CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ.

Babil, Mısır ve Eski Yunanda cebir

Cebir, matematiğin ilk gelişme aşamalarında ve büyük olasılıkla Babilliler zamanında aritmetikten ayrılmaya başladı. Hammurabi hanedanı döneminden (IÖ 1800-1600) günümüze ulaşan çivi-yazılı matematik cetvelleri birçok cebir problemi içermektedir. Babilliler ikinci dereceden denklemleri tabloların yardımıyla ya da günümüzdeki gibi karekök içeren formüllerle çözmesini biliyorlardı, ikinci dereceden denklemler x+(l!x) = a biçiminde ya da iki bilinmeyenli olarak x+y=a, xy-b biçiminde ifade ediliyordu. Babilliler ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen dördüncü dereceden denklemlerle bazı üçüncü dereceden denklemler x+(l/x)=a biçiminde ya da iki bilinmeyenli olarak x+y=a, xy-b uzunluklarına ilişkin x2+v2=z2 denkleminin tamsayılı çözümlerini (Pythagoras sayıları) bulabiliyorlardı. Aritmetik dizilerin toplamı da biliniyordu.
Mısırlıların cebir bilgileri Babillilere göre çok daha sınırlıydı. Rhind papirüsü olarak bilinen yazmadaki problemler daha çok birinci dereceden denklemleri içermektedir.
Babil ve Anadolu kültürleri Eski Yunan kültürünü büyük ölçüde etkilemiştir. Yunanlıların cebir bilgileri de Babil ve Anadolu’dan kaynaklanmıştır. Ama Yunanlılarda cebir, büyük ölçüde geometriye dayandırılmıştır. Örneğin Eukleides’in Stoikheia (İÖ y. 300; Elemanlar) adlı yapıtında nicelikler doğru parçalarının uzunlukları olarak; iki sayının çarpımı, bir dikdörtgenin alanı olarak; üç sayının çarpımı da bir dikdörtgenler prizmasının hacmi olarak ele alınır. b2 =x(x+a) biçimindeki bir ikinci dereceden denklemin çözümü, kenar uzunlukları x ve (x+a) olan, alanı da b kenarlı bir karenin alanına eşit olan dikdörtgenin bulunmasına dönüşür. Cebiri geometriye dayandıran bu görüşün etkisiyle konikler kuramı geliştirilmiş, bu kuram Pergeli Apollonios’un Konikler (İÖ 220) adlı yapıtında doruğa ulaşmıştır. Daha sonraki İskenderiye döneminin matematikçileri Babil kaynaklarına daha yakındılar. Cebir alanında bu dönemin en önemli yapıtı Diophantos’un Arithmetika’sidir (İS 200). Bu yapıttaki problemlerin çoğu, günümüzde Diophantos denklemi olarak adlandırılan türdendir. Cebirsel simgelerin kullanımı da dikkat çekicidir. Diophantos, bilinmeyen niceliği 5 olarak gösteriyor, eksi için de özel bir simge kullanıyordu.

Hindistan ve İslam dünyası

Hindistan, Çin ve Japonya’da cebrin gelişmesine ilişkin bilgiler sınırlıdır. Bu ülkelerde cebirin başlangıcı Babil ve Eski Yunan etkilerine bağlanmaktadır. Hintli matematikçi Brah- magupta’nın denklem çözümü konusundaki yapıtı (y. 630) Diophantos’tan çok ilerdedir. Bhaskara’nın 1150 dolaylarında yazdığı kitaplar büyük önem taşır. Bhaskara, negatif sayılara ilişkin hesaplama kurallarını vermiş; pozitif bir sayının iki tane karekökü olduğunu, negatif sayıların karekökünün bulunmadığını belirtmiştir. Yapıtlarında bilinmeyenleri renk adlarıyla anan, negatif sayıları üzerlerine nokta koyarak gösteren, üstler ve kökler için bunları ifade eden sözcüklerin baş harflerini ya da ilk hecelerini kullanan Bhaskara, cebirde simge kullanımının öncülerindendir.

