Cevap Yaz Yazdır
Güncelleme: 7 Eylül 2018  Gösterim: 7.808  Cevap: 2

Diferansiyel Denklemler ve Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi

14 Aralık 2006 16:52       Mesaj #1
Mystic@L - avatarı
Ziyaretçi
Diferansiyel Denklemler
MsXLabs.org


Sponsorlu Bağlantılar
Matematikte, fonksiyon veya fonksiyonların, bir veya birden çok değişkene göre türevlerini ilişkilendiren denklemlerdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler.
Diferansiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar:
  • Normal diferansiyel denklemler (veya adi diferansiyel denklemler)
  • Kısmi diferansiyel denklemler
Diferansiyel denklemler bilinmeyenlerin birbirleri ve katsayılarla ilgili konumlarına göre: Doğrusal diferansiyel denklemler , Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler olarak da gruplanmaktadır. Doğrusal denklemlerin teorisi gelişmiş olmasına rağmen doğrusal olmayan denklemlerin keyfiyet analizi zordur ve bazen mümkün değildir. Bu durumlarda sayısal analiz teknikleri uygulanır.
Kısmi diferansiyel denklemler, katsayıların durumlarına ve zamana ait türevin mevcudiyetine göre;
  • Eliptik diferansiyel denklemler
  • Parabolik diferansiyel denklemler
  • Hiperbolik diferansiyel denklemler
şeklinde alt gruplara ayrılırlar. Son iki tip denklem, zamana ait türevin mevcudiyetinden ötürü evrimsel olarak isimlendirilir.
Modern uygulamaların zorlaması ile ortaya çıkan:
  • Stokastik diferansiyel denklemler
  • Gecikmeli diferansiyel denklemler
tiplerindeki denklemler yukardakilerden farklı olarak değerlendirilebilirler.
Sabit domain'lerde denklemler verilere göre:
  • Başlangıç değer
  • Sınır değer
şeklinde sınıflandırılırlar. Sabit olmayan bir domain'de tanımlı denklemlere Serbest sınır değer problemleri veya Hareketli sınır değer problemleri denir.
Birçok denklemden oluşan ilişkilere denklem sistemi adı verilir.

Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi
Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar, 17. yüzyılın ikinci yarısında, diferansiyel ve integral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra, İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar.
Daha sonraları, matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşlerin, 18. yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D'Alembert. Charbit, Monge, Laplace ile 19. yüzyılda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard , Fusch ve F.G. Frobenius, diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir.
Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı, diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında, Fransız matematikçi A.L. Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir.

Newton ve Diferansiyel Denklem

İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır. 1671 yılında yayınladığı bir makale ile, diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir. Bunlar:
  • Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır. Burada y, x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.
  • İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardır.
  • Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise, kısmi diferansiyel tipinde olanlardır.

Leibniz ve Diferansiyel Denklem

Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferansiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır. Bu konudaki çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur.
Leibniz'in bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemiştir. Fakat, İsviçre'de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından, ilgiyle incelenmiştir. 1690 yılında, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır. Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından, diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar yapmışlardır. Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir. Leibniz 1691 yılında;
f (x,y) = f (x.g (y))
şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır.

Euler ve Diferansiyel Denklem

Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yılında, diferansiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır. Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir. Seri çözümleri:
(1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0
şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır.

Euler'in Denklemi

ai ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:
a0xnyn + a1xn-1yn-1 + ... + an-1 xy + an = q(x)
olan bu denklem, y'ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayılar değişkendir.

Daisy-BT
18 Haziran 2011 23:07       Mesaj #2
Daisy-BT - avatarı
Ziyaretçi

Diferansiyel Denklemler

Sponsorlu Bağlantılar
Bağımsız değişken(ler), bilinmeyen fonksiyon ve bu fonksiyonun türevlerini içeren eşitlikler.

Fonksiyon tek değişkenliyse diferansiyel denklem bayağı, çok değişkenliyse kısmi türevli adını alır. En çok türetilmiş terimin basamağı (mertebesi) diferansiyel denklemin basamağı, en yüksek basamaktan türevin derecesiyse diferansiyel denklemin derecesidir.

Örneğin (y")3 + y' = x2 bayağı diferansiyel denklemi ikinci basamaktan ve üçüncü derecedendir. Doğadaki birçok sistemin davranışı bir diferansiyel denklemle gösterilebilir. Dolayısıyla diferansiyel denklemler özellikle fizik ve mekanikte önem taşır. Örneğin, ucuna noktasal bir m kütlesi asılı ve esneklik katsayısı k olan bir yay denge durumundan A kadar çekilip bırakıldığında, uzanımın zamana (t) göre nasıl değiştiğini bulma problemi bir diferansiyel denklemle çözülebilir. Gerekli değişken dönüştürmeleri sonucunda elde edilen y" + y = O ikinci basamaktan lineer diferansiyel denklemi başlangıç koşullarına göre çözülürse y = A cos ak/mt bulunur ki, bu fonksiyon gerçekten maddesel noktanın devirli davranışını verir.

MsXLabs.org & Morpa Genel Kültür Ansiklopedisi

7 Eylül 2018 23:42       Mesaj #3
nötrino - avatarı
VIP SiNiRLi-RUTİNE AYKIRI!

Dinamik Sistemler Teorisi ve Kaos!


Diferansiyel denklemlerde ana hatlarıyla belirtildiği gibi klasik analiz yöntemleri sınırlamalara sahiptir. Örneğin, Güneş sisteminin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemler güç serileriyle çözümler kabul etmez. En nihayetinde, Güneş sisteminin dinamikleri, güç dizileri gibi basit, iyi huylu nesnelerle yakalanmak için çok karmaşıktır. En önemli modern kuramsal gelişmelerden biri, herhangi bir açık çözüm yazmadan genel prensiplerden çözümlerin genel özelliklerini oluşturmayı amaçlayan dinamik sistemler teorisi olarak bilinen diferansiyel denklemlerin nitel kuramı olmuştur. Dinamik sistemler teorisi, özel ilgi noktaları etrafında küçük “mahallelerde” toplanan yerel analitik bilgileri, tüm olası çözümlerin ya da yolların yer aldığı manifoldun şekli ve yapısının küresel geometrik ve topolojik özellikleri ile birleştirir (Ayrıca, uzay veya faz uzayı olarak da bilinen bir manifold, kavisli bir yüzeyin çok boyutlu benzetimidir.) Bu yaklaşım, bilgisayarları, çözüme yaklaşmak için kullanan sayısal yöntemlerle birlikte kullanıldığında özellikle güçlüdür.

Diferansiyel denklemlerin nitel teorisi, 19. yüzyılın sonlarında Fransız matematikçi Henri Poincaré'nin beyni idi. Dinamik sistem teorisinin geliştirilmesine yönelik büyük bir teşvik, 1885'te İsveç Kralı II. Ve Norveç tarafından Güneş sisteminin istikrarının belirlenmesi sorununun çözümü için verilen bir ödüldür. Sorun esasen şu şekilde ifade edildi: Güneş sisteminin gezegenleri şu anda olduğu gibi aynı düzenlemede sonsuza kadar devam edecek mi? Ya da Güneş sisteminden tamamen çıkmış veya Güneş'le çarpışan bir gezegen gibi dramatik bir şey olabilir mi? Matematikçiler zaten bu tür soruları cevaplandırırken, söz konusu soruların cevaplandırılmasında önemli zorlukların ortaya çıktığını biliyordu. Newton kütle çekimi altında hareket eden iki cisim için, diferansiyel denklemi çözmek ve hareketleri için kesin bir formül çıkarmak mümkündür. Newton, bu hesaplamayı, yer çekimi yörüngesindeki yerküre yasasının Kepler'in gezegensel yörüngelerin eliptik olduğunu keşfettiğini gösterdiğini gösterdiğinde gerçekleştirdi.

Bugün kaos terimi Poincaré’nin keşfine gönderme yapmak için kullanılıyor. 1930'larda ve 40'larda sporadik olarak ve 1960'larda artan sıklıkta, matematikçiler ve bilim adamları basit diferansiyel denklemlerin bazen çok karmaşık çözümlere sahip olabileceğini fark etmeye başladılar. Amerikalı matematikçi Stephen Smale, Poincaré'nin diferansiyel denklemlerin kalitatif özellikleri hakkındaki anlayışını geliştirmeye devam ederken, bazı durumlarda çözümlerin davranışının da tesadüfi olduğunu kanıtladı. Denklemlerde herhangi bir rastlantısallık ipucu olmadığında bile, çözümlerdeki gerçek rastlantısal unsurlar olabilir. Andrey Kolmogorov ve Vladimir Arnold'un altındaki Rus dinci okulu aynı zamanda benzer fikirler geliştirdi.

Bu keşifler, belirli başlangıç koşullarından başlayarak, yalnızca doğanın sabit yasalarının sonuçlarını ortaya koyan bir “saat evreni” fikrine, determinizmin klasik görüşüne meydan okuyordu. 20. yüzyılın sonunda, Poincaré’nin kaos keşfi, matematikte, uygulamalı bilimin birçok alanıyla bağlantılı büyük bir disipline dönüşmüştü. Kaos sadece gezegenlerin hareketinde değil, hava koşullarında, hastalık salgınlarında, ekolojide, akışkan akışında, elektrokimyada, akustikte, hatta kuantum mekaniğinde bulunmuştur. Dinamik olarak yeni bir bakış açısının - kaos teorisi olarak bilinen ancak dinamik sistemler teorisinin bir alt disiplini olarak bilinen - en önemli özelliği, pek çok sürecin öngörülemez olduğunun fark edilmesi değildir. Daha ziyade, görünüşte rastgele davranışlardan yararlı bilgilerin çıkarılması için bir dizi yeni tekniklerin geliştirilmesidir. Bu doğrultuda kaos teorisi, Ay'a veya uzaktaki kuyruklu yıldızlara, yeni katı hal lazerlerine, hava durumunu tahmin etmenin yeni yollarına ve bu tahminlerin doğruluğunu tahmin etmeye yönelik yeni ve daha etkili yöntemler göndermek için yeni ve daha etkili yolların keşfine yol açmıştır.

Kaynak: AnaBritannica
Hızlı Cevap
Mesaj:



paneli aç