Multinom Dağılımı
Ziyaretçi
Multinom dağılımı
Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, multinom dağılımı binom dağılımının genelleştirilmesidir.
Binom dağılım n sayıda herbiri istatistiksel olarak bağımsız olan 'Bernoulli denemeleri içinde herbir deneme için başarı olasılığı bilinip ve aynı olursa elde edilebilen başarılı sonuç sayısının olasılık dağılımıdır.
Bir multinom dağılımında her deneme sonlu bir sabit olan k sayıda mümkün sonuçdan sadece tek birinin gerçekleşmesi ile son bulur. Bu k sayıda mümkün sonucun her biri için sabit olasılıklar, yani
p1, ..., pk bulunmaktadır; bunlar için
pi ≥ 0 eger i = 1, ..., k ve
n sayıda bağımsız deneme yapılır.
O zaman rassal değişkenler olan Xi n deneme yapılırsa i sayılı sonucun gözümlenmesi sayısını ifade
eder.
ifadesi ise n ve vektör p parametreleri olan bir multinom dağılımı
gosterir. Vektör p=(p1, ..., pk) olarak da yazılabilir.
Tanımlama
Olasılık kütle fonksiyonu
Multinom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şudur:
burada x1, ..., xk negatif olmayan tamsayılardır.
Özellikleri
Beklenen değer şudur:
Kovaryans matrisi şöyle gösterilir:
Bu matrisin orta çarpazında bulunan elemanlar bir binom dağılımlı rassal değişken için varyansdırlar:
Orta çapraz dışındakı elemenlar kovaryans değerleridir:
Burada i, j birinden her zaman farklıdır.
Bütün kovaryans değerleri negatif işaretlidir; çünkü sabit bir N değeri için, bir multinom vektörünün bir parçasında olan artış, diğer bir parçasında bir düşüş olmasını gerektirir.
Bu kovaryans matrisi rankı k − 1 olan bir k × k büyüklüğünde bir matristir.
Bununla ilişkili olan bir diğer matrik corelasyon matrisidir. Korelasyon matrisinin ana çapraz dışı elemanlari şöyle bulunurlar:
ve ana çapraz elemanlarının 1 olduğu aşikardır. Dikkat edilirse bu matris elemanlarının hesaplanmasında örneklem büyüklüğü hiç rol oynamaz. Bu matrisin her bir k parçası uygun bir i indeksi için ayrı ayrı olarak n ve pi parametreleri olan bir binom dağılımı gösterir.
Bir multinom dağılımı için destek
değerinde sağlanır ve bunun eleman sayısı
olur. Bu k tipte olan bir multiset n-kombinasyonudur.
Sponsorlu Bağlantılar
Binom dağılım n sayıda herbiri istatistiksel olarak bağımsız olan 'Bernoulli denemeleri içinde herbir deneme için başarı olasılığı bilinip ve aynı olursa elde edilebilen başarılı sonuç sayısının olasılık dağılımıdır.
Bir multinom dağılımında her deneme sonlu bir sabit olan k sayıda mümkün sonuçdan sadece tek birinin gerçekleşmesi ile son bulur. Bu k sayıda mümkün sonucun her biri için sabit olasılıklar, yani
p1, ..., pk bulunmaktadır; bunlar için
pi ≥ 0 eger i = 1, ..., k ve
n sayıda bağımsız deneme yapılır.O zaman rassal değişkenler olan Xi n deneme yapılırsa i sayılı sonucun gözümlenmesi sayısını ifade
eder.
ifadesi ise n ve vektör p parametreleri olan bir multinom dağılımı gosterir. Vektör p=(p1, ..., pk) olarak da yazılabilir.
Tanımlama
Olasılık kütle fonksiyonu
Multinom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şudur:
burada x1, ..., xk negatif olmayan tamsayılardır.
Özellikleri
Beklenen değer şudur:
Kovaryans matrisi şöyle gösterilir:Bu matrisin orta çarpazında bulunan elemanlar bir binom dağılımlı rassal değişken için varyansdırlar:
Orta çapraz dışındakı elemenlar kovaryans değerleridir: Burada i, j birinden her zaman farklıdır.Bütün kovaryans değerleri negatif işaretlidir; çünkü sabit bir N değeri için, bir multinom vektörünün bir parçasında olan artış, diğer bir parçasında bir düşüş olmasını gerektirir.
Bu kovaryans matrisi rankı k − 1 olan bir k × k büyüklüğünde bir matristir.
Bununla ilişkili olan bir diğer matrik corelasyon matrisidir. Korelasyon matrisinin ana çapraz dışı elemanlari şöyle bulunurlar:
ve ana çapraz elemanlarının 1 olduğu aşikardır. Dikkat edilirse bu matris elemanlarının hesaplanmasında örneklem büyüklüğü hiç rol oynamaz. Bu matrisin her bir k parçası uygun bir i indeksi için ayrı ayrı olarak n ve pi parametreleri olan bir binom dağılımı gösterir.
Bir multinom dağılımı için destek
değerinde sağlanır ve bunun eleman sayısı olur. Bu k tipte olan bir multiset n-kombinasyonudur.
