Oranlı ve Oransız (Rasyonel ve İrrasyonel) Sayılar

Oranlı (Rasyonel) sayılar

Sponsorlu Bağlantılar

Matematikte, rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının ortak böleninin olmadığı a/b ifadesidir.


Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü veya veya şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi, tam sayılar kümesi 'yi kapsar. Yani .


Tanım

Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya ile gösterilir. kümesi genelde şöyle tanımlanır:



Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir oranlı sayı olarak anılır. kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı




olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları



olurlar. Oranlı sayı ise basitçe



şeklinde tanımlanır.
Tanımda paydanın sıfır olmama şartı ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Atla: kullan, ara
Rasyonel sayılar, (oranlı sayılar) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayıların oluşturduğu kümedir. Rasyonel sayılar tam sayıların bir genişlemesidir ve ile gösterilir. kümesi genelde şöyle tanımlanır:

(a ve b tam sayı ve sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara rasyonel sayı denir) ve veya eşdeğer rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel sayıların en basit biçimi ve tamsayılarının ortak böleninin olmadığı ifadesidir.
Her tam sayı rasyonel sayıdır. Çünkü veya veya şeklinde yani Rasyonel sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Rasyonel sayılar kümesi , tam sayılar kümesi 'yi kapsar. Yani .
Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir rasyonel sayı olarak anılır. kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları olurlar. Rasyonel sayı ise basitçe şeklinde tanımlanır. Tanımda paydanın sıfır olmama şartı ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi ile, negatif rasyonel sayılar kümesi ile gösterilir.
Örneğin
Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta


Yandaki şekilde, bir yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3'te 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu ifadesi şeklinde gö
Rasyonel sayıların cebirsel özellikleri

olmak üzere:
Rasyonel sayılar aşağıda gösterildiği gibi birbirlerine eklenir:
Rasyonel sayılar arasındaki çarpma işlemlerinin kuralı aşağıdaki gibidir:
Rasyonel sayılar arasındaki bölme işlemi aşağıda gösterildiği gibidir:
Toplamaya ve Çarpmaya göre terslik özellikleri rasyonel sayılar içinde geçerlidir:
Rasyonel sayıların eşitliği

İki rasyonel sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının rasyonel olmasıyla anlaşılır. olmak üzere ve iki rasyonel sayı ise bu iki sayı ancak olduğunda eşittir.
Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkartılabilir. İki rasyonel sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten koşulunu içermekteydi.
Rasyonel sayıları karşılaştırma (büyüklük, küçüklük)

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar

Paydaları eşit olan rasyonel oranlar için payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür. Örneğin Burada paydalar eşit ve 20'dir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sağdaki pay 3'den daha büyük olduğu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür. Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve :negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır: Payda 20'ye eşit olup sağdaki negatif pay değeri -3, soldaki negatif pay değeri olan -7'den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür. Payları eşit olan rasyonel sayılar

Payı eşit olan rasyonel sayılar için ise paydaları eşit olanın tam tersi bir kural uygulanırIMG]http://upload.wikimedia.org/math/6/e/9/6e9f2d0a6729241e5acb72454530c816.png[/IMG] Paylar eşit olduğunda bölünen parça sayısı yani payda büyüdükçe oluşan parça boyutları daha küçük olacaktır. Ne payları ne de paydaları eşit olan rasyonel sayılar

Bu şekildeki durumlarda karşılaştırmadan evvel paydaların eşitlenmesi veya içler dışlar çarpımı yapılmasını gerektirir.

Paydaların eşitlenmesi Her iki rasyonel sayının da birbirlerinin paydalarıyla genişletilmesini gerektirir.

Yukarıda görüldüğü gibi genişletme işleminden sonra oluşan paydaların ikisi de 10.4 yani 40'dır. Yukarıda görüldüğü gibi karşılaştırılabilir. İçler dışlar çarpımı Birinci rasyonel sayının payının ikincinin paydasına, ikincinin paydasının ise birincinin payıyla çarpılmasıdır: Arada olma

sterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3'e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.