[ThinkerBeLL]

Üçgen
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bir üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir.
Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren, doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir Üçgenin iç açılarının toplamı 180° dış açılarının toplamı 360°'dir.

[AB]U[AC]U[BC] = ABC

Burada;

• A, B, C noktaları üçgenin köşeleri,
• [AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin kenarları,
• α, β ve γ üçgenin iç açılarıdır.

Konu Başlıkları

1. Matematiksel tanım
2. Üçgenin açıları
3. Üçgenlerin türleri
   • 3.1 Kenarlarına Göre
     • 3.1.1 Eşkenar Üçgen
     • 3.1.2 İkizkenar Üçgen
     • 3.1.3 Çeşitkenar Üçgen
   • 3.2 Açılarına Göre
     • 3.2.1 Dar Açılı Üçgen
     • 3.2.2 Dik Üçgen
     • 3.2.3 Geniş Açılı Üçgen
4. Üçgen bağıntıları
5. Pisagor bağıntısı
   • 5.1 Açıdan Yararlanma
   • 5.2 Heron Yöntemi
   • 5.3 Kosinüs Teoremi
6. Üçgende yardımcı elemanlar
   • 6.1 Açıortay
     • 6.1.1 Açıortay Uzunluğu
   • 6.2 Kenarortay
     • 6.2.1 Kenarortay teoremi
7. Üçgen İle İlgili Teoremler
   • 7.1 Seva Teoremi
   • 7.2 Menelaus Teoremi
   • 7.3 Steward Teoremi

[ThinkerBeLL]

Üçgen
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematiksel Tanım
Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, [Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B, C, bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin, bir Riemann yüzeyi olarak dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri, bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açıları toplamı 270°'dir.
Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine bir üçgen denir. İki boyutlu bir çokkatlı bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.
Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir.

Üçgenin Açıları
Üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunun ispatı:

BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır.
| BC | = a, | AB | = c ve | AC | = b
α+β+γ=180°

• Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Bir ABC üçgenine, A tepe noktasından teğet geçecek ve BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

• Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bir ABD üçgenine, D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında, yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

Üçgenin dış açıları

[ThinkerBeLL]

Üçgen
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Üçgenlerin Türleri
Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

1. Kenarlarına Göre
   • 1.1 Eşkenar Üçgen
   • 1.2 İkizkenar Üçgen
   • 1.3 Çeşitkenar Üçgen
2. Açılarına Göre
   • 2.1 Dar Açılı Üçgen
   • 2.2 Dik Üçgen
   • 2.3 Geniş Açılı Üçgen

1. Kenarlarına Göre

1.1. Eşkenar Üçgen
Tüm kenarları eşit olan üçgendir. Tüm iç açıları 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

Tüm kenarları birbirine eşit olan üçgene denir. Bir iç açısının ölçüsü 60°'dir. Ve dış açıları 120 derecedir.

Özellikleri

• h=
• Alan=

• h=|PD|+|PE|+|PF|

Ayrıca P noktasından çıkan dogruların her biri kenarlara dik değil de paralel olsalardı doğru parçalarının uzunlukları toplamı bir kenar uzunluğuna eşit olurdu.

1.2. İkizkenar Üçgen
İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşitir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay hem kenarortay özelliği gösterir.

İki kenarı birbirine eşit olan çokgene denir. İç açıları toplamı 180°'dir.

Özellikleri

• İkizkenar üçgende ikizkenarlara ait yükseklikler eşittir.
• İkizkenar üçgende üçüncü kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara inilen dikmelerin toplam uzunluğu eş kenarlara köşelerden inilen yüksekliklerin uzunluğuna eşittir.
• İkizkenar üçgende üçüncü kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen paralellerin toplam uzunluğu ikizkenarların uzunluğuna eşittir.
• Üçüncü kenara ait yükseklik açıortay ve kenarortaydır.

1.3. Çeşitkenar Üçgen
Her kenarının uzunluğu farklı olan üçgenlerdir. Tüm iç açıları birbirinden farklıdır.Çeşitkenar üçgenin simetri ekseni yoktur.

[ThinkerBeLL]

Üçgen
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Üçgenlerin Türleri
Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

1. Kenarlarına Göre
   • 1.1 Eşkenar Üçgen
   • 1.2 İkizkenar Üçgen
   • 1.3 Çeşitkenar Üçgen
2. Açılarına Göre
   • 2.1 Dar Açılı Üçgen
   • 2.2 Dik Üçgen
   • 2.3 Geniş Açılı Üçgen

2. Açılarına Göre

2.1. Dar Açılı Üçgen
Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere denir.

< Dar Açı

2.2. Dik Üçgen
Bir iç açısı dik (90°) olan üçgenlerdir. Çemberde çapı gören çevre açı 90°'dir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.

Ayrıca bakınız: Dik Üçgen

2.3. Geniş Açılı Üçgen
Açılarından biri 90°'den geniş olan üçgenlerdir. Sadece bir tek kenarı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.
Geniş açı >

[ThinkerBeLL]

Üçgen
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Üçgen Bağıntıları

1. Pisagor Bağıntısı (bak. Pisagor Teoremi)
Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:

2. Açıdan Yararlanma

Bir üçgenin alanı herhangi iki kenarını ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.

3. Heron Yöntemi
Çevre uzunluğuna '2u', yarısına 'u' dersek alan:

4. Kosinüs Teoremi (bak. Kosinüs Teoremi)
Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da alfa(α) olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

[ThinkerBeLL]

Üçgen
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Üçgende Yardımcı Elemanlar

1. Açıortay (bak. Açıortay)

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberidir.

Açıortay Uzunluğu

2. Kenarortay (bak. Kenarortay ve Kenarortay Teoremi)

Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.
Ağırlık merkezi, bir kenarortayı 2n ve n olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
| AG | = 2 | GD | olur.

Kenarortay Teoremi

[ThinkerBeLL]

Üçgen
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Üçgen ile ilgili Teoremler

1. Seva Teoremi

Seva Teoremi'nin uygulandığı üçgen

Seva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:

2. Menelaus Teoremi

Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:

3. Steward Teoremi (bak. Steward Teoremi)

Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir: