Helmholtz denklemi Hermann von Helmholtz'un ardından adlandirilan
Helmholtz denklemi veya
indirgenmiş dalga denklemi
biciminde tanimli 2. dereceden bir eliptik kismi türevli diferansiyel denklemdir. Burada
![6dd8035713e67f816cb0b819cf492ffd - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 6dd8035713e67f816cb0b819cf492ffd](http://upload.wikimedia.org/math/6/d/d/6dd8035713e67f816cb0b819cf492ffd.png)
(Δ biciminde de gosterilir)
Laplasyen operatörünü,
k(
x) ortamın dalga sayısını ve
u(
x) dalga davranışı gösteren bilinmeyen fonksiyonu göstermektedir.
Homojen olmayan Helmholtz denklemi ![2d657179a4e88bc9c71f686126202c8c - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 2d657179a4e88bc9c71f686126202c8c](http://upload.wikimedia.org/math/2/d/6/2d657179a4e88bc9c71f686126202c8c.png)
Bu durumda denklem fiziksel acidan u(.) alaninin f(.) kaynak dagilimi tarafindan yaratildigi biciminde yorumlanir.
Uygulama Alanları
Helmholtz denklemi zamanla harmonik degisim gosteren elektromagnetik veya akustik dalgalarla uyarılmış ortamlardaki alan dagılımını modellemek için kullanılır.
Laplace denklemi Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa
Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir
kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim
potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda
potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.
Tanım
Üç boyutta, problem
x,
y ve
z gibi üç gerçel değişkene sahip, iki kere
türevlenebilir, gerçel değerli ve
![6c453bbba5ead2472d8de54e81346dd2 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 6c453bbba5ead2472d8de54e81346dd2](http://upload.wikimedia.org/math/6/c/4/6c453bbba5ead2472d8de54e81346dd2.png)
denklemini sağlayan bir
![455136e0a43e7634fcc7d2904c0612d9 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 455136e0a43e7634fcc7d2904c0612d9](http://upload.wikimedia.org/math/4/5/5/455136e0a43e7634fcc7d2904c0612d9.png)
fonksiyonu bulmaktır.
Çoğunlukla bu denklem
![9c395b52797ecaeea2a3b64db77a2f76 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 9c395b52797ecaeea2a3b64db77a2f76](http://upload.wikimedia.org/math/9/c/3/9c395b52797ecaeea2a3b64db77a2f76.png)
denklemi olarak veya div'in
diverjansı ve grad'ın ise
gradyanı temsil ettiği
![ed93285e3f0a01e2356cb5f627a0e842 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? ed93285e3f0a01e2356cb5f627a0e842](http://upload.wikimedia.org/math/e/d/9/ed93285e3f0a01e2356cb5f627a0e842.png)
denklemi olarak veya Δ'nın
Laplace operatörü olduğu
![df13f685f36677dcd8ad028b0407b88f - Denklem nedir, örnek verir misiniz? df13f685f36677dcd8ad028b0407b88f](http://upload.wikimedia.org/math/d/f/1/df13f685f36677dcd8ad028b0407b88f.png)
denklemi olarak yazılır.
Laplace denkleminin çözümlerine aynı zamanda
harmonik fonksiyonlar da denmektedir.
Denklemin sağ tarafı eğer belli bir
f(
x,
y,
z) fonksiyonu şeklinde verilirse, yani denklem
![22cf52f7001640f62d92e3b6d869c5a5 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 22cf52f7001640f62d92e3b6d869c5a5](http://upload.wikimedia.org/math/2/2/c/22cf52f7001640f62d92e3b6d869c5a5.png)
olarak ifade edilirse, o zaman denkleme "
Poisson denklemi" adı verilir.
Laplace ve Poisson denklemleri
eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en basit örnekleridir. Kısmi diferansiyel operatörü olan ve herhangi bir boyutta tanımlanabilen
![2930f8a6be737bc5f44b61e4ef547a2c - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 2930f8a6be737bc5f44b61e4ef547a2c](http://upload.wikimedia.org/math/2/9/3/2930f8a6be737bc5f44b61e4ef547a2c.png)
'ye veya
![a5f63bbbc0382fbffbca3fe492424444 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? a5f63bbbc0382fbffbca3fe492424444](http://upload.wikimedia.org/math/a/5/f/a5f63bbbc0382fbffbca3fe492424444.png)
'ya
Laplace operatörü veya kısaca
Laplasyen denmektedir.
Sınır koşulları
Laplace denklemi için
Dirichlet problemi bir
D bölgesi üzerinde tanımlı ve verilmiş başka bir fonksiyona
D 'nin sınırı üzerinde eşit olan bir
![3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb](http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png)
fonksiyonu bulmaktan ibarettir. Laplace operatörü
ısı denkleminde yer aldığı için, problemin bir diğer yorumu da şöyledir: Bölgenin sınırındaki sıcaklık sabit tutulur ve bölgenin iç tarafındaki sıcaklık artık değişmeyecek şekilde beklenilir. İç bölgedeki sıcaklık dağılımı artık ilişkin Dirichlet probleminin çözümü tarafından verilecektir.
Laplace denklemi için
Neumann sınır koşulları D'nin sınırında
![3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb](http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png)
fonsiyonunu belirtmez ancak bu fonksiyonun normal türevini belirtir. Fiziksel olarak bu durum, yalnız
D'nin sınırında etkisi bilinen bir vektör alanı için olan bir potansiyelin inşasına (oluşturulmasına) denk gelmektedir.
Laplace denkleminin çözümlerine
harmonik fonksiyonlar denilmektedir ve bu fonksiyonların hepsi denklemin sağlandığı bölge içinde
analitiktir. Eğer iki fonksiyon Laplace denkleminin (veya herhangi doğrusal homojen diferansiyel denklemin) çözümüyse, toplamları (veya herhangi doğrusal kombinasyonları) da ayrıca bir çözümdür.
Süperpozisyon ilkesi de denilen bu özellik özellikle karmaşık problemlerin basit çözümlerin toplanılması yoluyla yapılan çözümlerinde çok yararlıdır.
İki boyutta Laplace denklemi
İki değişkenli Laplace denklemi
![935214da7278b6735c52bfc135ede9f4 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 935214da7278b6735c52bfc135ede9f4](http://upload.wikimedia.org/math/9/3/5/935214da7278b6735c52bfc135ede9f4.png)
formuna sahiptir.
Analitik fonksiyonlar
Karmaşık analitik bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmının her ikisi de Laplace denklemini sağlar. Eğer
z=
x+
iy ise ve
![383c284fce1ef81b5dd9720de2be0168 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 383c284fce1ef81b5dd9720de2be0168](http://upload.wikimedia.org/math/3/8/3/383c284fce1ef81b5dd9720de2be0168.png)
ise, o zaman
f(
z) 'nin analitik olması için gerekli koşul aşağıdaki Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanmasıdır:
![f8433a0e7d3360f369293a16ee4e0439 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? f8433a0e7d3360f369293a16ee4e0439](http://upload.wikimedia.org/math/f/8/4/f8433a0e7d3360f369293a16ee4e0439.png)
Takip eden ifade ise
![6ae79c5ffb92cf4bad9ef700b8c3772c - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 6ae79c5ffb92cf4bad9ef700b8c3772c](http://upload.wikimedia.org/math/6/a/e/6ae79c5ffb92cf4bad9ef700b8c3772c.png)
olacaktır. Bu yüzden
u Laplace denklemini sağlar. Benzer bir hesaplama yine
v 'nin de Laplace denklemini sağladığını gösterir.
Aksine diğer taraftan bir harmonik fonksiyon verilirse, bu fonksiyon analitik bir
f(
z) fonksiyonunun gerçel kısmı olur (en azından yerel olarak). Eğer
![18f1acfafc7f122b33c4283a783f3487 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 18f1acfafc7f122b33c4283a783f3487](http://upload.wikimedia.org/math/1/8/f/18f1acfafc7f122b33c4283a783f3487.png)
olarak alınırsa ve
![394297676ed570bfc209c958859fcdaa - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 394297676ed570bfc209c958859fcdaa](http://upload.wikimedia.org/math/3/9/4/394297676ed570bfc209c958859fcdaa.png)
şartı konulursa, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri sağlanacaktır.
Bu ilişki ψ'yi belirlemese de artışlarını belirler:
![4b184edc0e74984116769084610d6204 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 4b184edc0e74984116769084610d6204](http://upload.wikimedia.org/math/4/b/1/4b184edc0e74984116769084610d6204.png)
φ için Laplace denklemi ψ'nin integrallenebilme koşulunun sağlandığını gösterir:
![9c48be4bb054ceed6e5b2e04011a62df - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 9c48be4bb054ceed6e5b2e04011a62df](http://upload.wikimedia.org/math/9/c/4/9c48be4bb054ceed6e5b2e04011a62df.png)
ve bu yüzden ψ bir çizgi integrali yoluyla tanımlanabilir. İntegrallenebilme koşulu ve
Stoke teoremi iki noktayı birleştiren çizgi integralinin değerinin takip edilen yoldan bağımsız olduğunu gösterir. Laplace denkleminin sonucunda çıkan çözüm çiftine
eşlenik harmonik fonksiyonlar adı verilir. Bu inşa sadece yerel olarak veya takip edilen yolun bir tekilliği çevrelememesi koşuluyla geçerlidir. Örneğin,
r ve θ kutupsal koordinatlar olursa ve
![fedc3941921d8db0688e4588b58c7894 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? fedc3941921d8db0688e4588b58c7894](http://upload.wikimedia.org/math/f/e/d/fedc3941921d8db0688e4588b58c7894.png)
ise, o zaman karşılık gelen analitik fonksiyon
![99288beee039685b2a998da5e996ec47 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 99288beee039685b2a998da5e996ec47](http://upload.wikimedia.org/math/9/9/2/99288beee039685b2a998da5e996ec47.png)
fonksiyonudur. Bununla birlikte, θ açısı orijini çevrelemeyen bir bölge içinde tek (bir) değerlidir.
Laplace denklemi ve analitik fonksiyonlar arasındaki yakın ilişki Laplace denkleminin çözümünün her mertebeden türevi olduğunu gösterir ve bu çözüm en azından bir tekilliği çevrelemeyen bir çember içinde kuvvet serilerine genişletilebilir. Bu durum, daha az düzenliliğe sahip
ısı denklemi çözümleriyle tezat bir haldedir.
Kuvvet serileri ve Fourier serileri arasında sıkı bir ilişki vardır. Bir
f fonksiyonu
R yarıçaplı bir çember içinde kuvvet serisine genişletilirse, bu gerçel ve sanal kısımları
![34af6429a536f889c30608131f238e5e - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 34af6429a536f889c30608131f238e5e](http://upload.wikimedia.org/math/3/4/a/34af6429a536f889c30608131f238e5e.png)
şeklinde olan uygun katsayıların olduğu
![b232afd67fe4594a7071366b863b165e - Denklem nedir, örnek verir misiniz? b232afd67fe4594a7071366b863b165e](http://upload.wikimedia.org/math/b/2/3/b232afd67fe4594a7071366b863b165e.png)
ifadesi anlamına gelir. Bu yüzden,
![eb66a1f4d2016747823336ceb9d5499e - Denklem nedir, örnek verir misiniz? eb66a1f4d2016747823336ceb9d5499e](http://upload.wikimedia.org/math/e/b/6/eb66a1f4d2016747823336ceb9d5499e.png)
olur ki bu da
f 'nin Fourier seridir.
Akışkan akımı u ve
v nicelikleri durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akımın iki boyutta yatay ve dikey bileşenleri olsun. Akımın sıkıştırılamaz olmasının koşulu,
![60a84116deaebc63c7fd3fc9dbfbe653 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 60a84116deaebc63c7fd3fc9dbfbe653](http://upload.wikimedia.org/math/6/0/a/60a84116deaebc63c7fd3fc9dbfbe653.png)
olmasıdır ve akımın dönmez olmasının şartı da
![44c0db739493dab888c0502c5a074f06 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 44c0db739493dab888c0502c5a074f06](http://upload.wikimedia.org/math/4/4/c/44c0db739493dab888c0502c5a074f06.png)
olmasıdır. Bir ψ fonksiyonunun diferansiyeli
![4f119102a1368ff169334a9539683feb - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 4f119102a1368ff169334a9539683feb](http://upload.wikimedia.org/math/4/f/1/4f119102a1368ff169334a9539683feb.png)
olarak tanımlanırsa, o zaman sıkıştırılamama şartı bu diferansiyel için integrallenebilme koşulu olur: Sonuçtaki fonksiyona
akış fonksiyonu adı verilir çünkü bu fonksiyon akım çizgileri boyunca sabittir. ψ'nin birinci türevi
![d0e58d40dbdd70b42878dcaf5aa950af - Denklem nedir, örnek verir misiniz? d0e58d40dbdd70b42878dcaf5aa950af](http://upload.wikimedia.org/math/d/0/e/d0e58d40dbdd70b42878dcaf5aa950af.png)
ile verilir ve sıkıştırılamama şartı ψ 'nin Laplace denklemini sağladığını gösterir. ψ 'ye eşlenik olan harmonik φ fonksiyonuna
hız potansiyeli denilir. Cauchy-Riemann denklemleri
![a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5](http://upload.wikimedia.org/math/a/8/d/a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5.png)
ifadesini verir.
Bu yüzden her analitik fonksiyon düzlemde durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akışkan akıma karşılık gelir. Gerçel kısım hız potansiyeli olurken sanal kısım akış fonksiyonu olur.
Elektrostatik Maxwell denklemleri'ne göre, iki uzay boyutunda yer alan ve zamandan bağımsız olan bir elektrik alanı (
u,
v),
![9ef97336d4df6ddc2f233dfcea549e21 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 9ef97336d4df6ddc2f233dfcea549e21](http://upload.wikimedia.org/math/9/e/f/9ef97336d4df6ddc2f233dfcea549e21.png)
ifadesini ve ρ'nun yük yoğunluğu olduğu
![ca4c5d452fa593d34462eae6c6bf5fe2 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? ca4c5d452fa593d34462eae6c6bf5fe2](http://upload.wikimedia.org/math/c/a/4/ca4c5d452fa593d34462eae6c6bf5fe2.png)
ifadesini sağlar.
Birinci Maxwell denklemi
![9cafca2926f7e3132d08b1f802e40e11 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 9cafca2926f7e3132d08b1f802e40e11](http://upload.wikimedia.org/math/9/c/a/9cafca2926f7e3132d08b1f802e40e11.png)
diferansiyeli için integrallenebilme koşuludur. Böylece elektrik potansiyeli olan φ
![a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5](http://upload.wikimedia.org/math/a/8/d/a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5.png)
ifadesini sağlayacak şekilde inşa edilebilir.
İkinci Maxwell denklemi o zaman
Poisson denklemi olarak ifade edilen
![2ee8084224a41a0ef0a5f50a55ebc488 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 2ee8084224a41a0ef0a5f50a55ebc488](http://upload.wikimedia.org/math/2/e/e/2ee8084224a41a0ef0a5f50a55ebc488.png)
denklemini verir.
İki boyutta kullanılana benzer olarak, Laplace denklemi elektrostatik ve akışkan akımının üç boyutlu problemlerinde de kullanılabilir.
Üç boyutta Laplace denklemi Temel çözüm
Laplace denkleminin temel çözümü, Dirac delta fonksiyonu δ'nın
![41865c489d48d0973fe676592c3e6249 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 41865c489d48d0973fe676592c3e6249](http://upload.wikimedia.org/math/4/1/8/41865c489d48d0973fe676592c3e6249.png)
noktasında toplanmış bir birim kaynağı gösterdiği
![65c691de8785d331a4f6bf9bae6a27e3 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 65c691de8785d331a4f6bf9bae6a27e3](http://upload.wikimedia.org/math/6/5/c/65c691de8785d331a4f6bf9bae6a27e3.png)
denklemini sağlar. Hiçbir fonksiyon bu özelliğe sahip değildir ancak yine de bu, integralleri uzay üzerinde birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya küçülen bir fonksiyonlar limiti olarak düşünülebilir. Temel çözümün tanımı bu yüzden,
u 'nun Laplasyeninin kaynak noktasını çevreleyen herhengi bir hacim üzerinde integrali alındığında, o zaman
![10fa44eac409f72cec621085c958a2b0 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 10fa44eac409f72cec621085c958a2b0](http://upload.wikimedia.org/math/1/0/f/10fa44eac409f72cec621085c958a2b0.png)
olduğunu gösterir.
Laplace denklemi koordinatların rotasyonuyla değişmez kalır ve bu yüzden bir temel çözümün, sadece (kaynak noktasından uzaklığı gösteren)
r 'ye bağımlı olan çözümler arasından elde edilebileceği beklenir. Hacim kaynak noktası etrafında
a yarıçaplı bir top olarak düşünülürse, o zaman Gauss diverjans teoremi
![d995d9a6bec3db5bd222416cae43d659 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? d995d9a6bec3db5bd222416cae43d659](http://upload.wikimedia.org/math/d/9/9/d995d9a6bec3db5bd222416cae43d659.png)
ifadesini verir. O zaman takip eden ifade ise, kaynak noktası etrafında
r yarıçaplı bir küre üzerindeki
![77f3c76c06f698337c5dc990795581af - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 77f3c76c06f698337c5dc990795581af](http://upload.wikimedia.org/math/7/7/f/77f3c76c06f698337c5dc990795581af.png)
ifadesidir ve bu yüzden
![ecfbf9251fa925be5a21da3ee6243cb2 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? ecfbf9251fa925be5a21da3ee6243cb2](http://upload.wikimedia.org/math/e/c/f/ecfbf9251fa925be5a21da3ee6243cb2.png)
olur. Benzer bir hesap ise iki boyutta
![42d28b9ac8e9f032cdde06b1f0c992f4 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 42d28b9ac8e9f032cdde06b1f0c992f4](http://upload.wikimedia.org/math/4/2/d/42d28b9ac8e9f032cdde06b1f0c992f4.png)
olduğunu gösterir.
Green fonksiyonu
Bir
Green fonksiyonu da bir
V hacminin
S sınırındaki uygun şartı sağlayan temel bir çözümdür. Örneğin,
![2185cb8534cf241c736e21b060841239 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 2185cb8534cf241c736e21b060841239](http://upload.wikimedia.org/math/2/1/8/2185cb8534cf241c736e21b060841239.png)
,
![59504226a13618b75265a53c57fb77cf - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 59504226a13618b75265a53c57fb77cf](http://upload.wikimedia.org/math/5/9/5/59504226a13618b75265a53c57fb77cf.png)
ifadelerini sağlayabilir.
Eğer
u,
V üzerinde Poisson denkleminin herhangi bir çözümüyse
![94c3e8c00fb898dde6df3f21548d7fad - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 94c3e8c00fb898dde6df3f21548d7fad](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/c/94c3e8c00fb898dde6df3f21548d7fad.png)
olur ve
u,
S üzerinde
g sınır değerlerini alır. O zaman aşağıdaki eşitlikleri veren (diverjans teoreminin bir sonucu olan)
Green özdeşliğine başvurulabilir:
un ve
Gn gösterimleri
S üzerindeki normal türevleri ifade etmektedir.
u ve
G 'nin sağladığı şartlar bağlamında, bu sonuç
![97b9357c6031b622c5f855a241ab255d - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 97b9357c6031b622c5f855a241ab255d](http://upload.wikimedia.org/math/9/7/b/97b9357c6031b622c5f855a241ab255d.png)
haline gelir.
Bu yüzden, Green fonksiyonu
f ve
g 'nin
![5748b7ec7dd058ca1b48ec42fe291f29 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 5748b7ec7dd058ca1b48ec42fe291f29](http://upload.wikimedia.org/math/5/7/4/5748b7ec7dd058ca1b48ec42fe291f29.png)
noktalarındaki etkisini açıklar.
a yarıçaplı kürenin içi düşünüldüğünde ise, Green fonksiyonu yansıtma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld, 1949): Kürenin merkezinden ρ kadar uzaklıkta olan
P kaynak noktası,
![96cd6f821102967f10d9bef52317a235 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 96cd6f821102967f10d9bef52317a235](http://upload.wikimedia.org/math/9/6/c/96cd6f821102967f10d9bef52317a235.png)
uzaklıkta bulunan bir
N noktasına yarıçapsal doğru boyunca yansıtılır.
Unutulmaması gereken nokta
P küre içindeyse,
N 'nin küre dışında olması gerektiğidir. O zaman Green fonksiyonu
R 'nin
P kaynak noktasına uzaklığı ve
T 'nin yansıtılmış
N noktasına olan uzaklığı gösterdiği
![77a60ce2aa3bd761cda3df87fe3878ee - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 77a60ce2aa3bd761cda3df87fe3878ee](http://upload.wikimedia.org/math/7/7/a/77a60ce2aa3bd761cda3df87fe3878ee.png)
ifadesi tarafından verilir. Green fonksiyonu için olan bu ifadenin bir sonucu ise
Poisson integral formülüdür. ρ, θ, ve φ,
P kaynak noktası için
küresel koordinatlar olsun. Burada θ dikey eksenle olan açıyı göstermektedir. (Amerikan matematik gösterimine uymaz ancak standard Avrupa ve fiziksel uygulamalarına uyum gösteren bir gösterimdir) O zaman, küre içindeki Laplace denkleminin çözümü
![1bb3e804c1825dc29a4668dc59a8a3b0 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 1bb3e804c1825dc29a4668dc59a8a3b0](http://upload.wikimedia.org/math/1/b/b/1bb3e804c1825dc29a4668dc59a8a3b0.png)
olarak alınırsa
![e7d69e4d2a0310ea1914710829ecfaae - Denklem nedir, örnek verir misiniz? e7d69e4d2a0310ea1914710829ecfaae](http://upload.wikimedia.org/math/e/7/d/e7d69e4d2a0310ea1914710829ecfaae.png)
tarafından verilir.
Bu formülün basit bir sonucu ise şudur:
u harmonikse, o zaman
u 'nun kürenin merkezindeki değerleri,
u 'nun küre üzerindeki değerlerinin ortalama değerleridir. Bu ortalama değer özelliği ise ivedilikle sabit olmayan bir fonksiyonun maksimum değerini kürenin içinde alamayacağı sonucunu verir.
Laplace denklemi Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa
Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir
kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim
potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda
potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.
Tanım
Üç boyutta, problem
x,
y ve
z gibi üç gerçel değişkene sahip, iki kere
türevlenebilir, gerçel değerli ve
![6c453bbba5ead2472d8de54e81346dd2 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 6c453bbba5ead2472d8de54e81346dd2](http://upload.wikimedia.org/math/6/c/4/6c453bbba5ead2472d8de54e81346dd2.png)
denklemini sağlayan bir
![455136e0a43e7634fcc7d2904c0612d9 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 455136e0a43e7634fcc7d2904c0612d9](http://upload.wikimedia.org/math/4/5/5/455136e0a43e7634fcc7d2904c0612d9.png)
fonksiyonu bulmaktır.
Çoğunlukla bu denklem
![9c395b52797ecaeea2a3b64db77a2f76 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 9c395b52797ecaeea2a3b64db77a2f76](http://upload.wikimedia.org/math/9/c/3/9c395b52797ecaeea2a3b64db77a2f76.png)
denklemi olarak veya div'in
diverjansı ve grad'ın ise
gradyanı temsil ettiği
![ed93285e3f0a01e2356cb5f627a0e842 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? ed93285e3f0a01e2356cb5f627a0e842](http://upload.wikimedia.org/math/e/d/9/ed93285e3f0a01e2356cb5f627a0e842.png)
denklemi olarak veya Δ'nın
Laplace operatörü olduğu
![df13f685f36677dcd8ad028b0407b88f - Denklem nedir, örnek verir misiniz? df13f685f36677dcd8ad028b0407b88f](http://upload.wikimedia.org/math/d/f/1/df13f685f36677dcd8ad028b0407b88f.png)
denklemi olarak yazılır.
Laplace denkleminin çözümlerine aynı zamanda
harmonik fonksiyonlar da denmektedir.
Denklemin sağ tarafı eğer belli bir
f(
x,
y,
z) fonksiyonu şeklinde verilirse, yani denklem
![22cf52f7001640f62d92e3b6d869c5a5 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 22cf52f7001640f62d92e3b6d869c5a5](http://upload.wikimedia.org/math/2/2/c/22cf52f7001640f62d92e3b6d869c5a5.png)
olarak ifade edilirse, o zaman denkleme "
Poisson denklemi" adı verilir.
Laplace ve Poisson denklemleri
eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en basit örnekleridir. Kısmi diferansiyel operatörü olan ve herhangi bir boyutta tanımlanabilen
![2930f8a6be737bc5f44b61e4ef547a2c - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 2930f8a6be737bc5f44b61e4ef547a2c](http://upload.wikimedia.org/math/2/9/3/2930f8a6be737bc5f44b61e4ef547a2c.png)
'ye veya
![a5f63bbbc0382fbffbca3fe492424444 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? a5f63bbbc0382fbffbca3fe492424444](http://upload.wikimedia.org/math/a/5/f/a5f63bbbc0382fbffbca3fe492424444.png)
'ya
Laplace operatörü veya kısaca
Laplasyen denmektedir.
Sınır koşulları
Laplace denklemi için
Dirichlet problemi bir
D bölgesi üzerinde tanımlı ve verilmiş başka bir fonksiyona
D 'nin sınırı üzerinde eşit olan bir
![3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb](http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png)
fonksiyonu bulmaktan ibarettir. Laplace operatörü
ısı denkleminde yer aldığı için, problemin bir diğer yorumu da şöyledir: Bölgenin sınırındaki sıcaklık sabit tutulur ve bölgenin iç tarafındaki sıcaklık artık değişmeyecek şekilde beklenilir. İç bölgedeki sıcaklık dağılımı artık ilişkin Dirichlet probleminin çözümü tarafından verilecektir.
Laplace denklemi için
Neumann sınır koşulları D'nin sınırında
![3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb](http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png)
fonsiyonunu belirtmez ancak bu fonksiyonun normal türevini belirtir. Fiziksel olarak bu durum, yalnız
D'nin sınırında etkisi bilinen bir vektör alanı için olan bir potansiyelin inşasına (oluşturulmasına) denk gelmektedir.
Laplace denkleminin çözümlerine
harmonik fonksiyonlar denilmektedir ve bu fonksiyonların hepsi denklemin sağlandığı bölge içinde
analitiktir. Eğer iki fonksiyon Laplace denkleminin (veya herhangi doğrusal homojen diferansiyel denklemin) çözümüyse, toplamları (veya herhangi doğrusal kombinasyonları) da ayrıca bir çözümdür.
Süperpozisyon ilkesi de denilen bu özellik özellikle karmaşık problemlerin basit çözümlerin toplanılması yoluyla yapılan çözümlerinde çok yararlıdır.
