Cebirsel Geometri

cebirsel geometri

geometrik şekillerin cebirsel yöntemlerle incelenmesi.

İÖ 1700’lerden kalma bir Babil kaydında, dikdörtgene ilişkin bir problemin tanımlanmasında bilinmeyenlerin kullanıldığı görülmüştür; bu kayıt, bilinen ilk cebirsel geometri örneğidir. Eski Yunan matematikçileri ise, belirli bir küpün iki katı hacmindeki yeni bir küpün kenar uzunluğunu bulmaya uğraşmışlardı: Eldeki küpün kenar uzunluğu a, aranan küpün kenar uzunluğu da x plarak gösterilirse, x3=2a3 denklemi yazılır İÖ 430’larda Khioslu Hippokrates, problemi, a/x = xly =y/2a olmak üzere x ve y değerlerinin bulunmasına yönelik olarak yeniden kurdu. İÖ 350’lerde ise Menaikhmos dik açılı koordinatlar sisteminde (x,y) koordinattı noktaların x2 = ay olacak biçimde ve xy=2a2 olacak biçimde geometrik yerlerini inceledi ve böylece, birincisini parabol, İkincisini de hiperbol olarak tanımladığı bu eğrilerin kesişme noktalarından x ve y değerlerini buldu.

17. yüzyıl Fransız matematikçileri Rene Descartes ve Pierre de Fermat, konikleri incelemişler ve bu eğrilerin, x ve y ikinci dereceden cebirsel denklemleri sağlayan değerler olmak üzere, (x,y) koordinattı noktaların geometrik yerleri olduğunu görmüşlerdi. Daha sonra Isaac Newton, üçüncü dereceden çokterimli denklemleri inceleyerek, bunlara ilişkin geometrik yerler olan kübikleri 72 tür altında sınıflandırdı. Bu nedenlerle Descartes, Fermat ve Newton, cebirsel düzlem eğrilerinin incelenmesini başlatan matematikçiler olarak kabul edilirler. Herhangi bir dereceden çokterimliyi sağlayan noktaların geometrik yeri olan bu eğriler, cebirsel geometrinin temel konularından birini oluşturur.

Modern cebirsel geometrinin alanı ve genel kapsamı, izdüşümsel geometriden bazı fikirlerin uyarlanmasıyla genişletilmiştir. Örneğin, iki ayrık doğrunun tek noktada kesişmesi gerekir. Bu, doğruların paralel olması durumu dışında, geçerlidir. Bu ayrıcalık da, “sonsuzdaki noktalar” kavramı getirilip, doğruların izdüşümsel düzlemdeki görüntüleri ele alınarak, teknik açıdan giderilebilir. Düzlem geometri eğrileri, izdüşümsel düzlemde, homojen çokterimli denklemlerle ifade edilirler (bir çokterimli- de terimlerin dereceleri eşit ise o çokterimliye homojen denir), izdüşüm düzleminde, paralel olsun ya da olmasın, herhangi iki ayrık doğru, yalnızca bir noktada kesişir. Teğet eğrilerin kesişme noktaları sayısının hesaplanmasında çıkan güçlük de, bir değme noktasını iki katlı sayarak aşılabilmektedir.

Bu gelişmelerdeki bazı tipik olgular vurgulanabilir. Geometrinin incelenmesi sürecinde, geometrinin tanımına ilişkin anlayış da değişmekte ve yeni cebirsel yöntemler geliştirilmektedir. Bir karmaşık sayılar düzlemi olan izdüşüm düzlemindeki bir eğriyi, afin (ilgin) düzlemdeki gerçek bir eğri gibi algılama olanağı bulunmasa da, geometrinin mantıkla yönetilen terminolojisi geçerliliğini korumaktadır.

Düzlemde bir nokta, (x,y) gibi iki koordinatla, adi uzayda ise, (x,y,z) gibi üç koordinatla verilir, n, herhangi bir pozitif tamsayı olmak üzere, (;,...,tn) sayılar dizisine, n- boyutlu afin uzayın bir noktası denebilir, n- boyutlu uzayda bir cebirsel çeşitlem (varye- te) Fj (x1,...,xn)=0,F2 (x1,...rı:n) = 0, çok- terimli denklemler sistemini sağlayan noktalar kümesi olarak tanımlanır. Bu geometrik biçimler ve bunların genelleştirilmeleri, cebirsel geometrinin bellibaşlı inceleme konularıdır.

BAKINIZ
Cebir
Cebirin Tarihsel Gelişimi