
A ve B gibi iki olay olsun. A olayının gerçekleşme şekli, B olayının sonucuna göre değişebiliyorsa, bu iki olaya bağımlı olaylar denir.

Sponsorlu Bağlantılar

P( A) ==> A olayının gerçekleşme olasılığı;
P( B) ==> B olayının gerçekleşme olasılığı;
P(A|B) ==> B verilmişken A olayının gerçekleşme olasılığı olarak gösterilir.
A ve B olayları bağımlı iki olay ise, A ve B olayının birlikte gerçekleşme olasılığı P(A∩B) = P(A|B). P( B) şeklinde tanımlanabilir.

Örnek:
Birinci kutuda 2 kırmızı 4 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 5 mavi top vardır. Birinci kutudan bir top çekiliyor ve ikinci kutuya atılıyor. Ardından ikinci kutudan çekilecek topun mavi olma olasılığı nedir?

Çözüm:
A olayı, I. kutudan kırmızı çekilmesi,
B olayı, I. kutudan mavi çekilmesi,
C olayı, II. kutudan mavi topun çekilmesi olsun.
I. kutudan çekilen topa göre II. kutudan çekilecek topun çekilme sonucu değişebileceğinden bu iki olay bağımlı olay olarak değerlendirilmektedir.
P( C) = P(I. kutudan kırmızı ve II. kutudan mavi çekilmesi) + P(I. kutudan mavi ve II. kutudan mavi çekilmesi) şeklinde olacaktır.
P( C) = P(A∩C) + P(B∩C) veya P( C) = P( A).P(C|A) + P( B).P(C|B) olacaktır.

Bağımsız Olay
Bağımsız olay şu biçimde tanımlanabilir:
A ve B olayları ancak ve ancak Pr(A ∩ B) = Pr( A)Pr( B) koşulu sağlanıyorsa bağımsızdırlar.Burada A ∩ B, A ve B'nin kesişimini (A ve B olaylarının birlikte gerçekleştiği durumu) göstermektedir.
Daha genel anlamda, bir olay dizisi bu dizinin herhangi bir sonlu altkümesinin
$dce50fbe779ce0958e9cb1768b322876$ koşulunu sağlaması durumunda karşılıklı bağımsızdır. Bu olgu bağımsız olaylar için çarpım kuralı olarak adlandırılmaktadır.
A ve B olayları bağımsız ise, B olayının gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı bu olayın koşulsuz olasılığına eşittir.
$d77e4e0ae602ccf284ec0698ec8dcf01$

Tüm bunlara karşın, bu ifadelerin bağımsızlık kavramının tam tanımını oluşturduğu söylenemez. Bunun nedeni, ifadede yer alan A ve B olaylarının yerlerinin değiştirilemeyecek oluşu ve bu tanımın olasılığın 0 olduğu durumlarda geçersiz kalmasıdır.
B'nin gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı
$1cee94d1dbdc9bca9e2a7ca9d087f7a2$ (Pr( B) ≠ 0 olduğu sürece)biçiminde tanımlanmaktadır.
$45ed3e63069e274a128d04315fc9242c$ iken bu ifade
$6edcd8aaf80dcac2bc977783cf810efa$ olarak da yazılabilir.

Burada sözü edilen bağımsızlık kavramı konuşma dilindeki karşılığından farklı bir anlam taşımaktadır. Örneğin, bir olayın kendinden bağımsız olması ancak ve ancak
$10d598e4cea910573e686c1709811fc3$ koşulunun sağlanması durumunda gerçekleşebilir. Başka bir deyişle, bir olay ya da onun tümleyeni neredeyse kesin olarak gerçekleşiyorsa bu olay kendinden bağımsızdır.

Bağımsız rassal değişkenler
X gerçel değerli bir rassal değişken ve a bir sayı olmak üzere, {X ≤ a} olayı X'in a'dan küçük ya da ona eşit olduğu gözlemlerin oluşturduğu küme olarak tanımlanmaktadır.
X ve Y rassal değişkenleri ancak ve ancak {X ≤ a} ve {Y ≤ b} olaylarının bağımsız olması durumunda bağımsızdırlar. Benzer biçimde, rastgele seçilmiş değişkenlerin oluşturduğu bir kümenin bağımsız oluşu herhangi bir sonlu X1, …, Xn yığını ve a1, …, an sayı dizisi için {X1 ≤ a1}, …, {Xn ≤ an} olaylarının bağımsız olmasına bağlıdır.
Bir yığından seçilen herhangi iki rassal değişken bağımsız ise bu değişkenlerin karşılıklı bağımsızlıkları da güvence altındadır. Bu olgu parçalı bağımsızlık olarak adlandırılmaktadır.
X ve Y bağımsız ise, E beklenti işleci
E[X Y] = E[X] E[Y]koşulunu sağlar. Varyans için
var(X + Y) = var(X) + var(Y)eşitliği yazılabilirken kovaryans cov(X,Y) sıfıra eşittir. Bu ifadenin tersi ("iki rassal değişkenin kovaryansı 0 ise bu değişkenler bağımsızdırlar" önermesi) doğru değildir.

Bunlara ek olarak, iki tane X ve Y rassal değişkeni, FX(x) ve FY(y) dağılım fonksiyonları ve fX(x) ve fY(y) olasılık yoğunlukları gösteriyorlarsa, bu iki rassal değişkenin birbirinden bağımsız olmaları için, bileşik rassal değişken (X,Y) nin şu ortak dağılımı olması gerekir:
FX,Y(x,y) = FX(x)FY(y),ya da buna eşit olarak
fX,Y(x,y) = fX(x)fY(y).ortak yoğunluk göstermelidir.

İki rassal değişkenden daha fazla sayıda rassal değişkenler olma halinde bağımsızlık da daha genel olarak buna benzer ifadeler ile karakterize edilirler.

Koşullu bağımsız rassal değişkenler
Ana madde: Koşullu bağımsızlık
Sezgi ile ele alınırsa, iki rassal değişken X ve Y nin birbirinden koşullu bağımsız olmaları için, bir Z verilirse ve eğer Z değeri bilinirse, Y değerini bilmenin X hakkında bilgimize hiçbirsey eklememesi gerekir. Örnegin, altlarından Z miktarına bağlılıkları olduğu kabul edilen, X ve Y değişkeni ölçümleri birbirinden bağımsız değildir; ama (iki olçümdeki yapılan hatalar herhangi bir şekilde birbirine ilişkili değilse) 'bu iki değişken, verilmiş bir Z şartına bağlı koşutlu değişkenlerdir.Koşullu bağımsızlık kavramının daha formel bir tanımlaması koşullu dağılım kavramına dayandırılır. Eğer X, Y ve Z ayrık rassal değişken iseler, o halde X ve Y değişkenlerinin Z verilmişine koşullu bağımsız olmaları için şart şudur:

Her x, y ve z için P(Z ≤ z) > 0 olursa
$d7cfb9b9516a4aa7486c9688faaa190b$ Diğer taraftan, eğer X, Y ve Z sürekli rassal değişken iseler ve p ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunmakta ise; o halde X ve Y değişkenlerinin Z verilmişine koşullu bağımsız olmaları için şart şudur: Her x, y ve z gerçel sayılar için pZ(z) > 0 olursa
$ffe73df8eec2f71710f711c91b8cf8d7$ Bu demektir ki Y ve Z verilirse X için koşullu dağılım, sadece Z için dağılımın aynıdır. Sürekli halde de koşutlu olasılık yoğunluk fonksiyonları için de bir benzer denklem verilebilir.Olasılık bir çeşit hiç verilmiş olay olmayan koşutlu olasılık olduğu için, bağımsızlık koşutlu bağımsızlığın özel bir hali olarak görülebilir.

Bu mesaj 'en iyi cevap' seçilmiştir.

Bağımsız Olay

Bir olay, diğer bir olayın gerçekleşmesinden etkilenmiyorsa bu olay bağımsız olay olarak tanımlanır. Bağımsız olay, P( A )=P(A\B) ve P(AnB)=P( A ).P( B ) şeklinde ifade edilir!

Örnek Soru: Bir madeni paranın ve zarın birlikte atılması olayında madeni paranın tura, zarın tek sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm: Madeni para olayı ile zar olayı bağımsız olaylardır. Madeni paranın tura gelmesi olayı A ve zarın tek sayı gelmesi olayı da B ile ifade edilirse sonuç, P(AnB)=P( A ).P( B ) => 1/2.3/6=1/4 bulunur!

Bağımlı Olay

Birden fazla olayın gerçekleşmesi birbirinden etkileniyorsa bu olaylar bağımlı olay olarak tanımlanır.Bağımlı olay P(A ve B)=P( A ).P(A'ya bağlı B) şeklinde ifade edilir!

Örnek Soru: İçerisinde 2 mavi, 4 yeşil ve 4 gri top bulunan bir kutudan art arda ve geri bırakılmadan 2 top çekiliyor, çekilen topların ikisinin de gri gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm: P(A ve B)=P( A ).P(A'ya bağlı B) => 4/10.3/9=2/15 bulunur!

Bağımlı ve bağımsız olayla ilgili soru cevap örnekleri verir misiniz?

Benzer Konular

Benzer Konular

MsXLabs Üye Girişi

Bağımlı ve bağımsız olayla ilgili soru cevap örnekleri verir misiniz?

Benzer Konular

Benzer Konular