İki boyutta Laplace denklemi
İki değişkenli Laplace denklemi
![935214da7278b6735c52bfc135ede9f4 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 935214da7278b6735c52bfc135ede9f4](http://upload.wikimedia.org/math/9/3/5/935214da7278b6735c52bfc135ede9f4.png)
formuna sahiptir.
Analitik fonksiyonlar
Karmaşık analitik bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmının her ikisi de Laplace denklemini sağlar. Eğer
z=
x+
iy ise ve
![383c284fce1ef81b5dd9720de2be0168 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 383c284fce1ef81b5dd9720de2be0168](http://upload.wikimedia.org/math/3/8/3/383c284fce1ef81b5dd9720de2be0168.png)
ise, o zaman
f(
z) 'nin analitik olması için gerekli koşul aşağıdaki Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanmasıdır:
![f8433a0e7d3360f369293a16ee4e0439 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? f8433a0e7d3360f369293a16ee4e0439](http://upload.wikimedia.org/math/f/8/4/f8433a0e7d3360f369293a16ee4e0439.png)
Takip eden ifade ise
![6ae79c5ffb92cf4bad9ef700b8c3772c - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 6ae79c5ffb92cf4bad9ef700b8c3772c](http://upload.wikimedia.org/math/6/a/e/6ae79c5ffb92cf4bad9ef700b8c3772c.png)
olacaktır. Bu yüzden
u Laplace denklemini sağlar. Benzer bir hesaplama yine
v 'nin de Laplace denklemini sağladığını gösterir.
Aksine diğer taraftan bir harmonik fonksiyon verilirse, bu fonksiyon analitik bir
f(
z) fonksiyonunun gerçel kısmı olur (en azından yerel olarak). Eğer
![18f1acfafc7f122b33c4283a783f3487 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 18f1acfafc7f122b33c4283a783f3487](http://upload.wikimedia.org/math/1/8/f/18f1acfafc7f122b33c4283a783f3487.png)
olarak alınırsa ve
![394297676ed570bfc209c958859fcdaa - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 394297676ed570bfc209c958859fcdaa](http://upload.wikimedia.org/math/3/9/4/394297676ed570bfc209c958859fcdaa.png)
şartı konulursa, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri sağlanacaktır.
Bu ilişki ψ'yi belirlemese de artışlarını belirler:
![4b184edc0e74984116769084610d6204 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 4b184edc0e74984116769084610d6204](http://upload.wikimedia.org/math/4/b/1/4b184edc0e74984116769084610d6204.png)
φ için Laplace denklemi ψ'nin integrallenebilme koşulunun sağlandığını gösterir:
![9c48be4bb054ceed6e5b2e04011a62df - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 9c48be4bb054ceed6e5b2e04011a62df](http://upload.wikimedia.org/math/9/c/4/9c48be4bb054ceed6e5b2e04011a62df.png)
ve bu yüzden ψ bir çizgi integrali yoluyla tanımlanabilir. İntegrallenebilme koşulu ve
Stoke teoremi iki noktayı birleştiren çizgi integralinin değerinin takip edilen yoldan bağımsız olduğunu gösterir. Laplace denkleminin sonucunda çıkan çözüm çiftine
eşlenik harmonik fonksiyonlar adı verilir. Bu inşa sadece yerel olarak veya takip edilen yolun bir tekilliği çevrelememesi koşuluyla geçerlidir. Örneğin,
r ve θ kutupsal koordinatlar olursa ve
![fedc3941921d8db0688e4588b58c7894 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? fedc3941921d8db0688e4588b58c7894](http://upload.wikimedia.org/math/f/e/d/fedc3941921d8db0688e4588b58c7894.png)
ise, o zaman karşılık gelen analitik fonksiyon
![99288beee039685b2a998da5e996ec47 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 99288beee039685b2a998da5e996ec47](http://upload.wikimedia.org/math/9/9/2/99288beee039685b2a998da5e996ec47.png)
fonksiyonudur. Bununla birlikte, θ açısı orijini çevrelemeyen bir bölge içinde tek (bir) değerlidir.
Laplace denklemi ve analitik fonksiyonlar arasındaki yakın ilişki Laplace denkleminin çözümünün her mertebeden türevi olduğunu gösterir ve bu çözüm en azından bir tekilliği çevrelemeyen bir çember içinde kuvvet serilerine genişletilebilir. Bu durum, daha az düzenliliğe sahip
ısı denklemi çözümleriyle tezat bir haldedir.
Kuvvet serileri ve Fourier serileri arasında sıkı bir ilişki vardır. Bir
f fonksiyonu
R yarıçaplı bir çember içinde kuvvet serisine genişletilirse, bu gerçel ve sanal kısımları
![34af6429a536f889c30608131f238e5e - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 34af6429a536f889c30608131f238e5e](http://upload.wikimedia.org/math/3/4/a/34af6429a536f889c30608131f238e5e.png)
şeklinde olan uygun katsayıların olduğu
![b232afd67fe4594a7071366b863b165e - Denklem nedir, örnek verir misiniz? b232afd67fe4594a7071366b863b165e](http://upload.wikimedia.org/math/b/2/3/b232afd67fe4594a7071366b863b165e.png)
ifadesi anlamına gelir. Bu yüzden,
![eb66a1f4d2016747823336ceb9d5499e - Denklem nedir, örnek verir misiniz? eb66a1f4d2016747823336ceb9d5499e](http://upload.wikimedia.org/math/e/b/6/eb66a1f4d2016747823336ceb9d5499e.png)
olur ki bu da
f 'nin Fourier seridir.