Müslümanlığın ortaya çıkmasından kısa süre sonra İslam dünyası matematik çalışmalarının merkezi durumuna geldi. İslam bilginleri, Eski Yunan’dan ulaşan yapıtlara, geometri geleneği içinde şerhler yazdılar. Ayrıca cebire özgün katkılar getiren birçok bilgin yetişti. Üçüncü dereceden denklemler 9. yüzyılın ortalarında el-Mahani ve Sabit bin Kurra tarafından, bundan 150 yıl sonra da İbnü’l-Heysem tarafından ele alındı; 12. yüzyılın başında matematikçi ve şair Ömer Hayyam tarafından geniş bir biçimde incelendi. Hayyam, bu denklemleri, konikleri kesiştirme yoluyla çözüyordu. Bu dönemin en önemli yapıtı, Harizmi’nin Hisabü’l- Cebr ve’l-Mukabele (y. 825) adlı kitabıdır. (“Cebir” ve bunun Batı dillerindeki karşılığı olan algebra, algebre sözcükleri bu kitabın adından; günümüzde yaygın olarak kullanılan “algoritma” sözcüğü de Harizmi’nin Batı dillerinde bozularak aldığı biçim olan al-Khwarizmi [al-Horizmi sözcüğünden gelmektedir.) Harizmi’nin bu yapıtı Latinceye ve başka Batı dillerine çevrilmiş ve Batı’da uzun süre büyük etkisi olmuştur. Harizmi’de simgesel gösterilim hemen hemen yoktu, yalnızca denklemlerdeki bilinmeyen nicelikler için “şey” sözcüğünü kullanıyordu.

İslam cebiri 13. ve 14. yüzyıllarda çeviriler yoluyla Avrupa’ya, özellikle İtalya’ya geçti. Bu süreçte en önemli yapıt Leonardo Pisano’nun Liber Abaci (1202; Abaküs Kitabı) adlı yapıtıdır. İslam matematikçilerinin etkisiyle, bilinmeyen niceliğe Latince res, İtalyanca cosa (şey) deniyordu. O dönem İtalyancasında cebir anlamına Varte della cosa (şey sanatı) ya da daha önemsiz görülen aritmetiğe oranlanarak ars magna (büyük sanat) adı veriliyordu.

Ortaçağ ve sonrasında Avrupa

Üçüncü dereceden denklem, x+ax=b biçimiyle, 1515’te Bologna Üniversitesi profesörlerinden Scipione del Ferro tarafından cebirsel olarak çözüldü. Bu buluşunu gizleyen del Ferro’nun ölümünden sonra, öğrencilerinden Niccolö Tartaglia çözümü yeniden buldu ve Milanolu hekim Gerolamo Cardano’ya, açığa vurmaması koşuluyla bildirdi. Cardano, sözünde durmayarak, çözüm yöntemini çoğunlukla Ars magna olarak bilinen Artis magnae şive de regulis algebraicis liber unus (1545; Büyük Sanat ya da Cebir Kuralları Üstüne Birinci Kitap) adlı yapıtında yayımladı. Üçüncü dereceden denklemin çözümlerini veren formül, günümüzde de Cardano formülü olarak bilinir. Rönesans’ın en önemli cebir kitabı olan ve Avrupa’da cebirin yaygınlaşmasında ve gelişmesinde önemli rol oynayan bu yapıtta, Cardano, hizmetinde çalışan Lodovico Ferrari’nin bulmuş olduğu dördüncü dereceden denklemlerin çözümü yöntemini de vermiştir. Bu yapıtta, bir denklemin katsayıları ile kökleri arasındaki ilişkiler İncelenmekte, hatta sanal sayılarla hesaplamalar bulunmaktadır.

Cebirde simge kullanılması konusunda Raffaello Bombelli’nin (y. 1560) katkısı olmuşsa da, bu alanda ilk sistematik çalışmayı Fransız matematikçi François Viete, Isagoge in artem analyticam (1591; Analiz Sanatına Giriş) adlı yapıtında ortaya koymuştur. Descartes, bilinmeyen niceliklerin alfabedeki son harflerle (x, y, z), bilinenlerin de ilk harflerle (a, b, c) simgelenmesini başlatmış; sayıların kare, küp gibi kuvvetlerini günümüzdeki biçimde üst rakamları kullanarak ifade etmiştir. Eşit (=) işaretini ilk kullanan, büyük olasılıkla, Robert Recorde olmuş (1557), kökler için kesirli üst kullanılmasını John Wallis ve Isaac Newton 17. yüzyılda başlatmışlardır.
Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde önemli bir araç olan determinant kavramı ilk olarak Leibniz tarafından 1693’te ortaya atıldı, n bilinmeyenli n tane doğrusal denklemden oluşan sistemin determinantlar yardımıyla çözülmesini sağlayan Cramer yöntemi, 1750’de İsviçreli fizikçi Gabriel Cramer tarafından geliştirildi. Determinantlar kuramını sistematik olarak ele alan ilk matematikçiler Alexander-Theophile Vandermonde (1771) ve Pierre-Simon Laplace (1772) oldu.

Ama determinantların yaygın biçimde kullanılması, AugustinLouis Cauchy ve Kari Jacobi’nin kuramda sağladıkları gelişmelerden sonra gerçekleşebildi (1812). Matris kavramını ise ilk kez İngiliz asıllı ABD’li matematikçi James Joseph Sylvester 1850’de ortaya attı. 1855’te Arthur Cayley, doğrusal dönüşümlerin matrislerle temsil edilebileceğini ve ardışık dönüşümlerin, bunları temsil eden matrislerin (belli bir kurala göre) çarpımlarına karşılık geldiğini gösterdi, matris çarpımını tanımladı, bir kare matrisin tersini determinantlar cinsinden ifade etti ve1858’de eksiksiz bir matis cebirini ortaya koydu. Vektör cebirinin temellerini atan ve vektör uzayı kavramını ortaya koyan İrlandalI matematikçi Sir William Rowan Hamilton’un da matris cebirine büyük katkıları oldu. Matrisler kuramı gelişmesini 20. yüzyılda da sürdürdü. Matrisler yerine, matrislerin temsil ettiği doğrusal dönüşümler giderek daha önem kazandı ve doğrusal cebir, 20. yüzyılda, bir vektör uzayının doğrusal dönüşümlerinin incelenmesi biçimini aldı.

Cebirde önemli bir yeri olan ikiterimli teoremi eskiden beri biliniyor ve 16. yüzyılda yaygın olarak kullanılıyordu. Bu teoremin genelleştirilmiş biçimi olan katlı-terimli (multinom) teoremini ise büyük olasılıkla ilk kez Leibniz ortaya koymuştur.
Analitik geometrinin Descartes, diferansiyel ve integral hesabın da Newton ve Leibniz tarafından geliştirilmesinin, cebirin gelişmesine büyük katkısı oldu. Böylece, Eski Yunan’daki geometrik cebir yaklaşımı, yerini cebirsel geometri yaklaşımına bıraktı. Cebirsel eğrilerin incelenmesi, denklem sistemlerinin çözümünde yeni kavram ve yöntemlerin geliştirilmesine yardımcı oldu.

Cebirsel denklemlerin özelliklerinin incelenmesi, bu denklemlerin köklerinin gerçek sayılar olabileceği gibi, negatif sayıların kareköklerini içeren sayılar da olabileceğini ortaya çıkardı. Cardano, toplamları 10’a, çarpımları da 40’a eşit iki sayının bulunması probleminde, bu sayıların 5 +VT5 ve 5-VÎ5 olması gerektiğini belirterek ilk kez karmaşık sayıları kullanmış oldu. Negatif bir sayının karekökü anlamsız göründüğü için böyle sayılara “sanal sayılar” adı verildi. Gerçek ve sanal sayıların toplamından oluşan (örn. 5 + VL5 = 5+i VÎ5) sayılar için “karmaşık sayı” terimini Gauss önermiştir (1832). Karmaşık sayıların geometrik göste- rilimini ilk olarak 1799’da Norveç asıllı DanimarkalI matematikçi Caspar Wessel ortaya koymuş, bu buluş uzun yıllar dikkat çekmemiş, gösterilim 1806’da Jean Robert Argand ve 1831’de Gauss tarafından yeniden bulunmuştur. Karmaşık sayıların matematiğe tam olarak kazandırılması ise Sir William Rowan Hamilton tarafından gerçekleştirilmiştir.

“Cebirin temel teoremi” adı verilen ve M’inci dereceden bir denklemin n tane kökü olacağını belirleyen teorem, ancak karmaşık sayıların da göz önüne alınması durumunda geçerlidir. Denklemlerin köklerinin sayısına ilişkin bu gerçek, üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler için Cardano tarafından daha 16. yüzyılda biliniyordu. Fransız matematikçiler Albert Gerard (1629) ve Descartes da aynı savı ileri sürmüşlerdir. Teoremin tam olarak kanıtlanmasını ise Gauss, 1799’da doktora tezinde ortaya koydu. Cardano’nun üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlere ilişkin yöntemleri, daha yüksek dereceden denklemlerin kökleri için de benzer (yalnızca cebirsel işlemlere, yani toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üst ve kök almaya dayanan) yöntemler bulunup bulunmadığı konusunda yoğun araştırmalann 17. ve 18. yüzyıl boyunca sürdürülmesine yol açtı. Aralarında ünlü Joseph-Louis Lagrange’ın da bulunduğu pek çok matematikçinin böyle bir yöntemi bulmakta başarısızlığa uğraması, böyle yöntemlerin varlığı konusunda giderek artan kuşkuların oluşmasına neden oldu. Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızca cebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesinin olanaksızlığı, ilkin 1803-05 arasında Paolo Ruffini tarafından öne sürüldü ve Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel tarafından, beşinci dereceden denklemler için kanıtlandı.

Abel’den bağımsız olarak 1831’de aynı sonuca varan Fransız matematikçi Evariste Galois, oluşturduğu denklemler kuramını matematikte yeni bir kavram olan gruplar
kuramına dayandırmıştı. Yirmi yaşında bir düelloda öldürülen Galois, ölümünden bir gece önce bir arkadaşına aceleyle yazıp bıraktığı bir mektupta, günümüzde Galois kuramı olarak bilinen kuramı ortaya koydu. Cebirsel işlemlere dayanan yöntemlerle çözülemeyen beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin varlığını kanıtlayan Galois, gruplar kuramını sistematik bir biçimde uygulayarak, bir denklemin cebirsel işlemlerle çözülebilmesi için denkleme ilişkin ve belli bir biçimde tanımlanmış bir grubun belirli özellikler taşıması gerektiğini gösterdi. Giderek tüm matematiğin en önemli kavramlarından birini oluşturan grupların günümüz kuramsal fiziğinde de önemli bir yeri vardır. Gruplar kuramına katkısı olan matematikçiler arasında, Abel ve Galois’dan başka, Camille Jordan, Christian Felix Klein ve Marius Sophus Lie ile sonlu gruplan inceleyen Ferdinand Georg Frobenius, IssaiSchur,WilliamBurnside, Emile Artin ve Richard Brauer anılabilir. Halka kavramı, 19. yüzyılda bölünebilme ve çarpanlara ayrılabilme problemlerinin incelenmesinde ve Fermat’mn büyük teoremini kanıtlama çabalarına bağlı olarak ortaya kondu. Halka kuramına, aralarında Eduard Kummer, Richard Dedekind, David Hilbert, Emmy Noether ve John von Neumann’ın da bulunduğu pek çok matematikçi katkıda bulunmuştur.