Akışkan akımı u ve
v nicelikleri durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akımın iki boyutta yatay ve dikey bileşenleri olsun. Akımın sıkıştırılamaz olmasının koşulu,
![60a84116deaebc63c7fd3fc9dbfbe653 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 60a84116deaebc63c7fd3fc9dbfbe653](http://upload.wikimedia.org/math/6/0/a/60a84116deaebc63c7fd3fc9dbfbe653.png)
olmasıdır ve akımın dönmez olmasının şartı da
![44c0db739493dab888c0502c5a074f06 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 44c0db739493dab888c0502c5a074f06](http://upload.wikimedia.org/math/4/4/c/44c0db739493dab888c0502c5a074f06.png)
olmasıdır. Bir ψ fonksiyonunun diferansiyeli
![4f119102a1368ff169334a9539683feb - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 4f119102a1368ff169334a9539683feb](http://upload.wikimedia.org/math/4/f/1/4f119102a1368ff169334a9539683feb.png)
olarak tanımlanırsa, o zaman sıkıştırılamama şartı bu diferansiyel için integrallenebilme koşulu olur: Sonuçtaki fonksiyona
akış fonksiyonu adı verilir çünkü bu fonksiyon akım çizgileri boyunca sabittir. ψ'nin birinci türevi
![d0e58d40dbdd70b42878dcaf5aa950af - Denklem nedir, örnek verir misiniz? d0e58d40dbdd70b42878dcaf5aa950af](http://upload.wikimedia.org/math/d/0/e/d0e58d40dbdd70b42878dcaf5aa950af.png)
ile verilir ve sıkıştırılamama şartı ψ 'nin Laplace denklemini sağladığını gösterir. ψ 'ye eşlenik olan harmonik φ fonksiyonuna
hız potansiyeli denilir. Cauchy-Riemann denklemleri
![a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5](http://upload.wikimedia.org/math/a/8/d/a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5.png)
ifadesini verir.
Bu yüzden her analitik fonksiyon düzlemde durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akışkan akıma karşılık gelir. Gerçel kısım hız potansiyeli olurken sanal kısım akış fonksiyonu olur.
Elektrostatik Maxwell denklemleri'ne göre, iki uzay boyutunda yer alan ve zamandan bağımsız olan bir elektrik alanı (
u,
v),
![9ef97336d4df6ddc2f233dfcea549e21 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 9ef97336d4df6ddc2f233dfcea549e21](http://upload.wikimedia.org/math/9/e/f/9ef97336d4df6ddc2f233dfcea549e21.png)
ifadesini ve ρ'nun yük yoğunluğu olduğu
![ca4c5d452fa593d34462eae6c6bf5fe2 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? ca4c5d452fa593d34462eae6c6bf5fe2](http://upload.wikimedia.org/math/c/a/4/ca4c5d452fa593d34462eae6c6bf5fe2.png)
ifadesini sağlar.
Birinci Maxwell denklemi
![9cafca2926f7e3132d08b1f802e40e11 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 9cafca2926f7e3132d08b1f802e40e11](http://upload.wikimedia.org/math/9/c/a/9cafca2926f7e3132d08b1f802e40e11.png)
diferansiyeli için integrallenebilme koşuludur. Böylece elektrik potansiyeli olan φ
![a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5](http://upload.wikimedia.org/math/a/8/d/a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5.png)
ifadesini sağlayacak şekilde inşa edilebilir.
İkinci Maxwell denklemi o zaman
Poisson denklemi olarak ifade edilen
![2ee8084224a41a0ef0a5f50a55ebc488 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 2ee8084224a41a0ef0a5f50a55ebc488](http://upload.wikimedia.org/math/2/e/e/2ee8084224a41a0ef0a5f50a55ebc488.png)
denklemini verir.
İki boyutta kullanılana benzer olarak, Laplace denklemi elektrostatik ve akışkan akımının üç boyutlu problemlerinde de kullanılabilir.
Üç boyutta Laplace denklemi Temel çözüm
Laplace denkleminin temel çözümü, Dirac delta fonksiyonu δ'nın
![41865c489d48d0973fe676592c3e6249 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 41865c489d48d0973fe676592c3e6249](http://upload.wikimedia.org/math/4/1/8/41865c489d48d0973fe676592c3e6249.png)
noktasında toplanmış bir birim kaynağı gösterdiği
![65c691de8785d331a4f6bf9bae6a27e3 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 65c691de8785d331a4f6bf9bae6a27e3](http://upload.wikimedia.org/math/6/5/c/65c691de8785d331a4f6bf9bae6a27e3.png)
denklemini sağlar. Hiçbir fonksiyon bu özelliğe sahip değildir ancak yine de bu, integralleri uzay üzerinde birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya küçülen bir fonksiyonlar limiti olarak düşünülebilir. Temel çözümün tanımı bu yüzden,
u 'nun Laplasyeninin kaynak noktasını çevreleyen herhengi bir hacim üzerinde integrali alındığında, o zaman
![10fa44eac409f72cec621085c958a2b0 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 10fa44eac409f72cec621085c958a2b0](http://upload.wikimedia.org/math/1/0/f/10fa44eac409f72cec621085c958a2b0.png)
olduğunu gösterir.
Laplace denklemi koordinatların rotasyonuyla değişmez kalır ve bu yüzden bir temel çözümün, sadece (kaynak noktasından uzaklığı gösteren)
r 'ye bağımlı olan çözümler arasından elde edilebileceği beklenir. Hacim kaynak noktası etrafında
a yarıçaplı bir top olarak düşünülürse, o zaman Gauss diverjans teoremi
![d995d9a6bec3db5bd222416cae43d659 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? d995d9a6bec3db5bd222416cae43d659](http://upload.wikimedia.org/math/d/9/9/d995d9a6bec3db5bd222416cae43d659.png)
ifadesini verir. O zaman takip eden ifade ise, kaynak noktası etrafında
r yarıçaplı bir küre üzerindeki
![77f3c76c06f698337c5dc990795581af - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 77f3c76c06f698337c5dc990795581af](http://upload.wikimedia.org/math/7/7/f/77f3c76c06f698337c5dc990795581af.png)
ifadesidir ve bu yüzden
![ecfbf9251fa925be5a21da3ee6243cb2 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? ecfbf9251fa925be5a21da3ee6243cb2](http://upload.wikimedia.org/math/e/c/f/ecfbf9251fa925be5a21da3ee6243cb2.png)
olur. Benzer bir hesap ise iki boyutta
![42d28b9ac8e9f032cdde06b1f0c992f4 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 42d28b9ac8e9f032cdde06b1f0c992f4](http://upload.wikimedia.org/math/4/2/d/42d28b9ac8e9f032cdde06b1f0c992f4.png)
olduğunu gösterir.
Green fonksiyonu
Bir
Green fonksiyonu da bir
V hacminin
S sınırındaki uygun şartı sağlayan temel bir çözümdür. Örneğin,
![2185cb8534cf241c736e21b060841239 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 2185cb8534cf241c736e21b060841239](http://upload.wikimedia.org/math/2/1/8/2185cb8534cf241c736e21b060841239.png)
,
![59504226a13618b75265a53c57fb77cf - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 59504226a13618b75265a53c57fb77cf](http://upload.wikimedia.org/math/5/9/5/59504226a13618b75265a53c57fb77cf.png)
ifadelerini sağlayabilir.
Eğer
u,
V üzerinde Poisson denkleminin herhangi bir çözümüyse
![94c3e8c00fb898dde6df3f21548d7fad - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 94c3e8c00fb898dde6df3f21548d7fad](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/c/94c3e8c00fb898dde6df3f21548d7fad.png)
olur ve
u,
S üzerinde
g sınır değerlerini alır. O zaman aşağıdaki eşitlikleri veren (diverjans teoreminin bir sonucu olan)
Green özdeşliğine başvurulabilir:
un ve
Gn gösterimleri
S üzerindeki normal türevleri ifade etmektedir.
u ve
G 'nin sağladığı şartlar bağlamında, bu sonuç
![97b9357c6031b622c5f855a241ab255d - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 97b9357c6031b622c5f855a241ab255d](http://upload.wikimedia.org/math/9/7/b/97b9357c6031b622c5f855a241ab255d.png)
haline gelir.
Bu yüzden, Green fonksiyonu
f ve
g 'nin
![5748b7ec7dd058ca1b48ec42fe291f29 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 5748b7ec7dd058ca1b48ec42fe291f29](http://upload.wikimedia.org/math/5/7/4/5748b7ec7dd058ca1b48ec42fe291f29.png)
noktalarındaki etkisini açıklar.
a yarıçaplı kürenin içi düşünüldüğünde ise, Green fonksiyonu yansıtma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld, 1949): Kürenin merkezinden ρ kadar uzaklıkta olan
P kaynak noktası,
![96cd6f821102967f10d9bef52317a235 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 96cd6f821102967f10d9bef52317a235](http://upload.wikimedia.org/math/9/6/c/96cd6f821102967f10d9bef52317a235.png)
uzaklıkta bulunan bir
N noktasına yarıçapsal doğru boyunca yansıtılır.
Unutulmaması gereken nokta
P küre içindeyse,
N 'nin küre dışında olması gerektiğidir. O zaman Green fonksiyonu
R 'nin
P kaynak noktasına uzaklığı ve
T 'nin yansıtılmış
N noktasına olan uzaklığı gösterdiği
![77a60ce2aa3bd761cda3df87fe3878ee - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 77a60ce2aa3bd761cda3df87fe3878ee](http://upload.wikimedia.org/math/7/7/a/77a60ce2aa3bd761cda3df87fe3878ee.png)
ifadesi tarafından verilir. Green fonksiyonu için olan bu ifadenin bir sonucu ise
Poisson integral formülüdür. ρ, θ, ve φ,
P kaynak noktası için
küresel koordinatlar olsun. Burada θ dikey eksenle olan açıyı göstermektedir. (Amerikan matematik gösterimine uymaz ancak standard Avrupa ve fiziksel uygulamalarına uyum gösteren bir gösterimdir) O zaman, küre içindeki Laplace denkleminin çözümü
![1bb3e804c1825dc29a4668dc59a8a3b0 - Denklem nedir, örnek verir misiniz? 1bb3e804c1825dc29a4668dc59a8a3b0](http://upload.wikimedia.org/math/1/b/b/1bb3e804c1825dc29a4668dc59a8a3b0.png)
olarak alınırsa
![e7d69e4d2a0310ea1914710829ecfaae - Denklem nedir, örnek verir misiniz? e7d69e4d2a0310ea1914710829ecfaae](http://upload.wikimedia.org/math/e/7/d/e7d69e4d2a0310ea1914710829ecfaae.png)
tarafından verilir.
Bu formülün basit bir sonucu ise şudur:
u harmonikse, o zaman
u 'nun kürenin merkezindeki değerleri,
u 'nun küre üzerindeki değerlerinin ortalama değerleridir. Bu ortalama değer özelliği ise ivedilikle sabit olmayan bir fonksiyonun maksimum değerini kürenin içinde alamayacağı sonucunu verir.